Chiến lược 1(S1): Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn.
Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng. Học sinh có thể nối AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau. Ví dụ: SE với MB, SA với MC, SE với MC,… Giao tuyến sẽ là đường thẳng đi qua 2 giao điểm đã nối.
Ở đây, chúng tôi chỉ quan tâm đến các trường hợp các giao điểm khác B vì giao điểm B không cho thấy rõ giả thuyết H1.
Hình 3.1. Các cách thể hiện của chiến lược 1
Có rất nhiều nguyên nhân cho việc học sinh kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn. Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), các đối tượng HHKG vốn ba chiều được thể hiện bằng các hình vẽ trên tờ giấy hai chiều trên gây ra tình trạng thất thoát thông tin, dẫn đến việc tiếp cận VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian không còn dựa vào sự hiển nhiên khi tiếp cận hình vẽ như trong HHP.
Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong dạy học bằng sơ đồ dưới đây:
Hình 3.2. Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ
Trong dạy học HHP, đối tượng HHP được biểu diễn bằng hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, trong đó hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, cắt nhau trên hình vẽ thì hai đường thẳng đó cắt nhau.
Trong dạy học HHKG, đối tượng HHKG được biểu diễn bằng hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG, trong đó hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng, cắt nhau trên hình vẽ thì hai đường thẳng đó có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
Dẫn đến, để giải thích cho cách làm của học sinh ở chiến lược này, chúng tôi đề xuất giả thuyết H2 như sau:
“Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
Tức là, trong HHKG hai đường thẳng chéo nhau được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung trên hình vẽ sẽ được học sinh đồng nhất với hai đoạn thẳng, biểu diễn cho hai đường thẳng cắt nhau trong HHP.
Chiến lược này sẽ cho phép chúng tôi hợp thức được giả thuyết H1.
Chiến lược 2 (S2): Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng. Học sinh nối AE và BC để tìm được điểm chung là B, điểm chung còn lại là giao điểm của hai đường thẳng đồng phẳng không đi qua B nằm trên hai mặt phẳng. Do tam giác có trong tên của hai mặt phẳng không còn cặp cạnh nào đồng phẳng nên ta sẽ giữ lại một đường trong mặt phẳng này và mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng kia để tìm đường thẳng đồng phẳng với đường thẳng đó. Tức là, ta có thể tìm đường thẳng trong mặt phẳng (MBC) đồng phẳng với đường thẳng SA của (SAB). Để tìm đường thẳng này học sinh sẽ mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng (MBC) bằng cách học sinh kéo dài cho AD và BC cắt nhau tại N, ta sẽ có (𝑀𝐵𝐶) ≡ (𝑀𝑁𝐶). Điểm chung cần tìm là giao điểm F của MN và SA.
Để thực hiện được chiến lược này học sinh phải thấy được hình vẽ là mô hình của đối tượng không gian. Do đó, học sinh sẽ nhận ra VTTĐ giữa các đường thẳng trên hình. Đồng thời, khi quan sát mặt phẳng (SAE) hay (MBC) thì không bị bó buộc vào hai tam giác SAE và MBC nên sẽ mở rộng hai tam giác khi cần để tìm kiếm hai đường thẳng đồng phẳng.
Hình 3.3. Cách thể hiện của chiến lược 2 3.3. Phân tích hậu nghiệm
Do thời điểm tiến hành thực nghiệm học sinh lớp 11 chưa học xong chương II nên chúng tôi thực nghiệm trên 126 học sinh lớp 12 vào giai đoạn đầu năm học. Trong đó, 43 học sinh lớp 12B5 của trường THPT Châu Thành, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu và 41 học sinh lớp 12A1, 42 học sinh lớp 12A15 của trường THPT Chu Văn An, tỉnh Ninh Thuận.
Chúng tôi cho rằng sự thay đổi này không làm ảnh hưởng đến kết quả vì kiến thức của học sinh về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian không có sự thay đổi.
Từ đó, chúng tôi thu được bảng thống kê số lượng các lời giải được sử dụng như sau:
Bảng 3.1. Số lượng các lời giải của học sinh
Các lời giải 12B5 12A1 12A15 Số lượng
S1: Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn.
(Hợp thức giả thuyết H1)
22 21 20 63
S2: Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng 2 1 0 3 Các lời giải khác K1: Giao tuyến là SB 6 3 6 15 K2: Giao tuyến là ME 2 1 1 4
K3: Kẻ đường thẳng song song 3 1 2 6
Chưa đi đến kết
quả
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
3 3 6 12
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
0 3 2 5
Bỏ trống 0 4 1 5
Tổng cộng 43 41 42 126
Như vậy, một nửa học sinh (63/126) sử dụng chiến lược S1 cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết H1 “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.”
Chỉ có 3/126 học sinh sử dụng chiến lược S2 có nghĩa là rất ít học sinh có thể giải quyết được bài toán này.
Số lượng lời giải khác (25/126) hay chưa đi đến kết quả (30/126) khá nhiều sẽ được chúng tôi phân tích chi tiết ở phía dưới.
Đối với các học sinh bỏ trống (5/126) hoặc chỉ tìm được điểm B nhưng chưa đi đến kết quả (13/126), chúng tôi cho rằng do thời điểm thực nghiệm các em đã học giao tuyến của hai mặt phẳng quá lâu nên dẫn đến nhiều em quên định nghĩa và phương pháp giải. Đây cũng là hạn chế đáng tiếc của thực nghiệm.
Dưới đây chúng tôi phân tích chi tiết các lời giải của học sinh.
3.3.1. Lời giải theo chiến lược S1
Sau khi xác định được giao điểm đầu tiên của (SAE) và (MBC) là B. Học sinh đã kéo dài các cạnh của tam giác trong tên mặt phẳng bằng nhiều cách. Trong đó,
- Kéo dài cạnh SA và CM:
Hình 3.4. Bài làm của học sinh A15-04
- Kéo dài cạnh SE và MC:
- Kéo dài cạnh AE và MC:
Hình 3.6. Bài làm của học sinh A15-14
- Kéo dài cạnh SE và MB:
- Kéo dài cạnh SE và BC:
Hình 3.8. Bài làm của học sinh A1-12
- Kéo dài SA và BC:
Hình 3.9. Bài làm của học sinh A1-15
Có nhiều học sinh khi có được giao điểm B thì (SAE) sẽ trở thành (SAB) nên học sinh kéo dài cạnh SB và MC.
Hình 3.10. Bài làm của học sinh B5-14
Một số học sinh khác không quan tâm đến điểm B và các em kéo dài cả hai cặp cạnh:
Hình 3.11. Bài làm của học sinh A15-08
Điều này chứng tỏ khi gặp bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng học sinh tìm điểm chung bằng cách cho hai đường thẳng chứa cạnh tam giác trong tên gọi của mặt phẳng cắt với nhau mà không quan tâm đến vị trí tương đối thực sự giữa chúng. Thậm
chí, có học sinh còn coi mặt phẳng được gọi tên bởi ba điểm đồng nhất với tam giác được tạo bởi ba điểm đó:
Hình 3.12. Bài làm của học sinh B5-13
Lời giải của học sinh trong chiến lược này đã cho thấy sự tồn tại của giả thuyết H2 khi học sinh xem hình biểu diễn như một đối tượng 2D: “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (Sơ đồ Hình 3.2, trang 30)
3.3.2. Lời giải theo chiến lược S2
Chỉ có 3/126 học sinh đưa ra được kết quả phủ nhận giả thuyết H1 khi đã nhìn được hình biểu diễn như một đối tượng 3D. Ở đây, khi hai tam giác trong tên mặt phẳng không tìm được các đường thẳng đồng phẳng, học sinh đã mở rộng tam giác bằng cách kéo dài các cạnh. Trong đó, 2 học sinh mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng bằng cách kéo dài cạnh AD và BC:
Hình 3.13. Bài làm của học sinh B5-40
Sau khi tìm được điểm chung thứ nhất là B, học sinh B5-40 không tìm được điểm chung thứ hai nên kẻ thêm đường d đi qua M và song song với BC nhưng do không xác định được giao điểm của đường thẳng d với (SAE) nên học sinh đã mở rộng tam giác trong tên của mặt phẳng bằng cách kéo dài các đường AD và BC cho cắt nhau tại K. MK cắt SA tại I. I là giao điểm thứ hai cần tìm.
Học sinh A1-36 cũng mở rộng tam giác nhưng theo một cách khác:
Học sinh A1-36 cho hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lúc này, SO và MB cùng mặt phẳng nên gọi I là giao điểm của SO và MB. Học sinh mở rộng tam giác MBC bằng cách kéo dài CI cho cắt SA tại K. K là giao điểm thứ hai cần tìm.
3.3.3. Các lời giải khác
- K1: Giao tuyến là SB
Hình 3.15. Bài làm của học sinh B5-31
Học sinh xem (MBC) nằm trong (SBC) dẫn đến xem S là điểm chung của (MBC) và (SAE). Mặc dù chiến lược này không góp phần hợp thức giả thuyết H1 nhưng chiến lược này đã bổ sung cho khẳng định ở chiến lược S1 là một số học sinh nhìn hình biểu diễn như một đối tượng 2D.
Hình 3.16. Bài làm của học sinh B5-25
Trường hợp này đối với học sinh giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng nằm giữa hai mặt phẳng. Điều này có lẽ là do học sinh chịu ảnh hưởng khi giáo viên lấy ví dụ về giao tuyến giữa hai mặt phẳng là cạnh của quyển sách mở.
- K3: Kẻ đường thẳng song song
Một số học sinh đã mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng (MBC) bằng cách kẻ đường thẳng đi qua M và song song với BC và cho đường thẳng này cắt SA:
Những học sinh làm theo kiểu này cũng giúp chúng tôi thấy được sự hiện diện của giả thuyết H2 khi “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
3.3.4. Lời giải chưa đi đến kết quả
- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B.
Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học sinh đang định đi theo chiến lược nào.
Hình 3.18. Bài làm của học sinh B5-27
Một số lời giải chưa đi đến kết quả khác mặc dù không tìm được điểm chung nào của hai mặt phẳng nhưng cũng cho chúng tôi nhiều điều đáng quan tâm.
- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm của SB và ME,..
- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Ví dụ: học sinh A15-24 viết MB//SA,…;hay như học sinh A1-26 đã mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD cho cắt nhau tại F. Lúc này, CM và SF dường như song song nhưng do không đủ dữ kiện nên học sinh này không đưa ra
kết luận. Nhưng khi được hỏi tại sao nối SF, em này trả lời SF và MC song song nhưng không biết chứng minh.
Hình 3.19. Bài làm của học sinh A1-26 3.4. Kết luận chương 3
Các kết quả thu được ở thực nghiệm cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết về việc tìm điểm chung trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, cụ thể là:
H1: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.”
Đồng thời, đối với đa số học sinh (105/126 học sinh theo chiến lược S1 và các chiến lược khác như giao tuyến là SB,…) thì hình biểu diễn chỉ là một mô hình của đối tượng 2D chứ chưa phải là một mô hình của đối tượng 3D. Trong đó, có 96 trường hợp đã cho thấy sự tồn tại của quan niệm: “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (giả thuyết H2)
Thực nghiệm này đã bộc lộ một trong những khó khăn của học sinh khi nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn, đó là: trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, rất nhiều học sinh không thể tưởng tượng được VTTĐ giữa hai đường thẳng nếu chỉ dựa vào hình vẽ.
Do đó, để học sinh có thể phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, dựa trên yêu cầu của SGV về sử dụng MHTQ trong dạy học HHKG nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng, chúng tôi đề xuất giả thuyết công việc sau: “MHTQ có thể giúp học sinh phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP.” Dẫn đến, chúng tôi đặt ra câu hỏi:
Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng như thế nào?
Đồng thời, để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”thay vì chỉ làm trên KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”chúng tôi đề xuất tăng cường KNV mới T’’’1:“Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”
Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?
Chương 4. DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN
HHKG là một môn học quan trọng của toán học. Khả năng giải quyết các vấn đề hình học được kết nối chặt chẽ với TTTKG. Hiện nay, chúng ta thấy rằng học sinh và sinh viên ở nhiều cấp học khó khăn hơn trong việc giải quyết các vấn đề không gian:
chúng không thể hình dung hay tạo ra những hình ảnh không gian trong tâm trí.(Jančařík, 2016).
Do đó, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh sự cần thiết phải tăng cường sử dụng các yếu tố trực quan như là một phần của giáo dục nguyên thủy của toán học ở các cấp học khác nhau, đặc biệt là trong các trường trung học và đại học. Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng việc sử dụng các biểu diễn trực quan trong giảng dạy các khái niệm có thể hỗ trợ hoặc cản trở học sinh trong quá trình hình thành các khái niệm. Trong chương trình phát triển giáo dục, nhiều giáo viên và các nhà viết sách đã chú ý sử dụng hơn đến việc sử dụng các hình vẽ, sơ đồ, hình ảnh trực quan v.v trong lớp học toán. Đặc biệt, cuộc cách mạng công nghệ đã xảy ra trong thập kỷ vừa qua, với sự phổ biến của máy tính và các công cụ đa phương tiện khác đã cung cấp cho giáo viên và các nhà nghiên cứu những yếu tố mới để thay đổi phương pháp giảng dạy HHKG. (Gutiérrez, 1996)
Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu việc sử dụng của một loại PTTQ là MHTQ trong giảng dạy của giáo viên đối với tri thức VTTĐ giữa hai đường thẳng và thiết kế tình huống dạy học tìm hai đường thẳng cắt nhau trên MHTQ.