- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B.
Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học sinh đang định đi theo chiến lược nào.
Hình 3.18. Bài làm của học sinh B5-27
Một số lời giải chưa đi đến kết quả khác mặc dù không tìm được điểm chung nào của hai mặt phẳng nhưng cũng cho chúng tôi nhiều điều đáng quan tâm.
- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm của SB và ME,..
- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Ví dụ: học sinh A15-24 viết MB//SA,…;hay như học sinh A1-26 đã mở rộng tam giác trong tên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD cho cắt nhau tại F. Lúc này, CM và SF dường như song song nhưng do không đủ dữ kiện nên học sinh này không đưa ra
kết luận. Nhưng khi được hỏi tại sao nối SF, em này trả lời SF và MC song song nhưng không biết chứng minh.
Hình 3.19. Bài làm của học sinh A1-26 3.4. Kết luận chương 3
Các kết quả thu được ở thực nghiệm cho phép chúng tôi hợp thức giả thuyết về việc tìm điểm chung trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, cụ thể là:
H1: “Khi gặp bài toán “ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh tìm điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.”
Đồng thời, đối với đa số học sinh (105/126 học sinh theo chiến lược S1 và các chiến lược khác như giao tuyến là SB,…) thì hình biểu diễn chỉ là một mô hình của đối tượng 2D chứ chưa phải là một mô hình của đối tượng 3D. Trong đó, có 96 trường hợp đã cho thấy sự tồn tại của quan niệm: “Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (giả thuyết H2)
Thực nghiệm này đã bộc lộ một trong những khó khăn của học sinh khi nghiên cứu VTTĐ giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn, đó là: trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, rất nhiều học sinh không thể tưởng tượng được VTTĐ giữa hai đường thẳng nếu chỉ dựa vào hình vẽ.
Do đó, để học sinh có thể phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, dựa trên yêu cầu của SGV về sử dụng MHTQ trong dạy học HHKG nói chung và VTTĐ giữa hai đường thẳng nói riêng, chúng tôi đề xuất giả thuyết công việc sau: “MHTQ có thể giúp học sinh phân biệt hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP.” Dẫn đến, chúng tôi đặt ra câu hỏi:
Q3: Giáo viên đã sử dụng MHTQ trong giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng như thế nào?
Đồng thời, để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”thay vì chỉ làm trên KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”chúng tôi đề xuất tăng cường KNV mới T’’’1:“Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”
Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào?
Chương 4. DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN
HHKG là một môn học quan trọng của toán học. Khả năng giải quyết các vấn đề hình học được kết nối chặt chẽ với TTTKG. Hiện nay, chúng ta thấy rằng học sinh và sinh viên ở nhiều cấp học khó khăn hơn trong việc giải quyết các vấn đề không gian:
chúng không thể hình dung hay tạo ra những hình ảnh không gian trong tâm trí.(Jančařík, 2016).
Do đó, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh sự cần thiết phải tăng cường sử dụng các yếu tố trực quan như là một phần của giáo dục nguyên thủy của toán học ở các cấp học khác nhau, đặc biệt là trong các trường trung học và đại học. Nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng việc sử dụng các biểu diễn trực quan trong giảng dạy các khái niệm có thể hỗ trợ hoặc cản trở học sinh trong quá trình hình thành các khái niệm. Trong chương trình phát triển giáo dục, nhiều giáo viên và các nhà viết sách đã chú ý sử dụng hơn đến việc sử dụng các hình vẽ, sơ đồ, hình ảnh trực quan v.v trong lớp học toán. Đặc biệt, cuộc cách mạng công nghệ đã xảy ra trong thập kỷ vừa qua, với sự phổ biến của máy tính và các công cụ đa phương tiện khác đã cung cấp cho giáo viên và các nhà nghiên cứu những yếu tố mới để thay đổi phương pháp giảng dạy HHKG. (Gutiérrez, 1996)
Trong chương này, chúng tôi sẽ tìm hiểu việc sử dụng của một loại PTTQ là MHTQ trong giảng dạy của giáo viên đối với tri thức VTTĐ giữa hai đường thẳng và thiết kế tình huống dạy học tìm hai đường thẳng cắt nhau trên MHTQ.
4.1. Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên
4.1.1. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng của giáo viên.
4.1.2. Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng bảng câu hỏi trên các giáo viên đã giảng dạy lớp 11 ở các lớp đã làm thực nghiệm 1 (ở chương 3) về việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian.
Phiếu 1: Khi dạy học “Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian”
(Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song), các thầy cô sử dụng phương tiện trực quan nào để biểu diễn vị trí tương đối giữa hai đường thẳng?
(các thầy cô đánh dấu X vào các lựa chọn, các thầy cô có thể chọn nhiều lựa chọn)
a) Hình biểu diễn phẳng (trên bảng, sách giáo khoa, v.v)
b) Đồ vật, hình ảnh thực tế
c) Mô hình các khối hình không gian như: tứ diện, lăng trụ, hình hộp chữ nhật v.v d) Hình biểu diễn 3 chiều từ các phần mềm hình học động e) Khác: ...
Sau khi thu từng phiếu, chúng tôi sẽ căn cứ trên từng lựa chọn của giáo viên để tiến hành phỏng vấn trực tiếp.
Phiếu 2: Câu hỏi phỏng vấn
Sử dụng các phiếu phỏng vấn tương ứng theo sơ đồ sau:
Phiếu 2.1: Thầy/ cô sử dụng đồ vật, mô hình, hình ảnh thực tế gì để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Phiếu 2.2: Thầy/ cô sử dụng phần mềm hình học động nào để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)? Phiếu 2 Phiếu 2.1 Lựa chọn 1b Lựa chọn 1c Phiếu 2.2 Lựa chọn 1d Phiếu 2.3 Lựa chọn 1e
Phiếu 2.3: Thầy/cô biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau) như thế nào?
Phiếu 3: Câu hỏi phỏng vấn
Thầy/ cô hướng dẫn học sinh bài tập sau như thế nào?
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song. Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB. Tìm giao tuyến của (SAE) và (MBC).
Thầy/ cô có sử dụng PTTQ đã dùng ở trên khi hướng dẫn bài tập này không? Vì sao?
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích phiếu 1: Tìm hiểu loại MHTQ được giáo viên sử dụng khi dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng.
Chúng tôi mô hình hóa các lựa chọn vào trong sơ đồ PTTQ trong dạy HHKG qua hình 4.1:
Hình 4.1: Vị trí của các lựa chọn trong PTTQ
Theo hình 4.1, lựa chọn a không phải MHTQ. Do đó, chúng tôi đưa ra lựa chọn này chỉ nhằm hạn chế việc giáo viên sẽ ghi mục này vào mục e) Khác:…Chúng
tôi cũng dự đoán đây là mục sẽ được tất cả giáo viên lựa chọn, do hình vẽ luôn là lựa chọn sư phạm quen thuộc khi biểu diễn đối tượng HHKG.
Lựa chọn b và c là lựa chọn do SGV gợi ý – “hình ảnh thực tế/mô hình”. Hai lựa chọn này có thể gộp chung trong vật thật nhưng chúng tôi tách riêng hai lựa chọn này để tăng tính phong phú cho câu lựa chọn và không gây hiểu nhầm cho giáo viên. Tuy nhiên, chúng tôi dự đoán lựa chọn b sẽ có nhiều giáo viên chọn do giáo viên sử dụng những vật thật có sẵn trong lớp học như cạnh tường, bút, thước,…còn lựa chọn c có thể ít được chọn do sự thiếu đa dạng và cồng kềnh trong di chuyển và sử dụng.
Lựa chọn d là do những năm gần đây với sự khuyến khích và đẩy mạnh sử dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong dạy học của Bộ Giáo dục và Đào tạo nên việc sử dụng phần mềm hình học động trong dạy học HHKG được rất nhiều quan tâm của giới nghiên cứu và giáo viên. Có rất nhiều sáng kiến kinh nghiệm, luận văn, luận án, tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm trong dạy học cho giáo viên như “bộ sách “ Khám phá Hình học 10 với The Geometer’s Sketchpad”,“ Khám phá Hình học 11 với The Geometer’s Sketchpad”, “ Khám phá Hình học 12 với The Geometer’s Sketchpad” do Trần Vui chủ biên (2007, 2008, 2009) đã giới thiệu nhiều hoạt động khám phá Hình học ở trường THPT với phần mềm Geometer’s Sketchpad”(Bùi Minh Đức, 2018). Do đó, đây là mục mà chúng tôi dự đoán sẽ có giáo viên lựa chọn.
Lựa chọn e chủ yếu để chúng tôi có thể biết thêm những MHTQ khác mà chúng tôi chưa tìm hiểu hết.
Mục đích phiếu 2: Tìm hiểu phương thức biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng được giáo viên sử dụng cho từng MHTQ. Từ đó, có thể biết được những ưu tiên sư phạm khi sử dụng MHTQ.
Phiếu 2.1 nhằm tìm hiểu giáo viên sử dụng những vật thật nào và như thế nào? Chúng tôi dự đoán giáo viên sẽ sử dụng những vật thật có sẵn trong lớp như cạnh tường lớp học hay hai cây bút, hai cây thước để minh họa cho VTTĐ của hai đường thẳng. Khi cần biểu diễn những VTTĐ này trên những hình mang tính chất “khối” thì giáo viên lại sử dụng hình biểu diễn phẳng chứ ít sử dụng những
mô hình hình khối không gian do kích thước cố định không thay đổi được của các mô hình và sự cồng kềnh trong di chuyển và sử dụng chúng. Tuy nhiên, học sinh lại làm việc thường xuyên trên những hình mang tính chất “khối” (như khối chóp, lăng trụ, hình hộp,…). Như vậy, chúng tôi tự hỏi học sinh có thể liên hệ được VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế với VTTĐ của hai đường thẳng trên hình khối hay không?
Phiếu 2.2 giúp chúng tôi tìm hiểu những phần mềm hình học động được giáo viên sử dụng. Mặc dù, có khá nhiều phần mềm hình học động nhưng chúng tôi dự đoán ngoài các tính năng biểu diễn hình phẳng 2D, các tính năng tạo hình biểu diễn 3D được giáo viên sử dụng là tính năng xoay, tính năng “trải” một khối đa diện lên mặt phẳng. Trong đó, tính năng xoay hình sẽ được giáo viên ưu tiên để học sinh có thể nhìn VTTĐ của hai đường thẳng dưới nhiều góc độ. Từ đó, học sinh có thể hình thành BTKG đúng đắn của VTTĐ giữa hai đường thẳng và hình dung VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế thông qua hình biểu diễn.
Phiếu 2.3 với mục đích tìm hiểu sâu hơn những MHTQ mà chúng tôi chưa biết. Mục đích phiếu 3: So với bài toán trong thực nghiệm đối với học sinh, chúng tôi không vẽ sẵn hình biểu diễn với mục đích tìm hiểu giáo viên sẽ sử dụng phương thức biểu diễn bài toán HHKG nào. Tương ứng với các phương tiện trực quan trong phiếu 1, chúng tôi dự đoán sẽ có ba chiến lược được giáo viên sử dụng để biểu diễn bài toán này.
Chiến lược 1: Dùng hình biểu diễn phẳng.
Giáo viên sẽ dùng những hình vẽ trên bảng hoặc hình biểu diễn 2 chiều trên máy chiếu để hướng dẫn học sinh.
Chúng tôi dự đoán đây là chiến lược sẽ được đa số giáo viên lựa chọn do hình biểu diễn phẳng là yêu cầu trong thể chế khi giải bài toán HHKG.
Chiến lược 2: Dùng vật thật
Chúng tôi dự đoán chiến lược này sẽ không xảy ra vì khó tìm được vật thật tương ứng cho bài toán.
Chiến lược 3: Dùng hình biểu diễn ba chiều.
Giáo viên sẽ biểu diễn hình vẽ của bài toán trên phần mềm hình học động và dùng tính năng dựng mặt phẳng, xoay hình để hướng dẫn cho học sinh.
Hình 4.3. Hình biểu diễn ba chiều trên phần mềm Geogebra
Chúng tôi dự đoán sẽ có rất ít giáo viên lựa chọn chiến lược này vì hình biểu diễn ba chiều thường được giáo viên dùng để trình chiếu, minh họa chứ ít dùng để hỗ trợ giải toán HHKG (theo Bùi Minh Đức, 2018)
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm
Chúng tôi đã điều tra trên ba giáo viên đã giảng dạy năm lớp 11 ở các lớp trong thực nghiệm 1:
Giáo viên A: có kinh nghiệm giảng dạy 14 năm, đã dạy lớp 12B5. Giáo viên B: có kinh nghiệm giảng dạy 17 năm, đã dạy lớp 12A1. Giáo viên C: có kinh nghiệm giảng dạy 15 năm, đã dạy lớp 12A15. Chúng tôi tóm tắt lựa chọn của ba giáo viên qua bảng sau:
Bảng 4.1. Lựa chọn của giáo viên Giáo viên Lựa chọn ở phiếu 1 Giải thích lựa chọn ở phiếu 2 Giải thích phiếu 3 A a, b, d Sử dụng những vật có sẵn trong lớp như những cột phòng học,..
Đôi khi trình chiếu bằng phần mềm Geogebra
Biểu diễn bằng hình vẽ trên bảng.
Nếu có thời gian sẽ trình chiếu bằng phần mềm Geogebra. B a, b, c Sử dụng những vật có sẵn
trong lớp như hai cây thước hoặc các cạnh phòng học,.., Đôi khi cho học sinh làm những mô hình khối tứ diện, hình chữ nhật,…
Biểu diễn bằng hình vẽ trên bảng.
C a, b Sử dụng những vật có sẵn trong lớp như cạnh bảng, phòng học.
Biểu diễn bằng hình vẽ trên bảng hoặc hình vẽ hai chiều trên phần mềm Sketchpad hoặc Geogebra.
Giải thích chi tiết:
Qua phỏng vấn, chúng tôi nhận thấy cả ba giáo viên khi giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian đều có sử dụng hình phẳng (lựa chọn a) và sử dụng MHTQ là những vật thật sẵn có trong lớp (lựa chọn b). Giáo viên B có sử dụng mô hình hình khối nhưng giải thích rất ít sử dụng vì học sinh mất thời gian làm và kích thước mô hình không thể thay đổi nên chỉ dùng để minh họa. Giáo viên A có sử dụng trình chiếu bằng phần mềm Geogebra nhưng chỉ dừng ở việc dựng mặt phẳng qua ba điểm. Giáo viên C khi được hỏi có sử dụng CNTT trong giảng dạy khái niệm này hay không đã trả lời là không cần thiết vì các vật thật có sẵn trong lớp đủ để minh họa.
Tất cả giáo viên khi biểu diễn bài toán đều sử dụng hình vẽ phẳng trên bảng và đều khẳng định không thể sử dụng được vật thật do không có vật thật phù hợp với yêu cầu bài toán. Giáo viên C sử dụng hình vẽ phẳng trên phần mềm Sketchpad hoặc Geogebra
để thuận tiện cho việc di chuyển điểm, thay đổi kích thước hình và tô màu những mặt phẳng cần tìm. Giáo viên này còn giải thích khi giảng dạy về khái niệm giao tuyến của hai mặt phẳng, giáo viên có thể sử dụng một quyển sách mở để minh họa cho hai mặt phẳng và cạnh quyển sách là giao tuyến. Giáo viên A sử dụng hình vẽ trên phần mềm Geogebra để tiện cho việc “mở rộng” mặt phẳng bằng tính năng dựng mặt phẳng qua ba điểm để học sinh dự đoán giao tuyến.
Đối chiếu với kết quả của học sinh các lớp tương ứng trong thực nghiệm 1 ta nhận