HỆ ĐỊNH HƯỚNG
4.2.1. Phương pháp tìm nghiệm
divE m = 0 divHm = 0
Với điều kiện biên:
Eτ = ψ (4.2.2)
Ở đây, ký hiệu Em , Hm là các vector biên độ phức của cường độ điện trường và từ trường. Eτ là thành phần tiếp tuyến của cường độ điện trường. ε và μ là hằng số điện môi và hằng số từ mơi của mơi trường.
Để tìm nghiệm của hệ (4.2.1) với điều kiện biên (4.2.2), ta chuyển nó về dạng các phương trình sóng cho các vector Em , Hm và được các phương trình thuần nhất sau:
∇2 E m + k 2 E m = 0
(4.2.3)
∇2 Hm + k 2 Hm = 0
Ở đây, k = ω εμ
Như vậy, bài tốn tìm trường điện từ trong đường truyền đồng nhất là bài tốn tìm nghiệm của hệ phương trình sóng thuần nhất (4.2.3) với điều kiện biên (4.3.2).
4.2.1. Phương pháp tìm nghiệm
Ta có thể tìm nghiệm phương trình sóng theo các phương pháp khác nhau. Ta nhận thấy rằng: đường truyền siêu cao đồng nhất có trục truyền sóng là thẳng và tiết diện ngang khơng đổi dọc theo trục tuy ền sóng. Vì vậy, khi áp dụng hệ tọa độ trụ tổng qt, ta có thể tìm nghiệm của các phương trình sóng (4.3.3) theo phương pháp chung rất thuận tiện cho các dạng khác nhau của đường truyền siêu cao đồng nhất.
Ta chọn hệ tọa độ sao cho trục Oz song song với trục của ống dẫn sóng. Hai trục ngang khác có tọa độ là q1, q2 nằm trong mặt phẳng tiết diện ngang của đường truyền đồng nhất. Mặt giới hạn vùng truyền dẫn ký hiệu là Sbk (k = 1, 2, 3, …) và các đường bao ngang ký hiệu là L⊥k (k
= 1, 2, 3, …).
Áp dụng phươ ng pháp phân ly biến số, ta có thể tìm nghiệm của các phương trình sóng (4.2.3) trong hệ tọa độ trụ tổng quát dưới dạng sau:
E m (q1,q2 , z) = E ⊥ (q1 , q2 ).F (z)
(4.2.4)
Hm (q1, q2 , z) = H⊥ (q1, q2 ).F (z)
và tìm được dạng của hàm Fz = e±γz.
Ở đây, γ = α + iβ là hằng số truyền của sóng dọc theo trục z của đường truyền, α là hệ số tiêu hao, β là hệ số pha của sóng. Như vậy các q trình sóng truyền dọc trục z của đường truyền phụ thuộc vào tọc độ đều có thể biểu diễn qua hàm mũ e±γz.
Dấu trừ ở số mũ của nó ứng với sóng truyền theo hướng trục z dương, cịn dấu cộng ứng với sóng truyền theo hướng ngược lại. Từ đây về sau, ta quy ước chỉ sử dụng hàm e-γz. Tức là chọn hàm F(z) có dạng:
F(z) = e-γz (4.2.5)
Các E⊥ , H⊥ là các vector cường độ điện, từ trường phụ thuộc vào các tọa độ ngang q1, q2.
Ta đặt:
E ⊥ (q1, q2 ) = Eq (q1 , q2 ) + iz .Ez (q1 , q2 )
(4.2.6)
H⊥ (q1, q2 ) = Hq (q1, q2 ) + iz .H z (q1, q2 )
Các Eq , Hq là các thành phần ngang của trường, còn Ez, Hz là các thành phần dọc theo trục
z của trường. Vì trường phụ thuộc vào tọa độ z có dạng của biểu thức (4.2.5) nên tón tử Laplace trong tọa độ trụ tổng quát có thể viết:
∇2 = ∇2 + ∂2 = ∇2+ γ 2 (4.2.7)
∂z2
q q
∇2q là toán tử Laplace tác động chỉ lên các tọa độ q1, q2.
Từ các biểu thứ c (4.2.4), (4.2.5), (4.2.6), (4.2.7), ta chuyển được các phương trình sóng về dạng đơn giản hơn như sau:
∇q2 E q + χ 2 E q = 0 (4.2.8) ∇q2 Hq + χ 2 Hq = 0 ∇q2 Ez + χ 2 Ez = 0 (4.2.9) ∇q2 H z + χ 2 H z = 0 Ở đây: χ2 = k2 + γ2 (4.2.10)
được gọi là số sóng ngang, nó liên quan đến dạng cụ thể của tiết diện ngang đường truyền đồng nhất.
Từ hệ thống phương trình Maxwell (4.2.1), các thành phần ngang của cường độ điện từ trường có thể biểu diễn qua các thành phần dọc của chúng theo biểu thức sau:
χ 2 E q = −γ∇ E z + iωμ[i × ∇ H ] q z q z (4.2.11) χ 2 H = −γ∇ H − iωε[i × ∇ E q q z ] zq z Ở đây: ∇ = ∇q + iz .γ (4.2.12)
là toán tử Gradient, ∇q là các thành phần ngang của nó trong tọa độ trụ tổng quát. Như vậy việc tìm nghiệm của các phương trình sóng (4.2.3) chuyển về việc tìm nghiệm của các phương trình sóng (4.2.9) cho các thành phần dọc của trường Ez, Hz và áp dụng biểu thức (4.2.11).
Nghiệm của các phương trình (4.2.9) sẽ được tìm tùy theo dạng cụ thể tiết diện ngang của đường truyền, vì lúc ấy mới có biểu thức cụ thể cho ∇2q .
Bây giờ chúng ta hãy phân tích điều kiện biên (4.2.2). Tại một điểm M bất kỳ trên chu vi tiết diện ngang của đường truyền L⊥ ta xây dựng ba vector: vector đơn vị in pháp tuyến với mặt giới hạn Sb, vector đơn vị il tiếp tuyến với chu vi L⊥, vector đơn vị iz hướng theo trục z. Cả ba vector này hợp thành một tam diện thuận có đỉnh tại M. Như vậy một thành phần tiếp tuyến bất kỳ của trường đều có thể biểu diễn như sau:
Eτ = il El + iz Ez = iτ Eτ (4.2.13)
iτ là vector đơn vị tiếp tuyến với mặt Sb tại điểm M.
Từ biểu thức (4.2.11) và (4.2.13), điều kiện biên (4.2.2) có thể cho dưới dạng tương đương sau:
Ez L⊥ =ψ 1 ∂ H z (4.2.14) =ψ 2 ∂ n L⊥
Các hàm đã cho ψ1, ψ2 phụ thuộc vào tọa độ ngang q1, q2.
Đến đây, các phương trình sóng (4.2.9) cho các thành phần dọc Ez, Hz của trường và điều kiện biên (4.2.14) có thể tách làm hai bài tốn như sau:
1) Bài tốn Dirickle đối với Ez có dạng:
∇2q Ez + χ 2 Ez = 0
(4.2.15)
E
z L⊥ =ψ1 1
2) Bài tốn Noyman đối với Hz có dạng:
∇2q H z + χ 2 H z = 0 ∂ H z =ψ 2 (4.2.16) ∂ n L ⊥
Như vậy việc tìm các thành phần của cường độ trường điện từ trong đường truy ền đồng nhất thực chất là tìm nghiệm của hai bài tốn Drickle và Noyman. Nghiệm của chúng bao gồm vô số các hàm riêng ứng với các giá trị riêng khác nhau có phân bố gián đoạn trong miền xác định.
Trong đường truy ền thống nhất, trường điện từ tồn tại có cấu trúc và tính chất khác nhau. Người ta có thể phân loại trường dựa trên đặc trưng phân bố của nó dọc theo trục đường truyền và dựa trên các thành phần của trường. Trong hai mục tiếp theo 4.2.2 và 4.2.3, chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu các cách phân loại trường khác nhau: theo đặc trưng phân bố của trường dọc theo trục z và theo các thành phần trường.