CHƯƠNG 5: HỘP CỘNG HƯỞNG
5.1. phẩm chất của hộp công hưởng (i) Khái niệm chung
Độ phẩm ch ất của hộp cộng hưở ng là một tham số cơ bản, nó đặc trưng cho khả năng duy trì các dao động tự do trong hộp và dải thông của hộp. Nếu hộp cộng hưởng đượ c sử dụng làm mách dao động cộng hưởng trong máy thu thì độ phẩm chất của nó đánh giá khả năng chọn lọc tần số của máy thu.
Độ phẩm chất của mạch cộng hưởng đối với một dạng mạch dao động riêng được xác định bởi biểu thức sau:
Q = ω W (5.1.1) P 0 Hoặc: th Q = 2π WW (5.1.2) th ω =ω 0
Ở đây, W là năng lượng của trường điện từ tích lũy trong hộp. Wth là năng lượng điện từ tiêu hao trong hộp sau một chu kỳ của trường, Pth là công suất tiêu hao của trường trong hộp, ω0 là tần số cộng hưởng của dạng dao động. Vì trong hộp cộng hưởng tồn tại vơ số các dao động riêng, mỗi dạng có cấu trúc trường riêng nên có năng lượng tích lũy, năng lượng tiêu hao hay cơng suất tiêu hao riêng, do đó hộp cộng hưởng cũng có vơ số độ phẩm chất. Từ nay về sau, khi xét độ phẩm chất của hộp cộng hưởng, ta hiểu ngầm là chỉ cho một dạng dao động riêng không suy biến tồn tại trong hộp.
(ii) Các loại độ phẩm chất
Tiêu hao năng lượng của trường điện từ trong hộp cộng hưởng do các nguyên nhân sau: tiêu hao trên bề mặt bên trong của hộp do hiệu ứng bề mặt, tiêu hao trong chất điện môi chứa trong hộp, tiêu hao do ghép với tải bên ngoài của hộp. Nên ta có thể viết:
Pth = Pthkl + Pthdm + Ptht (5.1.2)
Và ta viết (5.1.2) dưới dạng sau:
1 = Pth = 1 + 1 + 1 = 1 + 1 (5.1.3)
Q Wω Q Q Q Q Q
t 0 kl dm ng 0 ng
Ta đưa vào các loại độ phẩm chất sau của hộp:
Q = ω 0 W (5.1.4) P kl thkl
Là độ phẩm chất của hộp khi chỉ tính đến tiêu hao do hiệu ứng bề mặt trong hộp.
Q = ω W (5.1.5)
0 P
dm
thdm
Là độ phẩm chất của hộp khi chỉ tính đến tiêu hao trong chất điện mơi chứa trong hộp.
Q = ω 0 W (5.1.6) P ng tht
Là độ phẩm chất ngoài khi chỉ tính đến tiêu hao do ghép tải ở ngồi hộp. Trong trường hợp chung thì độ phẩm chất của hộp cộng hưởng là độ phẩm chất tải Qt. Q0 được gọi là độ phẩm chất không tải hay độ phẩm chất riêng của hộp. Nó chỉ liên quan đến tiêu hao xảy ra trong bản thân hộp mà khơng tính đến ảnh hưởng của tải. Ta có:
1
= 1 + 1 (5.1.7)
Q Q Q
0 kl dm
Để chỉ mức độ liên kết giữa hộp cộng hưởng và tải bên ngồi, người ta cịn đưa vào khái niệm hiệu suất của hộp cộng hưởng và ký hiệu bởi chữ ηh được xác định bởi biểu thức sau:
ηh = P tht (5.1.8) P th Từ (5.1.3), (5.1.6), và (5.1.8) ta tính được: η th = Qt = Q0 = 1 −Qt (5.1.9) Q 0 +Q ng Q 0 Q ng
Khi Q0 = Qng ta có sự ghép giữa hộp cộng hưởng và tải ở chế độ tới h ạn. Khi Qng < Q0 ta có chế độ ghép chặt, ngược lại chế độ ghép lỏng ứng với trường hợp Qng > Q0.
(iii) xác định độ phẩm chất
Ta có thể tính được biểu thức của Qkl khi biết biểu thức các thành phần trường điện từ của dạng dao động đã cho theo cơng thức (5.1.4).
Năng lượ ng tích lũy của trường điện từ W có thể tính qua điện năng cực đại hay từ năng cực đại. Ở đây ta tính qua từ năng cực đại. Do đó ta có thể viết:
W = W =1 μH
m
2 dV (5.1.10)
M
2 V∫
Cịn cơng suất tiêu hao do hiệu ứng bề mặt trong hộp được tính theo biểu thức:
Pth = 1 R s ∫Hτ 2 dS (5.1.11) 2 S h
Hm là biên độ của từ trường H trong hộp cộng hưởng. Hτ là thành phần tiếp tuyến của trường tại thành phần bên trong hộp cộng huởng. Còn:
Rs = ωμkl (5.1.12)
2σ kl
Là điện trở mặt riêng của kim loại làm thành hộp cộng hưởng.
Từ (5.1.4), (5.1.10) và (5.1.11), ta nhận được độ phẩm chất; Qkl = ω 0μ∫Hm2 dV = 2μ ∫Hm2 dV (5.1.13) V V R s ∫ Hm2 dV δμkl ∫Hm2 dV V V
Với δ = ω μ σ2 Là độ sâu thâm nhập của trừơng, μkl, σkl là độ từ thẩm và độ dẫn 0 kl kl
riêng của kim loại thàn hộp, μ là độ từ thẩm của điện môi chứa trong hộp, Sh là diện tích thành
hộp.
Việc tính chính xác Qkl theo (5.1.13) khó vì trong tr ường hợp chung, dạng hộp cộng hưởng rất phức tạp và khó tìm được nghiệm của phương trình sóng qua biểu thức giải tích. Tuy nhiên ta có thể đánh giá sơ bộ giá trị của Qkl như sau: khi áp dụng kết quả của định lý trung bình ta có thể
viết:
∫ Hm2 dV ≈ Hmtb2 .V (5.1.14)
V
∫ Hτ 2 dS ≈ Hτ2tb .Sh (5.1.15)
Sh
Đối với kim loại làm hộp cộng hưởng thường có μkl ≈ μ0 và điện mơi trong hộp cũng có μ ≈μ0. Ở đây, Hmtb và Hτtb là giá trị trung bình của biên độ từ trường và thành phầ tiếp tuyến của nó ở trên hộp và trên thành hộp. Lúc ấy, biểu thức (5.1.13) có dạng:
Q = k V 1 (5.1.16) kl S δ k = 2Hmtb2 (5.1.17) Hτ2tb
Từ biểu thức (5.1.16), ta nhận xét như sau: Qkl phụ thuộc vào tỉ số của thể tích và diện tích mặt hộp V/S, phụ thuộc vào dạng dao động riêng trong hộp và tỉ lệ nghịch với độ thấm sâu của
trường δ. Thơng thườ ng ở dải sóng cm thì tỉ s ố V/Sh cỡ bước sóng, hệ số k cỡ đơn vị, còn độ thấm sâu cỡ một phần của micromet nên độ phẩm chất Qkl có giá trị vào khoảng 103 đến 104, lớ n gấp nhiều lần độ phẩm chất của khung dao động tập trung. Muốn cho Qkl của hộp lớn, ta phải chọn dạng hộp và dạng dao động trong nó thích hợp và đặc biệt giảm trở mặt riêng Rs của nó bằng cách chọn kim loại có độ dẫn điện cao làm thành hộp và gia công mặt bên trong hộp cho thật nhẵn.
Hộp cộng hưởng tiếng vọng ở dải sóng cm dùng trong đài rada đạt được Q0 cỡ hàng trăm nghìn.
nếu trong hộp cộng hưởng chứa đầy chất điện mơi có độ dẫn σdm thì cơng suất tiêu hao trong nó được
tính theo cơng thức: P thdm = 1 ∫ J.E.dV = 1σ dm ∫ Em2 dV 2 V 2 V
Năng lượng của trườ ng tích lũy trong hộp bằng năng lượng điện trường cực đại trong nó và được tính theo cơng thức:
W = WE = 1 εdm ∫ Em 2 dV2 V 2 V
Em là biên độ điện trường trong hộp, εdm là độ điện thẩm của điện môi chứa bên trong hộp.
Theo biểu thức (5.1.5), ta nhận được:
Q =ω 0ε
dm = 1 (5.1.18)
dm σ
dm tgδe
Từ biểu thức (5.1.18) cho ta kết quả là độ phẩm chất Qdm của hộp chỉ do tính chất của bản thân chất điện mơi chứa bên trong hộp quyết định, không phụ thuốc vào dạng của hộp.
Từ các biểu thức (5.1.7), (5.1.13) và (5.1.18) ta xác định được độ phẩm chất riêng Q0 của Việc tính biểu thức Qng liên quan đến bài tốn kích thích hay ghép của trường và phụ thuộc vào dạng của hộp và phần tử kích thích hay ghép. Ở đây ta khơng xét đến bài toán này. Bây giờ ta xác định Qt. Do khó khăn của việc tính Qng nên tính Qt theo biểu thức (5.1.3) là không nên. Phương pháp thuận tiện hơn để xác định Qt của hộp cộng hưởng là qua đo đạc bằng thực nghiệm dựa trên mối quan hệ giữa Qt với hằng số thời gian τ của dao động tự do trong hộp và độ rộng dải thông 2Δω (hoặc 2 f) của hộp trong chế độ cưỡng bức.
Nếu ta kích thích hộp cộng hửong bằng một xung đơn thì trong hộp có dao động tự do với tần số cộng hưởng ω0 nhưng do có tiêu hao nên dao động tự do tắt dần. Năng lượng tích lũy của nó giảm theo hàm mũ. Từ đó ta có biểu thức:
dW
= −Pth = −ω0 W
dt Qt
dấu (-) là chỉ sự giảm năng lượng của dao động tự do trong hộp.
Từ phương trình vi phân trên ta tìm được quy luật giả của năng lượng W:
−ω 0 t
Q t
W = W 0 .e (5.1.19)
W0 là năng lượng ban đầu của dao động trong hộp. vì biên độ trường tỉ lệ với căn bậc hai của năng
lượng nên ta có thể viết:
−ω0t t
Qt
Em = Em0.e = Em0e τ (5.1.20)
τ =
2Qt
(5.1.21)
ω0
Nếu cho t = τ thì từ (5.1.20) ta được:
Em = Em0.e−1hay Em0
= e
Em
Tức sau khoảng thời gian bằng hằng số τ thì biên độ trường của dao động tự do trong hộp giảm đi e lần so với giá trị ban đầu Em0. Nếu ta đo được τ thì từ (5.1.21) xác định được Qt của hộp. Bây giờ ta tìm mối quan hệ giữa Qt và dải thơng của hộp: ứng với mỗi dạng dao động riêng, hộp cộng hưởng trong chế độ dao động cưỡng bức ở vùng tần số xung quanh tần số cộng hưởng, đường cong cộng hưởng của hộp có dạng tươ ng tự như dạng của mạch dao động LC tập trung. Cụ thể ta có thể tìm được dạng đường cong cộng hưởng của hộp như sau:
Em = E m0 (5.1.22) ω − ω 0 2 2Qt 1 + ω0
Em0 là biên độ của trường ở tần số cộng h ưở ng. Nếu gọi các tần số ω1, ω2 là giới hạn của dải thông của hộp mà tại đây biên độ trường giảm đi 0,707 so với giá trị cực đại Em0 thì ta có:
Em (ω1,ω2 ) = Em0 = 1 E m0 ω − ω 0 2 2 2Qt 1 + ω 0 tức là: 2Q ω = 1 và suy ra: t ω 0 Q = ω0 = f0 (5.1.23) t 2 ω 2 f
2Δω = ω2 - ω1, 2 f = f2 – f1 là dải thơng của hộp cộng hưởng.
Từ (5.1.23) ta có thể xác định được độ phẩm chất tải Qt của hộp nếu đo đuợc dải thơng của nó.
(iv) Biểu diễn sơ đồ tương đương của hộp cộng hưởng
Khi nghiên cứu các mạch có s ử dụng hộp cộng hưởng như trong mạch dao động của máy phát, máy thu, thiết bị đo, các bộ lọc siêu cao, việc biểu diễn hộp cộng hưởng qua sơ đồ tuơ ng đương rất tiện lợi. Khi hộp cộng hưởng làm việc với một dạng dao động riêng không suy biến và khi các tần số cộng hưởng của các dạng dao động riêng lân cận khác cách tần số cộng hưởng của dạng dao động công tác một khoảng không nhỏ hơn một nửa độ rộng dải thông của hộp ứng với dạng dao động cơng tác thì ta có thể biểu diễn hộp cộng hưởng dưới dạng sơ đồ tương đương như một mạch dao động tập trung mắc song song như hình sau:
Hình 5.1 Dẫn nạp của hộp sẽ là: 1 Y = G + iB = G + iωC − (5.1.24) ωL Độ dẫn: G = Gh + Gt (5.1.25)
Trong đó Gh là độ dẫn của bản thân hộp và Gt là độ dẫn phản ánh từ tải qua phần tử ghép vào hộp, cón C và L là điện dung và điện cảm của hộp khi có phản ánh của tải vào hộp. vì ở siêu cao tần, ta có thể đo đạc được độ dẫn G và điện nạp B của hộp nên ta có thể tính được độ phẩm chất Qt và Q0 của hộp.
Ta biết điện nạp B của hộp có dạng:
C
1
B = ωC 1 − = (ω − ω )(ω + ω)
ω
ω2 LC 0 0
ở tần số cộng hưởng ta có thể coi ω + ω0 ≈ 2ω0 nên có:
B ω ≈ω0 = 2C(ω − ω0 ) = 2C ω
Từ đó ta tìm được:
C= 1 dB
2 dω
ω ≈ω0
Từ biểu thức tính độ phẩm chất mạch có thơng số tập trung hay nối tiếp (đã học trong lý thuyết mạch), ta có cơng thức xác định độ phẩm chất Qt và Q0 của hộp cộng hưởng:
Qt = ω0 dB (5.1.26)
2(Gh + Gt ) dω ω ≈ω0
Q = ω0 dB (5.1.27)
0
2Gh dω ω ≈ω0
Từ thực nghiệm, người ta đã rút ra các kết luận sau:
- Điện dẫn của bản thân hộp cộng hưởng Gh xung quanh tần số cộng hưởng ω0 không thay đổi.
- Điện nạp B của hộp phụ thuộc tuyến tính vào tần số và có độ dốc càng lớn khi độ phẩm chất Q0 của hộp lớn, đạo hàm dB/dω > 0.
- Điện nạp B của hộp sẽ đổi dấu khi qua ầtn số cộng hưởng ω0.