V. Hệ suy luận tự nhiên của logic mệnh đề
3. Tính không mâu thuẫn và đầy đủ của cách ệS và NS
Tính không mâu thuẫn và tính đầy đủ là những tính chất đặc biệt quan trọng của một số hệ logic. Tính không mâu thuẫn được hiểu theo hai nghĩa: Không mâu thuẫn nội tại (còn gọi là không mâu thuẫn cú pháp (Syntax)) và không mâu thuẫn ngữ nghĩa (Semantics). Hệ L gọi là không mâu thuẫn nội tại, nếu trong L không thể chứng minh được một công thức A nào đó, đồng thời chứng minh được phủ định ¬A của nó. Nghĩa là L không mâu thuẫn cú pháp khi không tồn tại A sao cho
Định lý 1.5: Nếu A là định lý của S (hoặc NS) thì A nhận toàn giá trị T trong bảng chân lý của nó (A là quy luật logic).
Tính không mâu thuẫn Semantics (soundness) của hệ S và NS có nghĩa rằng mọi định lý của hệ S (và NS) đều là các quy luật logic, nghĩa là các công thức nhận toàn giá trị T trong bảng chân lý của nó.
Chứng minh. Ta chỉ cần chỉ rõ điều này với hệ S, hệ NS tương đương với S nên có kết luận tương tự. Trước hết ta thấy tất cả các tiên đề của S đều là quy luật logic. Quy tắc MP bảo toàn giá trị đúng, thật vậy, nếu X ⊃ Y đúng, Y đúng thì theo định nghĩa của phép kéo theo ⊃, Y cũng có giá trị đúng.
Giả sử A là định lý của S, khi đó có một phép chứng minh với A là công thức cuốí cùng. Công thức đầu tiên không phải là tiên đề trong phép chứng minh này phải rút ra được từ các công thức trước nó là tiên đề theo MP, và vì vậy, nó là quy luật logic. Công thức tiếp sau đó nếu không là tiên đề thì cũng nhận được từ các quy luật logic theo MP, vậy là quy luật logic. Cứ như vậy, ta sẽ đến công thức cuối cùng A, và A phải là quy luật logic vì nhận được từ các quy luật logic theo MP.
Định lý 1.6 Hệ S và NS không mâu thuẫn cú pháp , nghĩa là không tồn tại công thức A sao cho A và ¬A là định lý của S, hoặc A và ¬A là định lý của NS.
Chứng minh Giả sử tồn tại công thức A sao cho cả A và ¬ A đều là định lý của S (NS). Khi đó, theo siêu định lý 3, cả A và ¬ A đều là quy luật logic. Nhưng điều này vô lý, vậy không tồn tại công thức A sao cho cả A và ¬ A đều chứng minh được trong S (NS).
Chúng ta thừa nhận tính đầy đủ S và NS trong siêu định lý sau đây:
Định lý 1.7 Nếu A là quy luật logic thì A là định lý của hệS (và NS).
Các định lý 1.6 và 1.7 nói lên quan hệ giữa các định lý của hệ S (NS) và các quy luật logic (tức là các công thức chỉ nhận giá trị T trong bảng chân lý của mình). Như vậy, các định lý đó xác định ý nghĩa của các hệ logic S và NS.