II. Diễn giải (Interpretation) Mô hình (Model)
3. Mô hình (model) Quy luật logic
Mô hình của một công thức là diễn giải trong đó công thức ấy đúng. Diễn giải U trong ví dụ 3 trên đây là mô hình của công thức R(x, f(x)) . Diễn giải I trong ví dụ 2 trên đây không phải là mô hình của công thức ∀xR(a,x).
Không phải công thức nào cũng có mô hình. Trái lại, có những công thức mà diễn giải nào cũng là mô hình của chúng.
Công thức được gọi là hằng đúng (hay quy luật logic) nếu nó đúng trong mọi diễn giải, và được gọi là hằng sai (hay mâu thuẫn logic) nếu nó không đúng trong bất cứ
một diễn giải nào. Như vậy công thức là hằng đúng nếu như mọi diễn giải đều là mô hình của nó; và công thức là hằng sai, nếu nó không có mô hình nào. Công thức hằng
đúng Ađược ký hiệu là |= A. Công thức đúng trong một số diễn giải, sai trong một số
diễn giải khác gọi là công thức trung hòa.
Dễ dàng chứng minh được những khẳng định sau đây : (1) |= A khi và chỉ khi |= ∀x A .
(2) |= (A ∨¬ A).
(3) Công thức A & ¬ A là mâu thuẫn logic. (4) |= (∀xA ⊃ A)
(5) |= (A ⊃∃xA)
(6) |=∃xA ≡¬ (∀x¬ A)
(7) |=∀xA ≡¬ (∃x¬ A)
Chứng minh khẳng định (1).
Từ trái qua phải. Giả sử |= A, nghĩa là I(A) = T với mọi diễn giải I. Giả sử ∀x A
không phải là công thức hằng đúng. Khi đó có diễn giải, tạm gọi là J, sao cho J(∀xA) = F. Điều này có nghĩa là có diễn giải Jx/ d sao cho Jx/ d(A) = F. Nhưng điều này mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu. Vậy, với mọi diễn giải J ta có J(∀xA) = T, nghĩa là |=∀xA.
Chiều ngược lại. Giả sử |=∀xA, nghĩa là I(∀xA) = T với diễn giải I tùy ý. Giả sử variable assignment của I là νI, và νI(x) = a. Khi đó I = Ix/ a. Nhưng I(∀xA) = T lại có nghĩa là Ix/d(A) = T với mọi d ∈ DI, từđây Ix/a(A) = T = I(A).Ađúng trong diễn giải I bất kỳ, vậy |= A. Chứng minh xong.
Chứng minh khẳng định (2) :
Với diễn giải I tùy ý Ađúng trong I hoặc A sai trong I. Nếu A đúng trong I thì theo
định nghĩa diễn giải, A ∨¬Ađúng trong I. Ngược lại, nếu A sai trong I thì theo định nghĩa diễn giải, ¬A đúng trong I, vì thếA ∨¬A cũng đúng trong I. Như thếA ∨ ¬A
luôn luôn đúng trong I. Vậy, A ∨¬A là công thức hằng đúng. Chứng minh khẳng định (6) :
Ta cần chỉ ra rằng với mọi diễn giải I, nếu ∃xAđúng trong I thì ¬∀x¬Ađúng trong I, và ngược lại, nếu ¬∀x¬Ađúng trong I thì ∃xAđúng trong I.
Lấy diễn giải I tùy ý. Nếu ∃xAđúng trong I thì, theo định nghĩa, ta có ít nhất một phần tử d thuộc miền diễn giải D của I sao cho Ađúng trong Ix/d. Từđây, ¬A sai trong Ix/d.
Vì thế ∀x¬A sai trong Ix/d. Vậy, theo định nghĩa, ¬∀x¬Ađúng trong I.
Ngược lại, Nếu ¬∀x¬Ađúng trong I thì ∀x¬A sai trong I. Nói cách khác, tồn tại phần tử c thuộc miền diễn giải D của I sao cho ¬A sai trong Ix/c. Vì ¬A sai trong Ix/c nên A
đúng trong Ix/c. Vậy, theo định nghĩa, ∃xAđúng trong I. Các khẳng định còn lại bạn đọc hãy tự chứng minh.
Để chứng tỏ rằng công thức là một quy luật logic, cần phải chỉ ra rằng nó đúng trong mọi diễn giải. Kiểm tra tính đúng sai của công thức trong mọi diễn giải là một việc nói chung rất khó khăn, vì có những diễn giải có miền diễn giải là tập hợp vô tận hoặc tập hợp gồm rất nhiều phần tử. Nhưng để chứng tỏ rằng một công thức không phải là quy luật logic thì chỉ cần đưa ra một diễn giải trong đó nó sai. Người ta thường sử
dụng điều này để chứng tỏ công thức không phải là quy luật logic, đó chính là phương pháp dùng phản ví dụ.
Công thức A kéo theo công thức B (hay còn nói là B là hệ quả logic của A) nếu trong mọi diễn giải mà Ađúng thì B cũng đúng. Tổng quát hơn, công thức B là hệ quả của tập hợp công thức Γ (ký hiệu Γ|= B ), nếu nhưBđúng trong mỗi diễn giải mà tất cả
các công thức từ tập Γ đúng.