Chúng ta đã thấy một công thức có thểđúng trong diễn giải này, và sai trong diễn giải khác. Với một diễn giải nhất định sẽ có những công thức đúng trong nó và các công thức khác sai trong nó. Rõ ràng hai diễn giải I và J khác nhau nếu tập hợp các công thức đúng trong I khác với tập hợp các công thức đúng trong J. Nói cách khác, I và J khác nhau nếu có một công thức A nào đó có giá trị chân lý trong I và trong J khác nhau. Tuy nhiên, nếu tập hợp công thức đúng trong diễn giải I và tập hợp công thức đúng trong diễn giải J như nhau thì cũng chưa thể khẳng định I trùng với J. Thật vậy, ví dụ, tập hợp công thức đúng trong hai diễn giải I và J sau đây là như nhau: Diễn giải I =< DI, ΠI, ΦI, ΨI, νI>
DI = {Nam, Bình}
ΦiI(a)= Nam
ΦiI(b)= Bình
ΨiI(f)(Nam) = Nam
ΨiI(f)(Bình) = Nam
ΠiI(P) = {<Nam>, <Bình>}
ΠiI(Q) = ΠiI(R) = ΠiI(S) = … = { }
Diễn giải J = < DJ, ΠJ, ΦJ, νJ> DJ = {Nam, Bình} ΦJ(a)= Bình ΨJ(b)= Nam ΨJ(f)(Nam) = Bình ΨJ(f)(Bình) = Bình ΠJ(P) = {<Nam>, <Bình>} ΠJ(Q) = ΠJ(R) = ΠJ(S) = … = { } νJ(x) = νJ(y) = νJ(z) = … = Bình
Vì rõ ràng ΦI ≠ ΦJ và νI ≠ νJ, nên I ≠ J.
Như vậy, bằng các tập hợp công thức chúng ta không phân biệt được các diễn giải với nhau.
Ta đã biết rằng theo định nghĩa, một công thức là quy luật logic khi và chỉ khi nó đúng trong mọi diễn giải. Vì vậy, một trong các phương pháp xác định xem công thức có phải là quy luật logic hay không là xét xem nó có đúng trong từng diễn giải hay không. Ta cũng đã biết rằng công thức B là hệ quả logic của tập hợp các công thức Γ khi và chỉ khi B đúng trong mọi diễn giải mà tất cả các công thức trong Γđều
đúng. Như vậy, để xác định xem B có phải là hệ quả logic của tập hợp công thức Γ hay không, phải xét hết các diễn giải mà trong đó tất cả các công thức từΓđều đúng. Sự kiện có những diễn giải mà tập hợp công thức đúng trong chúng như nhau gợi ý tưởng rằng khi xét xem công thức có phải là quy luật logic hay không ta không thật sự
cần xét hết các diễn giải, mà chỉ cần xét cho mỗi nhóm diễn giải có chung tập hợp công thức đúng một đại diện mà thôi. Cũng vậy, để xét xem một công thức có là hệ
quả logic của một tập hợp các công thức khác hay không ta cũng chỉ cần xét một số
các diễn giải là đại diện cho các nhóm diễn giải trong đó tất cả các công thức trong tập hợp đã cho đều đúng. Chẳng hạn, chỉ cần xét một trong hai diễn giải I hoặc J trên đây là đủ thay vì xét cả hai. Nếu như ta có thể chia tập hợp tất cả các diễn giải thành từng nhóm có chung tập công thức đúng thì khi đó chỉ cần xét một phần tử nào đó bất kỳ
cho mỗi nhóm như vậy mà thôi. Tuy nhiên điều này đòi hỏi trước hết phải tiến hành phân nhóm các diễn giải. Mà đây là một vấn đề vô cùng khó thực hiện. May mắn thay, có một hướng khác : trong một số trường hợp có thể xác định tất cả các đại diện cho các nhóm diễn giải có chung tập hợp công thức đúng (mặc dù chưa xác định được các nhóm như vậy), rồi chỉ xét các đại diện đó mà thôi. Các diễn giải đại diện như vậy là diễn giải herbrand.
1. Miền herbrand
Miền herbrand của công thức ϕ là tập hợp Hϕ, nhỏ nhất trong số các tập hợp thỏa mãn các điều kiện sau đây :
• Mọi hằng đối tượng a có mặt trong công thức ϕ đều là phần tử của Hϕ.
• Nếu ϕ không chứa ký tự hằng đối tượng nào thì Hϕ chứa một hằng herbrand, ký hiệu là δ.
• Với mỗi ký tự hàm đối tượng n-ngôi f trong ϕ, nếu h1, h2, …, hnđều là phần tử của
Hϕ, thì f(h1, h2, …, hn) cũng là phần tử của Hϕ.
Các ví dụ sau đây giúp chúng ta hiểu rõ hơn về miền herbrand.
Ví dụ 1. Với công thức P(x)
Miền herbrand là tập hợp gồm duy nhất một phần tử {δ}.
Ví dụ 2. Với công thức R(a, b)
Miền herbrand là tập hợp hai phần tử {a, b}. Ví dụ 3. Với công thức P(f(x))
Miền herbrand là tập hợp vô hạn phần tử {δ, f(δ), f(f(δ)), f(f(f(δ))), …}.
• Ví dụ 4. Với công thức P(f(a))
Miền herbrand là tập hợp vô hạn phần tử {a, f(a), f(f(a)), f(f(f(a))), …}. Ví dụ 5. Với công thức R(a, g(b))
Miền herbrand là tập hợp vô hạn phần tử {a, b, g(a), g(b), g(g(a)), g(g(b)), …}.
Lưu ý : Các phần tử của miền herbrand chỉđơn thuần là các cấu trúc cú pháp, không phải là các đối tượng hiện thực cụ thể. Nếu công thức không chứa hằng đối tượng thì miền herbrand tương ứng chỉ gồm một phần tử δduy nhất. Nếu công thức không chứa các hàm đối tượng và chứa n hằng đối tượng khác nhau thì miền herbrand của nó gồm
n phần tử. Nếu công thức có chứa hàm đối tượng thì miền herbrand của nó là một tập hợp vô hạn. hợp vô hạn.
2. Định nghĩa diễn giải herbrand và ví dụ
Diễn giải herbrand của công thức ϕ là diễn giải I = < D, Π, Φ, Ψ, ν> , thỏa mãn các
điều kiện sau đây :
• Miền diễn giải của I là miền herbrand Hϕ .
• Φ đặt mỗi hằng đối tượng a tương ứng với chính nó.
• Ψ đặt mỗi hàm đối tượng n-ngôi f tương ứng với hàm F xác định như sau :
F : Hϕn→ Hϕ
<h1, h2, …, hn > → F(h1, h2, …, hn)
Sau đây là một số ví dụ diễn giải herbrand.
Ví dụ 1. Cho công thức ϕ = P(x)
Khi đó , vì ϕ không chứa hằng đối tượng, nên miền herbrand Hϕ tương ứng là tập hợp {δ}.
D = Hϕ = {δ}
Π (P) = {δ}
ν(x) = δ
Một diễn giải herbrand khác của công thức đã cho là :
Π (P) = { }
ν(x) =δ .
Ngoài ra công thức đã cho không còn diễn giải herbrand nào khác.
Ví dụ 2. Cho công thức ϕ = P(a)
Khi đó miền herbrand Hϕ tương ứng là tập hợp {a}.
D = Hϕ = {a}
Π (P) = {<a>}
ν(x) = a
Một diễn giải herbrand khác của công thức đã cho là :
D = Hϕ = {a}
Π (P) = { }
ν(x) =a .
Ngoài ra công thức đã cho không còn diễn giải herbrand nào khác.
Ví dụ 3. Cho công thức ϕ = R(a, b)
Khi đó miền herbrand Hϕ tương ứng là tập hợp {a, b}.
D = Hϕ = {a, b}
Π (R) = {<a,a, a>, <a,b, b>, <b, a, b>}
ν(x) = a
Một diễn giải herbrand khác của công thức đã cho là :
D = Hϕ = {a, b}
Π (P) = {<a, a, a>, <b, b, b>}
ν(x) =a
Công thức này còn nhiều diễn giải herbrand khác nữa. Số các diễn giải herbrand ởđây là hữu hạn.
Ví dụ 4. Xét công thức P(a) ∨ Q(f(x)).
Miền herbrand tương ứng với công thức này là tập hợp vô hạn {a, f(a), f(f(a)), …}. D = {a, f(a), f(f(a)), …}.
Π (P) = {<a>,<f(f(a))>, <f(f(f(f(a))))>}
Π(Q) = {<f(a)>, <f(f(a)), <f(f(f(a)))>}
Ψ(f)(a) = F(a) = a
Ψ(f)(f(a)) = F(f(a)) = f(a)
Ψ(f)(f(f(a))) = F(f(f(a))) = f(f(a)) …
ν(x) =f(a)
Vì miền herbrand của nó vô hạn, nên công thức này có vô số diễn giải herbrand.
Khái niệm miền herbrand và diễn giải herbrand có thể mở rộng ra cho tập hợp công thức bất kỳ như sau : Tạo công thức mới là hội của tất cả các công thức trong tập
hợp. Khi đó miền herbrand và diễn giải herbran của tập hợp công thức chính là miền herbrand và diễn giải herbrand của công thức mới đã nêu.
3. Mô hình herbrand
Mô hình herbrand của một công thức là diễn giải herbrand trong đó công thức
đúng. Mô hình herbrandcủa một tập hợp công thức là diễn giải herbrand của tập hợp
đó, và mọi công thức từ tập hợp đều đúng trong nó.