1. Các nghịch lý
Trong các hệ logic, thông thường quan hệ suy diễn logic gắn liền với phép toán kéo theo (implication). Quy luật logic (tức là công thức hằng đúng) A ⊃ B có nghĩa là B suy ra được từ A, B là hệ quả của A. (Nhắc lại, để kiểm tra xem một suy luận nào đó có đúng hay không, ta viết các tiền đề và kết luận của suy luận đó ra dưới dạng các công thức. Nối các công thức tiền đề với nhau bởi dấu toán hội, ta được phần tiền đề A. Phần kết luận được biểu thị bởi công thức B. Ta nối phần tiền đề và phần kết luận bằng dấu kéo theo (implication), và được công thức biểu thị toàn bộ suy luận A ⊃ B. Nếu A ⊃ B là công thức hằng đúng,- tức là quy luật logic -, thì suy luận là đúng, hay nói cách khác, thì B suy ra được từ A.
Cơ sở của cách hiểu này về quan hệ suy diễn logic bắt nguồn từ tư tưởng của Frege G., được ông trình bày lần đầu tiên trong tác phẩm “Phép tính khái niệm”, công bố năm 1879.
Chúng ta đã biết rằng, phép toán kéo theo chỉđược định nghĩa như là một phụ thuộc hàm giữa các giá trị chân lý của A và của B trong A ⊃ B, chứ không thể hiện được quan hệ “nếu …
2
thì …” của ngôn ngữ tự nhiên. Chính vì vậy A ⊃ B chỉ sai trong một trường hợp duy nhất, khi A đúng, nhưng B sai. Ở đây vấn đề liệu giữa A và B có mối quan hệ về mặt nội dung nào không hoàn toàn không quan trọng.
Vậy nên khi dùng implication để biểu thị quan hệ suy diễn logic thì ta gặp phải các nghịch lý.
Các nghịch lý quan trọng nhất là:
a) Quy luật logic có thể suy ra từ bất cứ mệnh đề nào.
Ví dụ: Ta rút ra quy luật triệt tam A ∨¬ A từ mệnh đề bất kỳ B. 1+ B 2+¬ (A ∨¬ A) 3+ A 4. A ∨¬A 3, ∨i 5. ¬ A 2, 3, 4, ¬i 6. A ∨¬A 5, ∨i 7. ¬¬ (A ∨¬ A) 2, 6, ¬i 8. A ∨¬A 7, ¬e Từđây B A ∨¬ A
b). Từ mâu thuẫn logic có thể suy ra bất cứ mệnh đề nào.
Ví dụ: Ta suy ra mệnh đề B từ mâu thuẫn A ∧¬ A 1+ A ∧¬ A 2+¬ B 3. A 1, ∧e 4. ¬A 1, ∧e 5. ¬¬ B 2, 3, 4, ¬i 6. B 5, ¬e Từđây A ∧¬ A B 2. Các cố gắng giải quyết nghịch lý
Để giải quyết các nghịch lý nêu trên của quan hệ kéo theo cổ điển, người ta đã xây dựng rất nhiều hệ thống logic phi cổđiển, với các quan hệ kéo theo khác. Đáng lưu ý nhất là các hệ logic trực quan, các hệ logic với quan hệ kéo theo chặt (strenge implication) của Ackermann và hình thức sửa đổi của nó trong hệ E (entailment) của Anderson A. R. và Belnap N. D., các hệ kéo theo chặt của Lewis C. I.2, hệ Analytic Implication (kéo theo phân tích) của Parry W. T. Trong các hệ của Anderson và Belnap, cùng với các nghịch lý, một số quy tắc suy luận khác vốn thường được coi là hiển nhiên đúng, cũng bị loại khỏi hệ.
2 Là các hệ logic tình thái S2 – S4.
3
Ví dụ, công thức ((A ∨ B) ∧¬ A) ⊃ B (thường gọi là quy tắc γ ) không đúng trong các hệ này.
Khi xây dựng các hệ logic của mình, Lewis đã xuất phát từ một quan điểm rất đúng đắn, theo đó thì nếu chỉđòi hỏi “từ các tiền đềđúng phải suy ra các kết luận đúng” để xác định khái niệm suy diễn logic thì chưa đủ. Cần phải đòi hỏi thêm rằng giữa các tiền đề và kết luận phải có mối liên hệ về nội dung! Tiếc rằng Lewis đã không làm rõ khái niệm “liên hệ về nội dung”. Ngoài ra, các hệ logic của Lewis vẫn chứa những nghịch lý tương tự như các nghịch lý của phép toán kéo theo cổđiển.
Trong nền tảng của hệ logic với analytic implication của Parry có ý tưởng rất hay: Nếu