V. Hệ suy luận tự nhiên của logic vị từ
4. Phép thế hợp
Ta xét ví dụ: cho A = P(x,y,f(y,z)), các phép thếδ = {x←y, y←c, z←b} và τ = {x←a, y←b}. Khi
đó Aδ = P(x,y,f(y,z)) {x←y, y←c, z←b} = P(y,c,f(c,b)), và Aδτ = P(y,c,f(c,b)){x←a, y←b} = P(b,c,f(c,b)), và Aγ = P(x,y,f(y,z)) {x←b, y←c, z←b} = P(b, c, f(c,b)). Nghĩa là Aγ = Aδτ. Như
vậy áp dụng γ vào công thức A sẽ được kết quả như khi áp dụng liên tiếp δ và τ vào A. Điều này cũng đúng với bất kỳ công thức B nào khác, chứ không chỉ đúng với A. Rõ ràng áp dụng chỉ một phép thế γ vào một công thức sẽ nhanh chóng và thuận tiện hơn nhiều so với áp dụng liên tiếp hai phép thế khác vào công thức đó. Với hai phép thếδ và τ bao giờ ta cũng xác định
được một phép thếγ sao cho áp dụng γ vào công thức A bất kỳ sẽđược kết quả như khi áp dụng liên tiếp δ và τ vào A. Phép thếγ như vậy gọi là phép thế hợp của δ và τ. Hợp của δ và τ ta ký hiệu δτ. Có một phương pháp đơn giản để tìm hợp của hai phép thế cho trước δ và τ. Phương pháp đó như sau : Trước hết áp dụng τ vào range của δ, nghĩa là áp dụng τ vào các phần tử thế
của δ, gọi kết quả là δ’; sau đó bổ sung thêm các cặp biến-hạn từ có trong τ mà cặp với biến đó chưa có trong δ’; sau cùng, lược bỏđi các cặp biến-hạn từ có biến trùng với hạn từ, kết quả là hợp của δ và τ. Ví dụ, cho δ = {x←z, y←f(a,x)}, τ = {x←b, z←a}. Ta áp dụng τ vào cho range của δ, được δ’ = {x←a, y←f(a,b)}. Cặp z←a là cặp có biến z, chưa có trong δ’, vì vậy ta bổ
sung cặp này vào δ’, được kết quả cuối cùng δτ = {x←a, y←f(a,b), z←a}. Tính chất của phép hợp
Hợp của hai phép thế không có tính chất giao hoán. Chẳng hạn, với δ và τ vừa xét ta có τδ =
{x←b, z←a}{x←z, y←f(a,x)} = {x←b, y←f(a,x), z←a}≠τδ. Nhưng phép hợp có tính kết hợp, tức là δ(τγ) = (δτ)γ. Phép hợp cũng có đơn vị, đó là phép thế rỗng { }, vì với mọi phép thếγ, {}γ = γ{} = γ. 5. Quan hệ sắp xếp Phép thếδđược gọi là lớn hơn phép thếτ (ký hiệu δ > τ) nếu tồn tại một phép thếε không rỗng sao cho δε = τ. Ví dụ, phép thếδ = {x←a, y←z} lớn hơn phép thếτ = {x←a, y←b, z←b}, vì với phép thế ε = {z←b} ta có δε = τ. Dễ dàng nhận thấy quan hệ lớn hơn giữa các phép thế có tính chất bắc cầu, nghĩa là (δ > τ) & (τ > ε) ⇒δ > ε III. Đồng nhất thể 1. Định nghĩa
Cho các công thức A và B, phép thếγ được gọi là đồng nhất thể (unifier) của A và B nếu Aγ = Bγ. Ví dụ, với A = P(x,a) và B = P(b,y) thì γ = {x←b, y←a} là đồng nhất thể của A và B, vì Aγ
= P(x,a) {x←b, y←a} = P(b,a) = P(b,y) {x←b, y←a} = Bγ. Nếu tồn tại một đồng nhất thể cho các công thức A và B thì A và B được gọi là khả đồng nhất. Hai công thức khả đồng nhất có nhiều đồng nhất thể. Chẳng hạn, ngoài đồng nhất thểγ trên đây, các công thức A = P(x,a) và B = P(b,y) còn có đồng nhất thể {x←b,y←a,z←c} và nhiều đồng nhất thể khác. Các phép thếδ =
{x←b, y←b}, τ = {x←c, y←c}, ε = {x←y}, … đều là các đồng nhất thể của các công thức
Q(x,b) và Q(y,b).