I. Ngôn ngữ logic vị từ
7. Biến tự do và biến buộc
Trong biểu thức ∀x A(x), A(x) gọi là vùng tác động của của lượng từ ∀x. Nếu biến x
xuất hiện trong một vùng tác động của lượng từ ∀x (trong một công thức lượng từ ∀x
trong một công thức) thì lần xuất hiện đó của xđược gọi là xuất hiện không tự do (còn gọi là buộc). Ngược lại thì gọi là xuất hiện tự do. Một biến có thể xuất hiện tự do trong công thức, có thể xuất hiện không tự do trong công thức, và có thể vừa xuất hiện tự do, vừa xuất hiện không tự do trong cùng một công thức.
Với lượng từ ∃x (tồn tại) cũng hoàn toàn tương tự. Chính xác hơn, nếu ở
những điều vừa nói trên đây về sự xuất hiện tự do và buộc của biến trong công thức mà ta thay lượng từ∀x (với mọi x) bằng lượng từ∃x (tồn tại), thì những điều đó vẫn
đúng.
Ví dụ về sự xuất hiện tự do và xuất hiện buộc của biến. Trong công thức
∀x (Ρ(x) ⊃ Ρ(y)) &Ρ(a)
xuất hiện của biến x là buộc, còn biến y xuất hiện tự do. Trong công thức
∀x (Ρ(x, y) ⊃∃y (Q(y, x)))
cả hai lần xuất hiện của xđều là xuất hiện buộc, biến y vừa xuất hiện tự do (lần đầu), vừa xuất hiện buộc (lần sau), vì lần xuất hiện đầu của biến y nằm ngoài miền tác động của các lượng từ ∀y và ∃y, còn lần xuất hiện thứ hai, vì nằm trong vùng tác động của lượng từ∃y nên là xuất hiện buộc.
Biến x tự do trong công thức nếu nó có xuất hiện tự do trong công thức. Nếu x không có xuất hiện tự do trong công thức, nghĩa là mọi xuất hiện của nó trong công thức đều là xuất hiện buộc thì x là biến buộc trong công thức đó.
Ví dụ, biến x tự do và biến y là biến buộc trong công thức sau đây : ∀y(P(x, y) ⊃∃xQ(y,x))
Giả sửx1, x2, …, xk là các biến, A – là công thức. Không quan tâm đến việc trong công thức A các biến đó tự do hay là biến buộc và ngoài ra có còn các biến tự do khác hay không, ta ký hiệu công thức A bằng A(x1, x2, …, xk)để sau đó có thể ký hiệu kết quả
phép thế các hạn từt1, t2, …, tk tương ứng vào các chỗ xuất hiện tự do (nếu có) của các biến x1, x2, …, xk là A(t1, t2, …, tk).
Hạn từ t gọi là tự do đối với biến x trong công thức A, nếu như không một lần xuất hiện tự do nào của biến x trong A nằm vào vùng tác động của lượng từ ∀y , ∃y với y là biến có trong t.
Ví dụ.
• Hạn từx1 tự do đối với x2 trong công thức A(x2), vì trong công thức này xuất hiện tự do duy nhất của x2không nằm trong miền tác động của bất kỳ lượng từ nào của biến x1- biến duy nhất trong hạn từ x1.
• Hạn từf(x1, x3) tự do đối với x1 trong công thức ∀x3∃x1 (A1(x2, x3) & A3(x1, x2), vì trong công thức này không có xuất hiện tự do nào của biến x1.
• Hạn từf(x1, x3) không tự do đối với x1trong công thức ∃x3 (A1(x1, x3) ⊃ A2(x2, x3)) , vì xuất hiện tự do của x1 trong công thức này nằm trong miền tác động của lượng từ ∃x3, mà x3là một biến trong hạn từf(x1, x3).
(a) Mọi biến đều tự do đối với chính nó trong mọi công thức.
(b) Nếu hạn từ không chứa biến thì hạn từđó tự do đối với mọi biến trong mọi công thức;
(c) Hạn từt tự do đối với mọi biến trong công thức A, nếu như các biến của t không có xuất hiện buộc trong A,
(d) xi tự do đối với xj trong công thức A, nếu trong A không có xuất hiện tự do nào của xj.