Các lời giải bài toán bằng phương pháp hợp giải có thể biểu diễn dưới dạng hình vẽ dạng cây, trong đó chỉ nêu ra các công thức cần thiết đểđi đến kết luận, những công thức khác không cần nêu lên. Chẳng hạn, lời giải trên đây và một lời giải khác của ví dụ 1 được biểu diễn dạng cây thành: {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r, ¬ r} {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q v r, ¬ r, q ∨ r, p ∨ r, ¬ p, ¬ q} {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q v r, ¬ r, q ∨ r, p ∨ r, ¬q, ¬ p, q, p, r, …} {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q v r, ¬ r, q ∨ r, p ∨ r, ¬ q, ¬ p, q, p, , … }. Ví dụ 2. Xét xem từ tập tiền đề{¬p ∨ r∨ s, ¬ q ∨ r, p} có thể rút ra kết luận r không?
Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề, rồi áp dụng các quy tắc hợp giải, ta được:
{¬p ∨ r∨ s, ¬ q∨ r, p, ¬ r}.
{¬p ∨ r∨ s, ¬ q∨¬ r, p, ¬ r, ¬ p ∨ s, ¬ q, r ∨ s} {¬p ∨ r∨ s, ¬ q v r, p, ¬ r, ¬ q, r ∨ s, s, ¬ p ∨ s , ¬ q ∨ s}.
Dạng biểu diễn cây của các lời giải như thế được gọi là cây hợp giải. Mỗi lời giải của bài toán tương ứng với một cây hợp giải. Robinson đã chứng minh được định lý: Từ tập tiền đề {A1, A2, … , An} có thể rút ra kết luận B khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cây hợp giải cho tập {A1, A2, … , An, ¬B}.
Phương pháp hợp giải nhưđã trình bày trên đây có nhược điểm là ở các bước có thể xuất hiện những resolvent không cần thiết đối với việc đi đến kết luận.Khi áp dụng quy tắc hợp giải vào tất cả các cặp công thức có thể áp dụng được, số lượng các resolvent tăng lên rất nhanh chóng, xảy ra bùng nổ tổ hợp. Để tránh điều này, R.A. Kowalski đưa ra phương pháp hợp giải tuyến tính. Ởđây, khác với hợp giải thông thường, trước hết ta xác định một công thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B} có thể cùng với ¬ B áp dụng quy tắc hợp giải. Được resolvent B1 , thêm nó vào tập công thức đã có, lại xác định một công thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B, B1} có thể cùng B1 áp dụng quy tắc này. Cứ tiếp tục như thế cho đến khi được resolvent rỗng, hoặc không thể tiếp tục vì không tìm ra công thức cần tìm, hoặc việc tiếp tục chỉ lặp lại các kết quảđã có. Cây hợp giải tương ứng được gọi là cây hợp giải tuyến tính. Kowalski đã chứng minh được định lý : Từ tập tiền đề không mâu thuẫn {A1, A2, … , An} có thể rút ra kết luận B khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một cây hợp giải tuyến tính cho tập {A1, A2, … , An, ¬B}.
Ví dụ 1 trên kia có các cây hợp giải tuyến tính sau :
Để tìm lời giải của bài toán, nghĩa là để xây dựng cây hợp giải tuyến tính, người ta sử dụng
kỹ thuật quay lui (backtracking).
¬ r ¬ p ∨ r ¬r ¬q ∨ r ¬ p p ∨q ¬ q p ∨ q q ¬ q ∨ r p ¬ p ∨ r r ¬ r r ¬ r p ∨ q ¬ p ∨ r ¬ q ∨ r ¬ r ¬q∨r ¬r ¬p ∨r¬r p ∨q q ∨ r ¬ q ¬ q ¬ p r ¬ r q
Dãy liên tục các resolvent trong hợp giải tuyến tính gọi là một nhánh. Nhánh này gọi là nhánh cụt, hay nhánh thất bại, nếu nó kết thúc bằng một công thức nào đó khác . Nhánh này gọi là nhánh tuần hoàn, nếu đến một lúc nào đó bắt đầu lặp lại các resolvent đã có từ trước. Nhánh tuần hoàn cũng là nhánh thất bại. Nhánh kết thúc bằng gọi là nhánh thành công.
Giả sử việc áp dụng quy tắc hợp giải vào cặp công thức Bi-1 với một công thức khác cho ta kết quả Bi. Khi đó từ tập các công thức đang khảo sát ở bước này xác định một tập con các công thức có thể cùng với Bi tạo thành cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Ta chọn trong tập con này một công thức, áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp công thức vừa chọn và Bi, được resolvent Bi+1. Với Bi+1 lại xác định tập con công thức có thể tạo cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Quá trình cứ vậy tiếp diễn. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi+1 đều thất bại thì quay trở lại với Bi. Bây giờ ta chọn công thức khác tạo cặp với Bi để áp dụng quy tắc hợp giải. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi cũng đều thất bại, thì tiếp tục quay lui đến Bi-1. Bằng cách này sẽ tìm được nhánh thành công, tức là xây dựng được cây hợp giải tuyến tính, nếu nó tồn tại.
Ví dụ 4. Xây dựng cây hợp giải tuyến tính rút ra r từ tập công thức
{¬ s ∨ r, ¬ p ∨ q, ¬ q ∨ r, p, u ∨ r, w ∨ s }
Giải. Sơđồ tìm kiếm lời giải như sau, trong sơđồ này các dấu mũi tên vòng chỉ các quay lui.
Sơđồ trên đây cho thấy lúc đầu ta đi từ ¬ rđến u. Đây là nhánh cụt, vì thế quay trở lại ¬r. Từ đây đi đến ¬ s, từ ¬ sđi đến w, rồi lại quay vềs vì là nhánh cụt. Từsđi theo hướng khác đến u, đây cũng là nhánh cụt, nên quay vềs. Vì các khả năng khác đi từs đã hết, nên quay tiếp về ¬ r. Từđây đi đến ¬ q. Từ ¬ qđi đến p, đi tiếp đến , đây là nhánh thành công. Cây hợp giải tuyến tính cần xây dựng được biểu diễn bằng các đường kẻ liền trong hình.