II. Diễn giải (Interpretation) Mô hình (Model)
2.Giá trị chân lý của công thức trong diễn giả
Trên cơ sở diễn giải I = < D, Π, Φ, Ψ, ν> có thể xác định một hàm Iđặt tương ứng cho mỗi công thức A một giá trị chân lý I(A) và đặt tương ứng với mỗi hạn từ t một phần tửI(t) của miền D như sau.
• Nếu x là biến thì I(x) = ν(x).
• Nếu a là một hằng đối tượng thì I(a) = Φ(a).
• Nếu f là ký tự hàm đối tượng k ngôi, t1, t2, …, tk là các hạn từ thì • I(f(t1, t2, …, tk) i2Ψ (f)(I(t1), I(t2), …, I(tk)).
• Nếu P là ký tự vị từ n ngôi, t1, t2, …, tn là các hạn từ thì I(P(t1, t2, …, tn)) đúng (ký hiệu I(P(t1, t2, …, tn)) = T) khi và chỉ khi bộ <I(t1), I(t2), …, I(tn)> là một phần tử của tập hợp Π(P); và I(P(t1, t2, …, tn)) sai khi và chỉ khi bộ <I(t1), I(t2), …, I(tn)> không phải là một phần tử của tập hợp Π(P).
• Nếu A và B là các công thức thì : ¾ I(¬A)đúng khi và chỉ khi I(A) sai.
¾ I(A&B)đúng khi và chỉ khi I(A) và I(B) cùng đúng. ¾ I(A∨B)đúng khi và chỉ khi I(A)đúng hay I(B)đúng. ¾ I(A⊃B)đúng khi và chỉ khi I(A) sai hay I(B)đúng.
¾ I(A≡B)đúng khi và chỉ khi cảI(A) và I(B) cùng đúng hoặc cảI(A) và I(B) cùng sai.
Các lượng từ ∀ và ∃ được diễn giải như cách hiểu thông thường. Điều đó được biểu
đạt chặt chẽ như sau. Để xác định I cho các công thức chứa lượng từ chúng ta sử dụng thêm một khái niệm mới. Nếu I là một diễn giải, I = < DI, ΠI, ΦI, ΨI, νI> , d là một phần tử của DI, còn x là một biến đối tượng, khi đó Ix/d là ký hiệu cho diễn giải mới J, trong đó x đã dược gán giá trị mới là d, còn các biến đối tượng khác vẫn được gán giá trị như trước. Cụ thể là J =< DJ, ΠJ, ΦJ, Ψj, νJ>, trong đó DJ= DI, ΠJ = ΠI, ΦJ = ΦI,
Ψj = ΨI, νJ (x) = d, νJ (y) =νJ (y) vơi mọi biến tự do y khác x. Như vậy J là một diễn giải giống nhưIở mọi điểm, ngoại trừ (có thể) cách gán giá trị cho biến x : J gán cho