7. Cấu trỳc của luận văn
1.4.1. Sai lầm liờn quan đến phõn chia trường hợp riờng
Học sinh thường gặp những khú khăn và sai lầm sau đõy khi giải những bài toỏn cú liờn quan đến việc phõn chia trường hợp.
1.4.1.1. Khụng nắm vững bản chất của tham số, khụng hiểu nghĩa của cụm từ “giải và biện luận”, lẫn lộn giữa “biện luận theo m” và “tỡm m”. Khi giải biện luận phương trỡnh (bất phương trỡnh) cú tham số m, nhiều học sinh quy về tỡm m để phương trỡnh (bất phương trỡnh) cú nghiệm.
Vớ dụ 24: Giải và biện luận phương trỡnh m(x + m) = x + 1
(?): Học sinh chuyển x về một vế và đưa về: (m - 1)x = 1 - m2 từ đú rỳt ra 2 1 m x m 1 − =
− . Để phộp chia cú nghĩa thỡ phải cú điều kiện m ≠1. Kết luận: m
1
≠ và x = - m - 1.
(!): Thực ra đõy khụng phải bài toỏn tỡm m để phương trỡnh cú nghiệm, mà đõy là bài toỏn giải và biện luận phương trỡnh. Khi giải và biện luận phương trỡnh, kể cả trường hợp phương trỡnh vụ nghiệm thỡ ta vẫn phải xem xột.
Giả sử cú điều kiện m ≠1thỡ ta thực hiện được phộp chia 1 - m2 cho m - 1, nhưng khụng cú nghĩa là, ta thực hiện phộp chia trước rồi lại buộc m phải khỏc 1.
Vớ dụ 25: Giải và biện luận phương trỡnh x 1 2x m− = −
(?): Cú học sinh giải như sau: với x 1≥ nghiệm của phương trỡnh là
x m 1= − ; với x < 1 nghiệm của phương trỡnh là x m 1 3
+
(!): Học sinh này dự đó nắm được khỏi niệm giỏ trị tuyệt đối nhưng vẫn chưa ý thức được rằng, tham số được xem như là những số đó biết nhưng chưa rừ cụ thể là bao nhiờu, bởi vậy khụng chắc gỡ m - 1 đó lớn hoặc bằng 1;
m 1 3
+
đó bộ thua 1.
Vớ dụ 26: Giải và biện luận bất phương trỡnh m(x - m + 3) ≥ m(x - 2) + 6
(?): Bất phương trỡnh ⇔mx - m2 + 3m ≥ mx - 2m +6 ⇔ m2 - 5m + 6 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ m ≤ 3 Vậy nghiệm của bất phương trỡnh là: 2≤ m≤ 3.
(!): Thực ra 2 m 3≤ ≤ chỉ là điều kiện để bất phương trỡnh cú nghiệm chứ khụng phải là nghiệm của bất phương trỡnh. Khi m nằm ngoài [2; 3] thỡ bất phương trỡnh sẽ vụ nghiệm và ta vẫn phải đề cập đến trường hợp này trong khõu biện luận.
1.4.1.2. Khụng ý thức được sự suy biến của tham số, ỏp dụng thuật giải một cỏch mỏy múc vào những trường hợp khụng thuộc hệ thống
Vớ dụ 27: Giải và biện luận bất phương trỡnh x2 −3x 2a+ ≤x2 +2ax 5+
(?): Cú học sinh giải như sau: bất phương trỡnh tương đương với x2 - 3x + 2a ≤ x2 + 2ax + 5 ⇔ x(2a + 3) ≥ 2a -5 ⇔x 2a 5
2a 3 − ≥
+
(!): Với cỏch giải như trờn cho thấy học sinh chưa nắm vững khỏi niệm giỏ trị tuyệt đối, mặt khỏc chưa nắm vững điều kiện để thực hiện được cỏc phộp biến đổi tương đương cơ bản trờn cỏc bất phương trỡnh.
1.4.1.3. Nắm khụng chớnh xỏc về điều kiện để cú thể thực hiện phộp biến đổi tương đương
lg(x2 + 2mx) - lg(x - 1) = 0 (1)
(?): (1) ⇔ lg(x2 + 2mx) = lg(x - 1)⇔x2 + 2mx = x - 1 (2) ⇔ x2 + x(2m - 1) + 1 = 0.
Phương trỡnh này cú nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
∆= 0 ⇔ m 1 2
= − hoặc m 3
2 = .
(!): Thực ra phương trỡnh (1) đó cho chỉ tương đương với phương trỡnh x2 + 2mx = x - 1 (2) với điều kiện
2
x 2mx 0 x 1 0 + > − >
, hay núi gọn hơn là,
phương trỡnh (1) tương đương với phương trỡnh (2) với điều kiện x > 1.
Do đú đỏng lẽ phải núi: phương trỡnh x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cú duy nhất
một nghiệm x > 1, rồi từ đú chuyển về xột hai trường hợp:
0 b 1 2a ∆ = − > và 2 1 0 x 1 x ∆ > > ≥
thỡ học sinh lại chỉ núi: phương trỡnh x
2 + x(2m - 1) + 1 = 0 cú nghiệm duy nhất.
Vớ dụ 29: Tỡm m để bất phương trỡnh sau cú nghiệm
2 2 2 2
x m− + x −3mx 2m+ > x −m
(?): Ta nhận thấy do cỏc biểu thức trong cỏc dấu căn đều cú chứa hạng tử x - m, nờn rỳt gọn hai vế được bất phương trỡnh tương đương
1 + x 2m− > x m+
1.4.1.4.Chưa nắm vững một số khỏi niệm toỏn học cơ bản, chẳng hạn cỏc khỏi niệm cú cấu trỳc hội, vỡ khụng ý thức được sự tỏc động của tham số đối với kết quả bài toỏn
E = (x - 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 theo a
(?): Vỡ E là tổng cỏc bỡnh phương nờn E ≥0 với mọi x và y, do đú giỏ trị nhỏ nhất của E bằng 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hệ x 2y 1 0
2x ay 5 0 − + = + + = cú nghiệm Ta cú: D = a + 4; Dx = - a - 10; Dy = - 3. Nếu a≠- 4 hệ cú nghiệm a 10 x a 4 3 y a 4 + = − + = − + nờn giỏ trị nhỏ nhất của E là 0.
Nếu a = - 4 thỡ Dx ≠0 nờn hệ phương trỡnh vụ nghiệm. Vậy với a = - 4 thỡ E khụng tồn tại giỏ trị nhỏ nhất.
(!): Với a = - 4 kết luận E khụng cú giỏ trị nhỏ nhất là sai lầm, vỡ với a = - 4 thỡ E = (x - 2y + 1)2 + (2x - 4y + 5)2.Đặt t = x - 2y +1 ta cú E = t2 + 4(t+3
2 ) = 5t2 + 12t + 9 9
5
≥ với mọi t, dấu bằng xảy ra khi t 6 5
= − . Nghĩa là trong trường hợp a = - 4, E đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 9
5 tại cỏc điểm x, y bất kỡ
thỏa món điều kiện 5x - 10y - 11 = 0.
1.4.1.5. Khụng biết chia thành những trường hợp nào, núi cỏch khỏc khụng biết tỡm ra tiờu chớ làm cơ sở cho sự phõn chia
Vớ dụ 31: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trỡnh
x a− − x 2a− > x 3a− (1) (?): Gặp bài toỏn này, học sinh hầu như khụng biết nờn phõn chia tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thỡ dĩ nhiờn 3a là lớn nhất, do đú điều kiện của bất phương trỡnh chỉ là x > 3a và biến đổi
(1) ⇔ x a− > x 2a− + x 3a− ⇔4a x 2− > (x 2a x 3a− ) ( − ) ⇔ 3a x 4a2 2 3x 12ax 8a 0 ≤ < − + < ⇔ 3a x 4aa 6 2 3( ) a 6 2 3( ) x 6 6 ≤ < − + < <
(!): TH 1: Nếu a = 0, bất phương trỡnh (1) vụ nghiệm
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x ≥ 3a, khi đú bất phương trỡnh tương đương với 4a x− > (x 2a x 3a− ) ( − ) (2), vỡ a > 0 nờn (2)
⇔ 3a x 4a2 2 3x 12ax 8a 0 ≤ < − + < a(6 2 3) 3a x 6 + ⇔ < <
TH 3: Nếu a < 0, điều kiện của x là x ≥ a, khi đú (1) tương đương với 4a - x >2 x 2a x 3a( − ) ( − ) .
Vỡ a < 0 và x ≥ a nờn 4a x 3a (a x) 0− = + − < , do đú bất phương trỡnh này vụ nghiệm.
Việc phõn chia 3 trường hợp a = 0; a < 0; a > 0 căn cứ một phần quan trọng vào việc tỡm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: x a≥ ; x 2a≥ ;
x 3a≥ . Phần sau của Luận văn sẽ trở lại vấn đề này.
1.4.1.6. Học sinh tuy định hỡnh được tiờu chớ để phõn chia trường hợp nhưng trong quỏ trỡnh thực hiện vẫn cú thể bỏ sút trường hợp hoặc mắc phải những sai lầm trong biến đổi
Cú nhiều bài toỏn nõng cao mà việc giải và biện luận đũi hỏi sự phõn chia trường hợp là khỏ phức tạp. Những bài toỏn này thường phải tiến hành phõn chia thành rất nhiều trường hợp và trong mỗi trường hợp đú lại chia ra thành cỏc trường hợp khỏc. Với sự phõn chia phức tạp như vậy thường làm cho học sinh gặp rất nhiều khú khăn và cú thể dẫn tới một số sai lầm như: bỏ sút trường hợp; sai lầm trong biến đổi; cú sự trựng lặp giữa cỏc trường hợp;
…. Để thấy sự phõn chia nhiều tầng trong bài toỏn biện luận ta xem xột Vớ dụ sau:
Vớ dụ 32: Giải và biện luận bất phương trỡnh sau theo tham số m: x m 2m− + ≤ x 2m+
Trường hợp 1: m = 0, Bất phương trỡnh cú nghiệm với mọi x ≥ 0.
Trường hợp 2: m > 0
x m 2m− + ≤ x 2m+
Điều kiện x ≥ m. Bỡnh phương 2 vế bất phương trỡnh ta được:
⇔ x - m + 2m + 4m x m− ≤ x + 2m
⇔ x m 3 4m
4
− − ≤
Bài toỏn dẫn tới xột 2 khả năng: Khả năng 1: m > 3 4 thỡ bất phương trỡnh vụ nghiệm. Khả năng 2: 0 < m < 3 4 thỡ bất phương trỡnh cú nghiệm là: 3 4m 2 m x m ( ) 4 − ≤ ≤ + Trường hợp 3: m < 0 x m 2m− + ≤ x 2m+ Điều kiện: x ≥ -2m ⇔ x m− ≤ x 2m 2m+ − ⇔ 3 4m 4 x 2m+ ≤ +
Bài toỏn dẫn tới xột 2 khả năng:
Khả năng 1: m ≤ 3
4
− , nghiệm của bất phương trỡnh sẽ là: x ≥ -2m.
Khả năng 2: 3
4
x 2m (3 4m)2 4
+ ≥ − +
1.4.1.7. Khú khăn và sai lầm của học sinh trong việc đặt điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cỏch phỏt biểu bài toỏn khi giải quyết cỏc vấn đề về phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số
Phương phỏp giải phương trỡnh, bất phương trỡnh bằng cỏch đặt ẩn phụ là rất hay được sử dụng. Với bài toỏn phương trỡnh và bất phương trỡnh cú chứa tham số giải bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ học sinh thường gặp khỏ nhiều khú khăn, đặc biệt trong việc đặt điều kiện cho ẩn phụ và chuyển đổi cỏch phỏt biểu bài toỏn ban đầu sang bài toỏn với ẩn phụ. Ở mục này sẽ nờu ra một số khú khăn sai lầm của học sinh khi giải quyết cỏc vấn đề trờn.
Với bài toỏn giải phương trỡnh, bất phương trỡnh khụng chứa tham số thỡ khụng nhất thiết phải đặt điều kiện cho ẩn phụ thật chớnh xỏc, bởi việc này chỉ giỳp ta loại bỏ trường hợp vụ nghiệm. Vớ dụ nếu ta đặt ẩn phụ:
t = x 2
2 x
+ với điều kiện: x > 0.
Khi đú theo bất đẳng thức giữa trung bỡnh cộng và trung bỡnh nhõn, ta cú:
t = x 2 2 x. 1 2
2 x 2 x
+ ≥ =
Vậy điều kiện chớnh xỏc là t ≥ 2 , cũn điều kiện thừa là: t > 0. Giả sử phương trỡnh khi đú với ẩn t cú 2 nghiệm: t = 1 và t = 2.
+) Rừ ràng hai nghiệm thỏa món điều kiện thừa t > 0, tất nhiờn khi quay trở lại giải để tỡm ẩn ban đầu thỡ giỏ trị t = 1 sẽ vụ nghiệm.
+) Nếu đặt điều kiện chớnh xỏc thỡ sẽ loại được giỏ trị t = 1.
Tuy nhiờn, trong bài toỏn cú chứa tham số thỡ kiờn quyết phải đặt chớnh xỏc điều kiện của ẩn phụ, bởi bài toỏn sẽ được tiến hành trờn ẩn phụ. Do học sinh khi học về phương trỡnh, bất phương trỡnh khụng chứa tham số đó quen
với việc khụng đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc cú đặt nhưng khụng thật chớnh xỏc, nờn thường dẫn đến những sai lầm khi tỡm điều kiện của ẩn phụ trong bài toỏn cú chứa tham số.
Với bài toỏn cú chứa tham số mà giải bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ t = (x)ϕ , thỡ việc tỡm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tỡm miền giỏ trị của hàm số t = (x)ϕ với mọi x thuộc miền xỏc định của bài toỏn. Đặt đỳng điều
kiện của ẩn phụ là điều kiện tiờn quyết đối với việc giải phương trỡnh, bất phương trỡnh đó cho. Nhưng khụng ớt học sinh đó gặp sai lầm ngay ở bước này, xin trớch dẫn một số sai lầm cụ thể trong việc đặt điều kiện khụng thật chớnh xỏc:
+) Đặt t = 2sinx với x ∈ Ă , học sinh thấy hàm số luụn dương, nờn đặt điều kiện là: t > 0.
+) Đặt t = (4 x)(x 2)− + , học sinh đặt điều kiện t ≥ 0 vỡ căn bậc hai luụn dương hoặc bằng khụng.
+) Với bài toỏn: “Tỡm m để bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với mọi x thỏa món 0 ≤ x ≤ 1: m.92x2−x −(2m 1)6+ 2x2−x +m42x2−x ≤0”.
Để giải bài toỏn này học sinh sẽ đặt ẩn phụ:
2 2x x f (x) 3 3 t 2 2 − = ữ = ữ
Sẽ khụng ớt học sinh sai lầm khi đặt điều kiện t > 0, bởi t là hàm số mũ. Với học sinh khỏ hơn sẽ ý thức được việc x ∈ [0; 1] nờn suy luận:
f (0) f (1) 3 3 t 2 2 ≤ ≤ ữ ữ 3 1 t 2 ⇔ ≤ ≤
Như vậy học sinh sai lầm khi cho rằng: f(0) ≤ f(x) = 2x2 - x ≤ f(1)”. Ngoài sai lầm do đặt điều kiện ẩn phụ khụng chớnh xỏc thỡ trong khi giải phương trỡnh, bất phương trỡnh bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ, học sinh
thường gặp sai lầm trong phỏt biểu chuyển đổi yờu cầu bài toỏn từ ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Một sai lầm phổ biến đú là học sinh thường mang yờu cầu bài toỏn đối với ẩn ban đầu sang ỏp dụng cho ẩn phụ. Xột bài toỏn: “Tỡm m để phương trỡnh sau cú 4 nghiệm phõn biệt: x4 - 2mx2 + m + 12 = 0 (1) ”.
Để tiến hành giải phương trỡnh trờn học sinh đặt ẩn phụ: t = x2, điều kiện: t ≥ 0. Được:
t2 - 2mt + m + 12 = 0 (2) Thực tiễn dạy học đó chỉ rừ cú khỏ nhiều học sinh chuyển đổi yờu cầu bài toỏn: Để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) phải cú 4 nghiệm phõn biệt. Chớnh việc chuyển đổi sai lầm này sẽ nẩy sinh mõu thuẫn trong kiến thức của học sinh khi học giải quyết vấn đề phương trỡnh bậc 2 mà lại cú đến 4 nghiệm phõn biệt. Cũng cú một số học sinh ý thức được bài toỏn thỡ phỏt biểu: Để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt thỡ phương trỡnh (2) phải cú 2 nghiệm phõn biệt thỏa món t ≥ 0. Học sinh này đó sai lầm khi khụng ý thức được sự tương quan giữa cỏc nghiệm và đó khụng nhận ra vấn đề khi phương trỡnh (2) cú nghiệm thỏa món yờu cầu đú là: cú một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương, tuy nhiờn lỳc này phương trỡnh (1) sẽ chỉ cú 3 nghiệm - tức là khụng thỏa món yờu cầu bài toỏn.
1.4.1.8. Khú khăn của học sinh khi khụng phỏt hiện phương phỏp giải phương trỡnh và bất phương trỡnh
Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh cú tham số hay khụng cú tham số thỡ việc định hướng phương phỏp giải là yếu tố quyết định. Khỏ nhiều học sinh cho rằng bài toỏn cú chứa tham số rất khú để định hướng phương phỏp giải, thực chất tham số khụng ảnh hưởng đến việc tỡm ra phương phỏp giải, mà vấn đề là ở chỗ học sinh phải cú kinh nghiệm, kiến thức, kĩ năng để phỏt hiện ra mối liờn hệ trong bài toỏn, để từ đú tỡm ra phương phỏp giải.
Cú rất nhiều bài toỏn chứa tham số cú thể giải được bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ để chuyển về phương trỡnh, bất phương trỡnh dạng bậc hai. Tuy nhiờn, cú nhiều bài toỏn thỡ việc biến đổi đưa về dạng phương trỡnh bậc hai là khụng đơn giản, bởi nú được “ngụy trang” bởi cụng thức rất kớn đỏo. Chỳng ta xem xột Bài toỏn: “Biện luận theo a số nghiệm của phương trỡnh:
( ) (x )x
x 3
7 3 5+ +a 7 3 5− =2 + ”.
Để phỏt hiện ra phương phỏp giải, học sinh cần thấy được mối liờn hệ trong bài toỏn được dấu bởi cỏc số 7 3 5
2 + , 7 3 5 2 − là: 7 3 5 7 3 5 . 1 2 2 + − = ữ ữ
Từ đú xuất hiện ý tưởng, đặt: t =
x 7 3 5 2 + ữ thỡ x 7 3 5 2 − ữ = 1 t . Quả thật việc làm trờn là khụng hề đơn giản với rất nhiều học sinh. Nếu khụng phỏt hiện ra mối quan hệ đú thỡ cũng đồng nghĩa với việc học sinh khụng cú lời giải cho bài toỏn. Cú những bài toỏn cũn đưa ra lớp vỏ “ngụy trang” đặc biệt để gõy “sốc” với những học sinh khụng nắm vững kiến thức, khụng tự tin vào bản thõn, chẳng hạn như Bài toỏn:
“Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:
( ) (2 ) n 2 ( 2 ) ( )2
n 2 x− − 2m 3 4 x+ − + m −4 n 2 x+ =0
a) Với n = 93 b) Với n = 92”.