7. Cấu trỳc của luận văn
2.3.1. Chỉ rừ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tỡm điều kiện cho ẩn phụ
với mong muốn bài toỏn với ẩn mới (ẩn phụ) sẽ dễ giải hơn bài toỏn đó cho. Phỏt hiện ra cỏch thức đặt ẩn phụ là cả một nghệ thuật, đũi hỏi người làm toỏn phải quan sỏt kĩ bài ra, vận dụng cỏc mối liờn hệ trong bài toỏn, huy động kiến thức, kinh nghiệm đó cú. Tuy nhiờn, sau khi phỏt hiện ra cỏch thức đặt ẩn phụ thỡ cần đặt điều kiện cho ẩn phụ, phỏt hiện ra mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, để từ đú chuyển đổi yờu cầu bài toỏn đối với ẩn ban đầu sang ẩn phụ. Tỡm điều kiện cho ẩn phụ, chuyển đổi cỏch phỏt biểu bài toỏn là khõu quan trọng trong trong quỏ trỡnh giải bài toỏn cú tham số bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ, nú quyết định rất lớn đến sự đỳng hay sai của lời giải. Đõy cũng là kỹ năng mà học sinh cũn yếu và thường hay gặp phải những sai lầm. Ở biện phỏp này chỳng tụi xin đưa ra một số cỏch thức nhằm giỳp học sinh rốn luyện kĩ năng phỏt hiện cỏc sự tương ứng và khả năng chuyển đổi cỏch phỏt biểu bài toỏn.
2.3.1. Chỉ rừ cho học sinh thấy tầm quan trọng của việc tỡm điều kiện cho ẩnphụ phụ
a) Tỡm điều kiện cho ẩn phụ là gỡ?
Với những học sinh hơi yếu thỡ ngay cả việc trả lời cõu hỏi: Tỡm điều kiện cho ẩn số phụ là làm gỡ? Cũng đó là khú khăn, nờn nếu khi họ đó khụng hiểu hoạt động này thỡ mọi thứ rao giảng của giỏo viờn đều trở nờn vụ ớch. Như vậy trong quỏ trỡnh giảng dạy giỏo viờn cần chỉ rừ cho học sinh thấy: Tỡm điều kiện cho ẩn phụ thực chất là tỡm miền giỏ trị của hàm t = ϕ (x) (biểu thức đặt ẩn phụ), với x thuộc miền xỏc định mà bài toỏn đó cho. Hay núi nụm na tỡm điều kiện ẩn phụ tức là với giỏ trị của x, xỏc định miền giỏ trị của t. Để
giỳp học sinh hiểu việc tỡm điều kiện ẩn số phụ, giỏo viờn cú thể đưa ra vớ dụ đơn giản, chẳng hạn: “Tỡm miền giỏ trị của ẩn phụ: t = x2; t = x ; …”.
b) Giỳp học sinh ý thức được việc tỡm điều kiện cho ẩn phụ
Khi giải phương trỡnh, bất phương trỡnh khụng chứa tham số, học sinh tự nhận thấy việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thật khụng cần thiết lắm, bởi sau khi giải ra ẩn phụ rồi quay về tỡm ẩn ban đầu do đú điều kiện chỉ là bước đệm giỳp loại ẩn phụ khụng thỏa món mà thụi. Học sinh thấy việc đặt điều kiện cú thể bỏ qua, hoặc cú thể đặt thừa điều kiện cho ẩn phụ, chẳng hạn:
Vớ dụ 44: Giải phương trỡnh: 3 x+ + 6 x 3− = + (3 x)(6 x)+ − Điều kiện: x 3 0 x 3 3 x 6 6 x 0 x 6 + ≥ ≥ − ⇔ ⇔ − ≤ ≤ − ≥ ≤ Đặt ẩn phụ: t = 3 x+ + 6 x− 2 t 9 (3 x)(6 x) 2 − ⇒ + − =
Tới đõy học sinh cú thể đặt điều kiện cho ẩn phụ và cũng cú thể khụng. Nếu đặt điều kiện cú thể học sinh đặt là:
1. Điều kiện: t ≥ 0 (Tỡm thừa điều kiện cho ẩn phụ) hoặc 2. Điều kiện: 3 t 3 2≤ ≤ (Tỡm đỳng điều kiện cho ẩn phụ)
Tiếp tục tiến hành giải, với cỏch đặt ẩn phụ như vậy ta thu được phương trỡnh: t = 2 t 9 2 − + 3 ⇔ t2− − =2t 3 0 ⇔ t = - 1 hoặc t = 3
Từ đõy do phải trở về tỡm ẩn đó cho là x nờn buộc phải giải phương trỡnh: t = 3 x+ + 6 x−
(3 x)(6 x) 0+ − = ⇔ x = - 3 hoặc x = 6
Đối chiếu điều kiện (*) ta cú nghiệm của phương trỡnh là: x = - 3 hoặc x = 6
Như vậy, nếu khụng đặt điều kiện cho ẩn phụ t thỡ bài toỏn vẫn giải đỳng, cũn nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ là t ≥ 0 thỡ vẫn dẫn tới loại được trường hợp t = - 1. Nếu đặt điều kiện cho ẩn phụ chớnh xỏc thỡ cũng chỉ giỳp loại trường hợp t = - 1 mà thụi. Chớnh những bài toỏn khụng chứa tham số này làm cho học sinh “thờ ơ” với bước đặt điều kiện của ẩn phụ, họ cú thể đặt cú thể khụng, cú thể đặt thừa điều kiện của ẩn phụ mà vẫn khụng ảnh hưởng đến lời giải bài toỏn và lối suy nghĩ như vậy dễ dẫn học sinh đến sai lầm trong bài toỏn về phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số. Bởi đối với dạng toỏn là phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số thỡ điều kiện kiờn quyết ảnh hưởng đến lời giải chớnh là điều kiện của ẩn phụ, điều kiện của ẩn phụ chớnh là cơ sở cho những lập luận, trong bài toỏn mới - bài toỏn đối với ẩn phụ. Khi đặt ẩn phụ đối với bài toỏn khụng chứa tham số thỡ sau khi tỡm ra ẩn phụ phải quay lại tỡm ẩn ban đầu nờn việc đặt điều kiện cho ẩn phụ khụng thật quan trọng, cũn với bài toỏn chứa tham số thỡ sau khi đặt ẩn phụ yờu cầu bài toỏn sẽ được chuyển sang đối với ẩn phụ và sẽ tiến hành suy luận trờn phương trỡnh mới (phương trỡnh đối với ẩn phụ). Do vậy, giỏo viờn cần giỳp học sinh nhận ra việc đặt điều kiện của ẩn phụ cú ảnh hưởng rất lớn đến lời giải bài toỏn. Để gúp phần giỳp học sinh ý thức được tầm quan trọng của việc đặt điều kiện cho ẩn phụ thỡ thụng qua Vớ dụ 44, giỏo viờn cú thể đưa ra hoạt động sau:
Hoạt động 4: Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm:
Bằng phương phỏp đặt ẩn phụ: t = tan2x + cot2x. Ta cú:
t2 – 8t - m = 0(2)
Đến đõy giỏo viờn đưa ra cỏc lời giải tương ứng với cỏc cỏch đặt điều kiện, yờu cầu học sinh tỡm ra lời giải đỳng.
Lời giải 1: (Khụng đặt điều kiện tham số)
Phương trỡnh (1) cú nghiệm khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú nghiệm:
⇔ ∆ =' 16 m 0+ ≥ ⇔ ≥ −m 16.
Lời giải 2: t = tan2x + cot2x, điều kiện: t ≥ 0.
Để phương trỡnh (1) cú nghiệm thỡ phương trỡnh (2) phải cú nghiệm thỏa món t ≥ 0. ⇔ = + = > = = − > ∆ = + ≥ 1 2 1 2 S t t 8 0 P t .t m 0 ' 16 m 0 hoặc P = t1.t2 = - m ≤ 0. ⇔ -16 ≤ m < 0 hoặc m ≥ 0 ⇔ m ≥ -16
Lời giải 3: t = tan2x + cot2x, điều kiện: t ≥ 2.
Phương trỡnh (1) cú nghiệm khi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú nghiệm thỏa món t ≥ 2.
Để tỡm tham số m sao cho phương trỡnh (2) cú nghiệm thỏa món t ≥ 2, ta dựng phương phỏp đồ thị: Đồ thị (C1): y = t2 – 8t x y 8 -16 0 2 4
Đồ thị (C2): y = m
Khi đú nghiệm của phương trỡnh (2) chớnh là giao điểm của 2 đồ thị (C1) và (C2).
Phương trỡnh (2) sẽ cú nghiệm thỏa món
t ≥ 2 khi và chỉ khi đồ thị (C2) cắt đồ thị (C1) ở điểm nằm về phớa phải của đường thẳng x = 2. Dựa vào đồ thị ta nhận thấy với m ≥ - 16 thỡ (2) luụn cú nghiệm thoả món t ≥ 2.
Vậy để phương trỡnh đó cho cú nghiệm thỡ: m ≥ -16.
Sau khi đưa ra 3 lời giải giỏo viờn cú thể đặt cõu hỏi nhằm giỳp học sinh hoạt động, chẳng hạn:
H: Nhận xột về kết quả của 3 lời giải?
H: Lời giải nào là đỳng đắn và lập luận chớnh xỏc?
H: Tại sao lại phải đặt điều kiện chặt chẽ cho ẩn phụ với bài toỏn cú chứa tham số?