7. Cấu trỳc của luận văn
2.5.1. Giỳp học sinh cú cỏi nhỡn tổng quan về cỏc phương phỏp
Khi tiếp xỳc với một chủ đề toỏn học, thỡ việc hỡnh thành cỏi nhỡn tổng quan về nội dung đú là hết sức quan trọng. Chỉ khi cú tổng quan về cỏc phương phỏp, học sinh mới đỡ bỡ ngỡ và cú khả năng ứng phú khi đứng trước những bài toỏn khỏc nhau. Trong tư duy con người, thỡ khả năng bắt chước cũng là quan trọng, tất nhiờn khụng phải là bắt chước theo dạng “photocopy”, mà chỉ bắt chước về mặt đường lối và phương phỏp làm việc mà thụi. Đối với học sinh trỡnh độ “đại trà” thỡ việc phỏt hiện ra một phương phỏp giải mới (chỉ mới đối với học sinh) cũng là điều rất khú. Vỡ những lý do trờn khi bắt đầu tiếp xỳc với dạng toỏn mới, giỏo viờn cần cung cấp đầy đủ cho học sinh những phương phỏp giải cơ bản, đồng thời nờu lờn những dạng toỏn điển hỡnh.
Cỏc phương phỏp giải phương trỡnh và bất phương trỡnh cú chứa tham số được đưa ra ở trờn thỡ hầu hết học sinh đó được làm quen khi học về nội dung phương trỡnh, bất phương trỡnh khụng chứa tham số. Như vậy, học sinh hầu như đó định hỡnh được về cỏc phương phỏp đú, duy chỉ cú phương phỏp sử dụng điều kiện cần và đủ là học sinh chưa được làm quen. Ở đõy, xin đưa ra cỏch giới thiệu phương phỏp giải sử dụng điều kiện cần và đủ để giải phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số. Giỏo viờn cú thể đưa ra một vớ dụ về bài toỏn giải bằng phương phỏp điều kiện cần và đủ, chẳng hạn:
Vớ dụ 51: Tỡm a để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất:
1 x− 2 +31 x− 2 =a (1)
Hướng dẫn học sinh tỡm lời giải:
H: Hóy vận dụng cỏc phương phỏp đó biết để giải bài toỏn? Tỡm điều kiện 1- x2≥0 ⇔ − ≤ ≤1 x 1
Giỏo viờn: Sử dụng cỏc phương phỏp khỏc vào việc giải bài toỏn này là tương đối khú khăn, nếu khụng muốn núi là bế tắc. Ở đõy, ta sử dụng phương
phỏp giải mới là phương phỏp điều kiện cần và đủ. Trước hết ta sẽ đi tỡm điều kiện cần để phương trỡnh cú nghiệm duy nhất và sau đú là kiểm tra xem điều kiện cần đú cú đủ để phương trỡnh, bất phương trỡnh cú nghiệm duy nhất hay khụng, như vậy:
Điều kiện cần: Dựa vào tớnh duy nhất nghiệm suy ra nghiệm của phương trỡnh, bất phương trỡnh thỏa món tớnh chất nào đú, dựa vào tớnh chất này suy ra cỏc giỏ trị của tham số.
Điều kiện đủ: Kiểm tra cỏc giỏ trị của tham số tỡm được trong điều kiện cần cú thỏa món yờu cầu phương trỡnh cú nghiệm duy nhất hay khụng.
Cơ sở suy luận lụgic của phương phỏp này là: A ⇒ B và kiểm tra xem B ⇒ A cú đỳng hay khụng?
H: Giả sử phương trỡnh (1) cú nghiệm là x0, từ nghiệm x0 này liệu cú thể suy ra một nghiệm khỏc nữa hay khụng?
….
H: Hóy suy nghĩ bài toỏn đơn giản hơn: “Giả sử x = x0 là nghiệm của phương trỡnh:
− 2 +3 − 2 =
1 x 1 x a hóy chỉ ra một nghiệm khỏc x0 của phương trỡnh ?”!
x = - x0 cũng là một nghiệm của phương trỡnh trờn bởi
− − 2 +3 − − 2 =
0 0
1 ( x ) 1 ( x ) a
H: Để phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất thỡ điều kiện cần là gỡ? Điều kiện cần để (1) cú nghiệm duy nhất là x0 = - x0⇒ x0 = 0 H: Điều này cú nghĩa là gỡ?
Nếu phương trỡnh (1) cú một nghiệm là x0, khi đú để phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất thỡ x0 = 0.
H: Khi nào phương trỡnh (1) cú nghiệm x0 = 0?
(1) cú nghiệm x0 = 0 nờn ta cú:
H: Nờu kết luận về điều kiện cần của tham số để phương trỡnh cú nghiệm duy nhất?
a = 3 là điều kiện cần để phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. H: Bước tiếp theo ta cần làm gỡ?
Sang điều kiện đủ: Tức là đi kiểm tra xem với a = 3 thỡ phương trỡnh cú đỳng là cú nghiệm duy nhất hay khụng! tới đõy học sinh dễ dàng giải phương trỡnh: − 2 +3 − 2 = 1 x 1 x 3 (2) Đặt: 61 x− 2 =t với 0 t 1≤ ≤ khi đú ta cú: t3 + 2t2 - 3 = 0 ⇔ −(t 1)(t2 + + =t 3) 0 ⇔ =t 1 do ⇔ + + >t2 t 3 0 Khi t = 1 ta cú x = 0
Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất là: x = 0 H: Nờu kết luận bài toỏn?
Vậy với a = 3 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất.
Sau khi hoàn thành Vớ dụ này, giỏo viờn cần khẳng định hiệu quả của phương phỏp khi giải bài toỏn tỡm điều kiện để phương trỡnh, bất phương trỡnh cú nghiệm duy nhất. Cụ thể với bài toỏn trong Vớ dụ 17, nếu giải bằng phương phỏp khỏc là rất khú khăn trong khi nếu giải bằng phương phỏp sử dụng phương phỏp điều kiện cần và đủ sẽ rất thuận lợi, dễ dàng.