7. Cấu trỳc của luận văn
2.4.1. Giỳp học sinh hiểu và sử dụng đỳng cỏc phộp biến đổi cơ bản thường dựng trong dạy
dựng trong dạy học phương trỡnh, bất phương trỡnh
Hai phương trỡnh (cựng ẩn) được gọi là tương đương nếu chỳng cú cựng tập nghiệm. Trong thực tế khi giải phương trỡnh, bất phương trỡnh ta gặp khỏi niệm hai phương trỡnh tương đương trờn D, điều này đồng nghĩa với việc nghiệm của phương trỡnh chỉ xột trờn D mà thụi. Chẳng hạn, hai phương trỡnh: x2 = 4 và x = 2 là tương đương với nhau trờn miền D = [0; +∞).
Để xỏc định xem 2 phương trỡnh cú tương đương với nhau hay khụng ta cần dựa vào định nghĩa để xem xột tập hợp nghiệm của chỳng. Cần lưu ý học sinh rằng định lý 1 về phộp biến đổi tương đương trong SGK Đại số 10, Nõng cao: “Cho phương trỡnh f(x) = g(x) cú tập xỏc định là D; y = h(x) là một hàm số xỏc định trờn D( h(x) cú thể là một hằng số). Khi đú trờn D, phương trỡnh đó cho tương đương với mỗi phương trỡnh sau:
1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
Chỉ là điều kiện đủ để 2 phương trỡnh tương đương mà khụng phải là điều kiện cần. Giỏo viờn cần chỉ rừ cho học sinh thấy, cú thể h(x) cú tập xỏc định khỏc D, nhưng 2 phương trỡnh vẫn tương đương, chẳng hạn: “Hai
phương trỡnh x = 1 và + = +
− −
1 1
x 1
x 2 x 2 là tương đương với nhau trờn Ă ,
mặc dầu h(x) = 2 1
−
x khụng xỏc định trờn tại x = 2 ∈ Ă ”. Tuy nhiờn, hai
phương trỡnh: x = 1 và 1 1
x 1
x 1 x 1
+ = +
− − là khụng tương đương với nhau.
Cú thể núi rằng, nếu ta thay thế điều kiện h(x) xỏc định trờn D bởi h(x) xỏc định tại mọi nghiệm của phương trỡnh f(x) = g(x) thỡ khi đú Định lý 1 trong SGK Đại số 10, Nõng cao, sẽ biến thành mệnh đề tương đương. Tuy nhiờn, mệnh đề này khụng cú ứng dụng trong thực tế, bởi chỳng ta chưa thể xỏc định được cỏc giỏ trị nghiệm của phương trỡnh f(x) = g(x), để cú thể kiểm tra h(x) cú xỏc định với cỏc giỏ trị nghiệm đú hay khụng.
Để khắc sõu Định lớ 1 giỏo viờn cú thể đưa ra hoạt động như:
Hoạt động 6: Giải phương trỡnh: x2 + x 2 9− = + x 2− (1) Một học sinh lập luận:
“Phương trỡnh (1) cú tập xỏc định là D = [2; +∞), xột hàm số:
h(x) = - x 2− xỏc định trờn D. Khi đú cộng cả hai vế phương trỡnh (1) với h(x), ta được phương trỡnh tương đương với phương trỡnh (1) đú là:
x2 = 9 ⇔ x = ± 3
Vậy phương trỡnh (1) đó cho cú 2 nghiệm x = ± 3”. Giỏo viờn cú thể tiến hành đặt cõu hỏi:
H: x = ± 3 cú là nghiệm của phương trỡnh hay khụng?
Giỏo viờn cần chỉ rừ cho học sinh thấy: (1) ⇔ x2 = 9 điều này chỉ xảy ra trờn D = [2; +∞), do vậy phải loại nghiệm x = - 3, vỡ nú khụng thuộc D và kết luận phương trỡnh đó cho cú nghiệm x = 3.
Cần loại bỏ việc giản ước một cỏch tựy tiện, khụng cú lập luận và căn cứ chớnh xỏc ở học sinh. Đồng thời yờu cầu học sinh tiến hành đặt điều kiện xỏc định đối với cỏc phương trỡnh cú chứa cỏc phộp toỏn khai căn bậc chẵn, chứa logarit, chứa ẩn ở mẫu. Trong quỏ trỡnh giảng dạy, giỏo viờn cũng cần đưa ra lượng bài tập về phộp biến đổi tương đương nhất định nhằm giỳp học sinh cú cỏi nhỡn toàn diện, sõu sắc hơn trong vấn đề này.
Vớ dụ 47: Giả sử f(x) là biểu thức của x. Xem xột khẳng định sau đõy: (x - 2).f(x) = x - 2 ⇔ f(x) = 1
Biểu thức f(x) cho ta hàm số: y = f(x). Ta gọi Df là tập xỏc định của hàm số
y = f(x).
(1): (x - 2).f(x) = x - 2. (2): f(x) = 1.
H: Nờu tập xỏc định của phương trỡnh (1) và (2)? Tập xỏc định của của phương trỡnh (1) và (2) là Df H: Nờu phộp biến đổi khi thực hiện biến đổi (1) ⇔ (2)? Nhõn cả hai vế của (1) với h(x) = 1
x 2− .
H: Để thực hiện phộp biến đổi đú ta cần xem xột điều gỡ? Liệu h(x) cú xỏc định trờn Df hay khụng?
H: Khi nào h(x) xỏc định trờn Df và khi nào h(x) khụng xỏc định trờn Df? h(x) xỏc định trờn Df khi: 2 ∉Df
H: 2 ∉Df nờu kết luận về phộp biến đổi?
h(x) xỏc định trờn Df nờn theo định lý (1) ⇔ (2) là khẳng định đỳng. H: 2 ∈Df nờn kết luận về khẳng định (1) ⇔ (2)?
Khi đú (1) cú 1 nghiệm là x = 2, do đú:
+) Nếu 2 cũng là nghiệm của (2) tức là f(2) = 1 thỡ khẳng định đỳng. +) Nếu f(2) ≠ 1 thỡ khẳng định sai.
Ngoài phộp biến đổi tương đương SGK Đại số 10, Nõng cao, cũn đưa ra khỏi niệm phương trỡnh hệ quả và đưa ra định lý về phộp biến đổi bỡnh phương hai vế của phương trỡnh như sau:“f1(x) = g1(x) gọi là phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh f(x) = g(x) nếu nghiệm của nú chứa tập nghiệm của phương trỡnh f(x) = g(x)” và “Khi bỡnh phương hai vế của một phương trỡnh, ta được phương trỡnh hệ quả của phương trỡnh đó cho: f(x) = g(x) ⇒ [f(x)]2= [g(x)]2”.
Đối với bài toỏn về phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số rất hiếm khi sử dụng phộp biến đổi phương trỡnh hệ quả. Nờn cần lưu ý học sinh điều kiện cú thể thực hiện phộp bỡnh phương hai vế, để thu được phương trỡnh tương đương.
Hoạt động 7: Thử đi tỡm điều kiện để phộp biến đổi bỡnh phương hai vế phương trỡnh để thu được phương trỡnh tương đương.
H: Để f(x) = g(x) ⇔ [f(x)]2 = [g(x)]2 thỡ cần cú thờm điều gỡ? Cần phải cú phộp kộo theo [f(x)]2 = [g(x)]2 ⇒ f(x) = g(x) H: [f(x)]2 = [g(x)]2 sẽ tương đương với điều gỡ?
[f(x)]2 = [g(x)]2⇔ [f(x)]2 - [g(x)]2 =0
⇔ [f(x) - g(x)].[ f(x) + g(x)] = 0
⇔ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)
H: Cỏc đẳng thức f(x) = g(x); f(x) = - g(x) chỳng ta đặt điều kiện để khụng xảy ra đẳng thức nào?
Đặt điều kiện để khụng xảy ra đẳng thức f(x) = - g(x).
H: So sỏnh hai đẳng thức f(x) = g(x) và f(x) = - g(x) chỳng khỏc nhau ở điểm nào?
Hai đẳng thức này chỉ khỏc nhau dấu trừ với mọi giỏ trị x bất kỡ, f(x) = g(x) chứng tỏ f(x), g(x) cựng dấu, f(x) = - g(x) chứng tỏ f(x), g(x) trỏi dấu.
H: Để chỉ xảy ra f(x) = g(x) mà khụng xảy ra f(x) = - g(x) cần cú điều kiện gỡ?
f(x) và g(x) cựng dấu ⇔ f(x). g(x) ≥ 0
H: Với điều kiện f(x). g(x) ≥ 0 thỡ cú [f(x)]2 = [g(x)]2 tương đương với đẳng thức nào?
Với điều kiện f(x). g(x) ≥ 0 thỡ: [f(x)]2 = [g(x)]2⇔ f(x) = g(x).
Giỏo viờn cần lưu ý học sinh trong thực hành giải toỏn, ta thường sử dụng phộp bỡnh phương hai vế vào việc giải phương trỡnh vụ tỉ, phương trỡnh chứa dấu giỏ trị tuyệt đối. Thụng thường để phộp biến đổi ấy là tương đương ta chuyển hạng tử chứa căn về một vế để vế đú dương, vế cũn lại ta đặt thờm điều kiện dương để tiến hành bỡnh phương. Chẳng hạn, bài toỏn: “Giải phương trỡnh:
x 4+ − 1 x− = 1 2x− (1)
Ta thực hiện phộp biến đổi: Điều kiện: x ≤ 1/2 (1) ⇔ x 4+ = 1 x− + 1 2x−
Khi đú ta thực hiện phộp biến đổi bỡnh phương hai vế vỡ với điều kiện trờn thỡ hai vế phương trỡnh đương. Như vậy, thực chất điều kiện f(x).g(x) ≥ 0 trong thực hành ta sử dụng điều kiện f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 và thực hiện phộp bỡnh phương hai vế để thu được phương trỡnh mới tương đương với phương trỡnh đó cho.
Trong phộp biến đổi nhằm giải phương trỡnh, cú những phộp biến đổi dẫn tới phương trỡnh hệ quả, tuy nhiờn đõy là điều khụng dễ nhận ra đối với học sinh. Giỏo viờn cần đưa ra vớ dụ cụ thể về phộp biến đổi thu được phương trỡnh hệ quả, để rồi khắc sõu cho học sinh nhằm trỏnh sai lầm tương tự trong
khi thực hiện phộp biến đổi đưa đến phương trỡnh hệ quả mà học sinh khụng nhận ra và gặp phải sai lầm khi nghĩ đú là phộp biến đổi tương đương.
Vớ dụ 48: Giải phương trỡnh
+ + + = + 2+ + −
2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16 (1)
Học sinh đưa ra lời giải:
Đặt: 2x 3+ + x 1+ = t ≥0 ta cú t2 = 3x + 4 + 2 2x2+ +5x 3 Phương trỡnh (1) trở thành: t2 - t - 20 = 0 = = − t 5 t 4 Vậy t = 5 thỏa món Với t = 5 ta cú 2x 3+ + x 1+ = 5 ⇔ 3x 4 2 2x+ + 2 +5x 3 25+ = ⇔ 2 2x2 +5x 3 21 3x+ = − ⇔ x2 −1465x 429 0+ = ⇔ x = 3 hoặc x = 143
Vậy phương trỡnh cú 2 nghiệm là x = 3 và x = 143.
Sai lầm trong lời giải này đó được chỉ ra trong Mục 1.4.5, Chương 1. Ở đõy ta phõn tớch khớa cạnh tại sao lại sai lầm và đề ra biện phỏp hữu hiệu để khắc phục sai lầm. Đõy là điều giỏo viờn cần khắc sõu để học sinh hiểu hơn về phộp biến đổi này.
Hoạt động 8: Tỡm hiểu sai lầm trong phộp biến đổi:
u + v = a (1)
u3 + v3 + 3uv.a = a3 (2)
Xem xột vấn đề (1) ⇔ (2) hay khụng?
Dễ thấy u + v = a thỡ dễ dàng suy ra: u3 + v3 + 3uv.a = a3. Tuy nhiờn, vấn đề ngược lại: (2) ⇒ (1) là mệnh đề đỳng hay sai?
u3 + v3 + 3uv.a= a3
⇔ (u + v)(u2 - uv + v2) + 3uv.a = a3
⇔ (u + v)[(u + v)2 - 3uv] + 3uv. a = a3
⇔ (u + v)3 - 3uv(u + v) + 3uv. a = a3
⇔ (u + v)3 - a3 - 3uv(u + v - a) = 0
⇔ (u + v - a)[(u + v)2 + a(u + v) + a2 - 3uv] = 0
⇔ (u + v - a)(u2 + v2 + a2 + au + av - uv) = 0
⇔ u + v = a hoặc u2 + v2 + a2 + au + av - uv = 0
⇔ (u + v) = a hoặc (u - v)2 + (u + a)2 + (v + a)2 = 0 H: Để (2) ⇒ (1) ta cần điều gỡ?
Phương trỡnh (u - v)2 + (u + a)2 + (v + a)2 = 0 vụ nghiệm, hay hệ sau vụ
nghiệm: =
= −
u v u a
H: Vận dụng suy luận trờn vào phương trỡnh 3f(x) +3g(x) =3h(x). Khi nào sẽ tương đương với phương trỡnh:
f(x) + g(x) + 3 f(x). g(x). h(x)3 3 3 = h(x)?
Hai phương trỡnh trờn sẽ tương đương nếu hệ sau vụ nghiệm:
(*) =
= −
f(x) g(x) f(x) h(x)
Giỏo viờn lưu ý vai trũ học sinh điều kiện (*) trong hoàn cảnh biến đổi về phương trỡnh hệ quả mà nghiệm là số khụng thể thử lại được, thỡ chỉ cũn cỏch biến đổi tương đương trờn cơ sở đó kiểm tra hệ (*) vụ nghiệm.
Khi giảng dạy về bất phương trỡnh giỏo viờn cần lưu ý học sinh khụng cú thuật ngữ bất phương trỡnh này là hệ quả của bất phương trỡnh kia, bởi SGK Đại số 10, Nõng cao, khụng đưa ra khỏi niệm bất phương trỡnh hệ quả. Để trỏnh nhầm lẫn với kiến thức về phương trỡnh giỏo viờn cần lưu ý học sinh:
Nếu khụng cú điều kiện gỡ đối với f(x) và g(x) thỡ khụng thể núi rằng f(x) < g(x) tương đương trờn D (D là tập xỏc định của bất phương trỡnh f(x) < g(x)) với [f(x)]2 < [g(x)]2, thậm chớ trong cỏc tập nghiệm của bất phương trỡnh khụng chắc chắn tập nghiệm nào là con của tập nào.
Hoạt động 9: Xem xột tập nghiệm của 2 bất phương trỡnh:
x + 1 > -2x - 1 (1)
và (x + 1)2 > (-2x - 1)2 (2) H: Hai bất phương trỡnh trờn cú mối quan hệ gỡ với nhau?
Bất phương trỡnh (2) là phộp bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh (1). H: Tỡm tập nghiệm của 2 bất phương trỡnh trờn?
(1) ⇔ 3x + 2 < 0 ⇔ x < -2/3 (2) ⇔ 3x2 + 2x < 0 ⇔ -2/3 < x < 0 H: Cú tập nghiệm nào chứa tập nghiệm nào khụng? Khụng
H: Nờu kết luận về phộp biến đổi bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh? Khi bỡnh phương hai vế bất phương trỡnh thỡ khụng cú kết luận về tập nghiệm của bất phương trỡnh này chứa tập nghiệm của bất phương trỡnh kia.
Sau khi tiến hành hoạt động, giỏo viờn cú thể nhấn mạnh: nếu f(x) và g(x) bất kỳ, thỡ chưa thể khẳng định được f(x) < g(x) cú tương đương trờn D với [f(x)]2 < [g(x)]2 hay khụng và cũng khụng khẳng định được cú tập nghiệm nào bị chứa trong tập nghiệm kia hay khụng.