7. Cấu trỳc của luận văn
2.3.2. Khắc sõu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ
Để giải phương trỡnh, bất phương trỡnh nhiều khi ta sử dụng phộp đặt ẩn phụ t = ϕ (x), mối quan hệ giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ được thể hiện thụng qua hàm số ϕ. Giỏo viờn cần giỳp học sinh nhận ra mối tương quan của t và x, tức là trả lời cõu hỏi: với giỏ trị t bất kỳ thỡ sẽ cú bao nhiờu giỏ trị x tương ứng? Với giỏ trị x bất kỳ thuộc miền xỏc định của bài toỏn, thỡ tồn tại một giỏ trị t, tuy nhiờn vấn đề mà ta cần quan tõm lại là vấn đề ngược lại.
Trước hết, giỏo viờn cần hướng dẫn học sinh nhận ra với giỏ trị nào của ẩn phụ t thỡ tồn tại giỏ trị x tương ứng, điều này giống như bài toỏn tỡm điều kiện tham số t để phương trỡnh t = ϕ (x) cú nghiệm. Học sinh cần trả lời được cõu hỏi: Với những giỏ trị nào của t để phương trỡnh t = ϕ(x) tồn tại x? Với những cả giỏ trị nào của t thỡ t = ϕ (x) sẽ khụng tồn x? Thực chất chỉ cần tỡm cõu trả lời được một trong hai cõu hỏi và phủ định lại đỏp ỏn đú thỡ được đỏp
ỏn cho cõu hỏi cũn lại. Khi đặt ẩn phụ thỡ cú thể với mọi giỏ trị của t đều dẫn đến sự tồn tại của x, chẳng hạn như phộp đặt ẩn phụ:
+) t = tanx; t = cotx; +) t = logax;
Tuy nhiờn, cần lưu ý học sinh bởi điều này khụng phải bao giờ cũng đỳng, chẳng hạn phộp đặt ẩn phụ: t = x2 +1. Học sinh sẽ đễ dàng nhận thấy điều kiện của t là: t ≥ 0, do đú với những giỏ trị t < 0 thỡ sẽ khụng tồn tại giỏ trị x tương ứng. Tuy nhiờn, kết luận trờn vẫn chưa đầy đủ, bởi nú chưa xỏc định hết những giỏ trị của t để khụng tồn tại x tương ứng. Cần nhắc nhở học sinh biết xem xột biểu thức trong dấu căn, chứ khụng nờn suy luận đơn giản là: t = x2 +1 ≥ 0, nờn với giỏ trị t ≥ 0 thỡ sẽ tồn tại giỏ trị x tương ứng. Ở đõy học sinh cú thể đỏnh giỏ:
x2 + 1 ≥ 1 ⇒ x2 +1 ≥ 1.
Nờn t ≥ 1, vậy với giỏ trị t ≥ 1 thỡ sẽ tồn tại giỏ trị x tương ứng. Do vậy, ngoài việc xem xột phộp toỏn, cần xem xột biểu thức trong phộp toỏn:
f(x) t;= 2f (x) =t; f(x) =t;
Với những phộp đặt ẩn phụ trờn ta chưa được khẳng định với t ≥ 0 thỡ sẽ tồn tại x, điều này rất cú thể dẫn đến sai lầm. Để tỡm miền xỏc định của t cần phải xem xột đến miền xỏc định của f(x).
Tiếp đến, học sinh cần nhận thấy trong cỏc giỏ trị của t dẫn tới tồn tại x trong biểu thức t = ϕ(x), thỡ ứng với một giỏ trị t cụ thể bất kỳ nào đú cú bao nhiờu giỏ trị x. Sự tương ứng giữa t và x là rất quan trọng trong những bài toỏn yờu cầu tỡm giỏ trị tham số để phương trỡnh cú số nghiệm xỏc định. Với phộp đặt ẩn phụ t = ϕ(x), nếu ϕ là hàm đơn điệu thỡ trong miền giỏ trị của t sự tương ứng sẽ là 1 - 1.
Khi đú miền giỏ trị của ẩn phụ sẽ là: [0; +∞), hàm ϕ là hàm số đồng biến do: ϕ = > + 1 '(x) 0 2 x 1 với mọi x ∈ (-1;+∞)
nờn sự tương ứng giữa x và t ở đõy là 1-1. Thật vậy, với giỏ trị t0 bất kỳ thuộc miền xỏc định [0; +∞) tồn tại một giỏ trị x duy nhất tương ứng, đú là:
x = t02 - 1
Tất nhiờn, mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ khụng phải bao giờ cũng là 1-1. Bờn cạnh đú cú nhiều phộp đặt ẩn phụ thỡ với mỗi giỏ trị của ẩn phụ thuộc miền giỏ trị cú thể cho nhiều giỏ trị x tương ứng. Chẳng hạn, phộp đặt ẩn phụ:
t = 2x 12+ ⇔ x2 + 1 = log2t0 ⇔ x2 = log2t0 - 1 +) Với t0 = 2 thỡ sẽ tồn tại 1 giỏ trị x tương ứng là x = 0
+) Với t0 > 2 thỡ sẽ tồn tại 2 giỏ trị x tương ứng là: x= ± log t - 12 0
Vậy với mỗi t0 > 2 sẽ tồn tại 2 giỏ trị x tương ứng.
Giỏo viờn cần nhắc nhở học sinh suy xột kĩ càng mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Bởi mối quan hệ này khỏ phức tạp và phong phỳ, nếu xem xột khụng kỹ càng cú thể dẫn đến sai lầm khụng đỏng cú. Một khi học sinh ý thức đầy đủ mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ sẽ giỳp học sinh lập luận chớnh xỏc và cú thể ứng phú linh hoạt khi yờu cầu của bài toỏn thay đổi.
Để xỏc định sõu mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ thỡ trong giảng dạy giỏo viờn khụng chỉ nờn dừng lại ở yờu cầu của bài toỏn mà cũn cú thể đặt ra cỏc yờu cầu khỏc nhau, nhằm giỳp học sinh phản ứng tốt trước cỏc kiểu bài toỏn và giỳp họ hiểu chắc chắn về mối tương quan giữa ẩn ban đầu và ẩn phụ.
Vớ dụ 45: Cho phương trỡnh:
x2 −2x 2 2m 1 2x+ = + − 2 +4x (1)
Với giỏ trị nào của m thỡ phương trỡnh đó cho cú nghiệm.
Hướng dẫn tỡm lời giải:
Để giải phương trỡnh trờn ta dựng phộp đặt ẩn phụ: t = x2 −2x 2+
H: Hóy chỉ ra miền xỏc định của ẩn x?
− +
2 2 2
x x ≥ 0 ⇔ ∀x ∈ R H: Chỉ ra miền giỏ trị của t ? t = x2 −2x 2+ …
H: Cú thể núi gỡ về biểu thức dưới dấu căn? x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 ≥ 1 với mọi x ∈ R
Biểu thức dưới dấu căn luụn lớn hơn hoặc bằng 1 với mọi giỏ trị của x ∈ R
H: Cú xỏc định được giỏ trị lớn nhất của biểu thức dưới dấu căn hay khụng?
Khụng vỡ x là dần tới +∞ thỡ (x2 - 2x + 2 ) sẽ dần tới +∞! H: Hóy chỉ ra miền giỏ trị của t?
t = x2 −2x 2+ = (x 1)− 2 +1 ≥ 1. Miền giỏ trị của t là [1; +∞)
H: Với giỏ trị nào của t thỡ phương trỡnh t = x2 −2x 2+ sẽ cú
nghiệm?
Với t ≥ 1 thỡ phương trỡnh t = x2 −2x 2+ cú nghiệm.
H: Với cỏch đặt ẩn phụ đú phương trỡnh sẽ trở thành như thế nào? 2t2 + t - 5 - 2 m = 0
⇔ 2t2 + t - 2m - 5 = 0 (2)
Để phương trỡnh (1) cú nghiệm thỡ (2) phải cú nghiệm thỏa món t ≥ 1. Trong vớ dụ này ta phõn tớch, diễn giải cỏch thức nhằm giỳp học sinh phỏt hiện ra điều kiện ẩn phụ, cũng như mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Ở đõy ta thấy, khụng phải mọi giỏ trị của ẩn phụ đều dẫn tới sự tồn tại của ẩn ban đầu, mà chỉ những giỏ trị ẩn phụ thoó món t ≥ 1 thỡ mới dẫn đến sự tồn tại của ẩn ban đầu tương ứng. Tuy nhiờn, nếu bài toỏn chỉ dừng lại ở đõy thỡ giỏo viờn chưa hoàn thành được nhiệm vụ khắc sõu mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Để giỳp học sinh hiểu sõu sắc hơn sự tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu, giỏo viờn cú thể thay đổi yờu cầu bài toỏn, rồi yờu cầu học sinh hoạt động suy luận để giải quyết. Giỏo viờn cú thể đưa ra hoạt động sau:
Hoạt động 5:
Hóy tiến hành suy luận với điều kiện nào của phương trỡnh (2) thỡ phương trỡnh (1): a) Cú đỳng 1 nghiệm. b) Cú đỳng 2 nghiệm. c) Cú đỳng 3 nghiệm. d) Cú đỳng 4 nghiệm. e) Vụ nghiệm.
Thụng qua hoạt động này học sinh bắt buộc phải suy xột mối tương quan giữa ẩn phụ t và ẩn ban đầu x. Bõy giờ học sinh phải suy xột kĩ hơn là: với 1 giỏ trị t ≥ 1 thỡ sẽ tồn tại bao nhiờu giỏ trị x tương ứng. Chớnh sự suy xột sau đõy sẽ giỳp học sinh cú cỏi nhỡn sõu sắc, đầy đủ hơn về bài toỏn:
+) Với t = 1 thỡ sẽ tồn tại 1 giỏ trị x tương ứng là x = 1. +) Với t > 1 thỡ sẽ tồn tại 2 giỏ trị x tương ứng là:
x = 1 ± t2 −1
Một khi học sinh đó cú sự xột này thỡ việc tiến hành suy luận để giải quyết cỏc yờu cầu trờn là khụng mấy khú khăn:
a) Phương trỡnh cú đỳng một nghiệm khi và chỉ khi (2) cú nghiệm t1, t2 thỏa món: t1 ≤ t2 = 1.
b) Phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm ⇔ (2) cú 2 nghiệm t1, t2 thỏa món: t1 < 1 < t2 hoặc 1 < t1 = t2
c) Phương trỡnh (1) cú 3 nghiệm ⇔ (2) cú 2 nghiệm t1, t2 thoả món: t1 = 1 < t2
d) Phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt ⇔ (2) cú 2 nghiệm t1, t2 thỏa món:
1 < t1 < t2.
e) Phương trỡnh (1) vụ nghiệm ⇔ (2) cú 2 nghiệm t1, t2 thỏa món: t1 ≤ t2 < 1 hoặc phương trỡnh (2) vụ nghiệm.
Hoặc cú thể tiến hành suy luõn theo cỏch sau:
Số nghiệm của phương trỡnh (2) chớnh là số giao điểm của hai đường. Đường parabol (P): y = 2t2 + t - 5 với t ≥ 1
Đường thẳng d: y = 2m cựng phương với trục hoành.
Trờn cựng mặt phẳng toạ độ ta dựng hai đường (P) và d và dựa vào đú ta cú kết quả.
Với sự suy xột và lập luận trờn nếu giỏo viờn cú sự hỗ trợ đỳng mực làm sao cho học sinh là chủ thể hoạt động thỡ chắc chắn học sinh sẽ nắm bắt, hiểu rừ hơn mối tương quan giữa ẩn phụ và ẩn ban đầu. Từ đú hỡnh thành kĩ năng giải cỏc bài toỏn về phương trỡnh, bất phương trỡnh cú chứa tham số bằng phương phỏp đặt ẩn số phụ.