1) Dấu hiệu 1
Định lý 1. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm xo (có thể trừ tại xo)
1) Nếu f’(x) > 0 2) Nếu f’(x) < 0
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua xo , đạo hàm đổi dấu thì xo là 1 điểm cực trị.
Tính chất của cực trị được thể hiện trong bảng biến thiên sau
Chứng minh
1) Ta phải chứng minh rằng f(x) < f(xo)
Vì hàm số f(x) liên tục trên đoạn [x ; xo] và có đạo hàm trên khoảng (x ; xo) nên theo định lý Lagrăng, ta có: f(x) – f(xo) = f’(c)(x-xo) với một số c nào đó thuộc khoảng (x ; xo).
57
Vì f’(c) >0 và (x –xo) < 0 (theo giả thiết), cho nên: Lập luận tương tự cho trường hợp
Vậy hàm số f(x) đạt cực đại tại xo. 2) Chứng minh tương tự
Áp dụng dấu hiệu I, ta có quy tắc I sau đây để tìm các điểm cực trị của hàm số
1) Tìm f’(x)
2) Tìm các điểm tới hạn 3) Xét dấu cua đạo hàm
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = 3x +3/x +5
Giải. Từ ví dụ 2 trong bài 1, ta thấy x = -1 là điểm cực đại và x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số đã cho.
Ví dụ 2: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 Giải. Tập xác định R
y’ = 3x2 , y’ = 0
y’> 0 trừ tại điểm x = 0. Vậy hàm số luôn luôn đồng biến. Do đó, hàm số không có điểm cực trị.
Chú ý. Như vậy, điểm tới hạn x = 0 không phải là điểm cực trị. 58
Ví dụ 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số
Từ bảng biến thiên của hàm số, đã lập khi tìm các khoảng đơn điệu của hàm số này ở cuối bài 1, ta kết luận rằng hàm số đã cho có điểm cực đại x = 0 và fCĐ = f(0) = 0 và điểm cực tiểu x =2 với fCT = f(2)
2) Dấu hiệu II
Định lý 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại xo và f ’(xo) = 0 , f’’(xo) khác 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số
Hơn nữa,
1) Nếu f ’’(xo) > 0 thì xo là điểm cực tiểu 2) Nếu f ’’(xo) < 0 thì xo là điểm cực đại Nói cách khác,
Chứng minh
1) Giả sử f”(x) >0. Vì hàm số f”(x) liên tục tại xo, nên f”(x)> 0 trong 1 lân cận nào đó của xo (1), vì vậy trên lân cận đó, hàm số f’(x) đồng biến. Nhưng f’(xo) = 0 cho nên:
- Nếu x < xo thì f’(x) < f’(xo) = 0 - Nếu x > xo thì f’(x) > f’(xo) = 0
tức là đạo hàm của x đổi dấu từ âm sang dương khi x chuyển qua xo. Do đó xo là điểm cực tiểu theo dấu hiệu I.
2) Chứng minh tương tự.
Áp dụng dấu hiệu II, ta có quy tắc II sau đây để tìm các điểm cực trị của hàm số
59
Quy tắc II
1) Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0. Gọi xi (i = 1,2,...) là các nghiệm. 2) tính f”(x)
3) Từ dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi theo dấu hiệu II Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = x4/4 – 2x2 +6
Giải. Hàm số xác định với mọi x thuộc R 1) f’(x) = x3 -4x = x(x2 -4) = 0
2) f”(x) = 3x2 – 4 3)
Kết luận: f(x) đạt cực tiểu
F(x) đạt cực đại tại x = 0 và fCĐ = f(0) = 6 Ví dụ 2 . Tìm các điểm cực trị của hàm số f(x) = sin2x Giải. Tập xác định R 1) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x = 0 2) f”(x) = 2cos2x 3) 60 Kết luận. BÀI TẬP
1. Áp dụng dấu hiệu I, tìm các điểm cực trị của hàm số sau a) y = 2x3 + 3x2 – 36x -10 b) y = x4 +2x2 -3 c) y = x + 1/x d) e) y = x e-x g) y = x3 (1-x)2
a) y = x4 – 2x2 +1 b) y = sin2x –x c) d) y = sin2x + cos2x e) y = x2lnx 3. Chứng minh rằng hàm số 4. Xác định m để hàm số 5. Chứng minh rằng hàm số
6. Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a2x3 +2ax2 – 9x +b đều là những số dương và xo = -5/9 là điểm cực đại.
61
BÀI 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ1. Định nghĩa . 1. Định nghĩa .
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu