Baì toán. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữa hạn điểm tới hạn trên đoạn đó.
Cách giải. Để giải bài toán này, ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận. Song ta còn có thể áp dụng cách giải đơn giản hơn dưới đây.
64
Trước hết, ta chú ý rằng, khác với trường hợp của bài toán trên, theo tính chất hàm số liên tục tr6en 1 đoạn.
Nếu f(x) không có điểm tới hạn nào trên đoạn [a;b] thì f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn đó. Do đó, tr6en đoạn [a;b], f(x) hoặc đồng biến hoặc nghịch biến. Nếu f(x) có 1 số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn [a;b] thì chúng chia đoạn [a;b] thành 1 số hữu hạn đoạn nhỏ đó là các giá trị của hàm số tại các đầu mút.
Từ các nhận xét trên, ta suy ra quy tắc:
Quy tắc
1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2,...., xn của f(x) trên đoạn [a;b]. 2) Tính f(a), f(x1), f(x2),...., f(xn), f(b).
3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = 2x3 + 3x2 – 1 trên các đoạn và nửa đoạn sau đây:
Giải: f’(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1) = 0 tương đương x = -1, x = 0. Vậy các điểm tới hạn là x1 = -1, x2 = 0. a) [ -2; -1/2 ] b) [ -1/2 ; 1] c) [1; 3) Giải. f’(x) = 6x2 + 6x = 6x (x+1) a) b)
c) Trên nửa đoạn [1;3) không có điểm tới hạn nào. Vì f’(2) = 36 > 0 nến f’(x) > 0 trên nửa đoạn [1;3). Do đó, f(x) đồng biến trên nửa đoạn [1;3)
66
BÀI TẬP
1. Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: a) y = 1 + 8x – 2x2
b) y = 4x3 – 3x4
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = (x+2)2 / x (x > 0)
b) y = x2 + 2/x (x > 0)
3. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x3 -3x2 -9x + 35 trên đoạn [-4;4]
b) y = | x2 -3x + 2| trên đoạn [-10; 10] c)
d) y = sin2x – x
4. Cho trước chu vi hình chữ nhật là p = 16cm, dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
5. Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
BÀI 4. TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ1. Khái niệm về tính lồi lõm và điểm uốn 1. Khái niệm về tính lồi lõm và điểm uốn
Xét đồ thi ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hìn dưới đây. Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thị đã cho đều có tiếp tuyến.
67
Tại mọi điểm của cung AC tiếp tuyến luôn luôn ở phía tr6en của cung AC. Ta nói cung AC là 1 cung lồi. Nếu a là hoành độ của A, c là hoành độ của C thì khoảng (a;c) được gọi là 1 khoảng lồi của đồ thị.
Tại mỗi điểm của cung CB tiếp tuyến luôn luôn ở phía dưới cung CB. Ta nói cung CB là 1 cung lõm. Nếu c là hoành độ của C, b là hoành độ của B thì khoảng (c;b) được gọi là một khoảng lõm của đồ thị
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn. Chẳng hạn, điểm C của đồ thị trong hình 8 là một điểm uốn.