cho hàm số y = f(x)
a) Gọi (C) là đồ thị của nó , hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm Mo (xo; f(xo)).
b) Hãy viết phương trình các đường thẳng đi qua M(x1 ; y1) và tiếp xúc với (C) c) Hãy viết phương trình các đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với (C) Cách giải
a) Ta đã biết phương trình của tiếp tuyến của (C) tại Mo (xo; yo) (yo = f(xo)) là : y – yo = f ’(xo).(x-xo)
101
b) Đường thẳng d đi qua M 1 (x1;y1) và có hệ số góc k có phương trình là : y – y1 = k(x- x1) tương đương y = k(x – x1) + y1
Để cho đường thẳng d tiếp xúc với (C) , hệ phương trình sau phải có nghiệm Hệ phương trình này cho phép xác định hoành độ xo của tiếp điểm, và hệ số góc k = f ’(xo) của tiếp tuyến.
Chú ý . Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm
chung. Cho 2 hàm số y = f(x) và y = g(x) , gọi (C) và (C’) theo thứ tự là đồ thị của chúng. Hai đồ thị (C) và (C’) được gọi là tiếp xúc với nhau tại một điểm chung , nếu tại điểm đó có cùng một tiếp tuyến. Khi đó điểm chung được gọi là tiếp điểm. Như vậy, 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc với nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau có nghiệm:
Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = (2 – x2)2 (C)
biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(0;4)
Giải . Đường thẳng d với hệ số góc k đi qua điểm A(0;4) có phương trình là y = kx + 4 . Trong trường hợp d tiếp xúc với (C) , để tìm hoành độ của tiếp điểm của d và (C) ta giải hệ phương trình
102
Thay k trong (b) vào (a), ta được : x2 – 4x2 = x(4x2 – 8x)
Suy ra
Vậy có 3 tiếp tuyến đi qua A là :
c) Với k đã cho , giải phương trình f ’(x) = k
ta tìm được hoành độ các tiếp điểm x0, x1 ... từ đó suy ra phương trình các tiếp điểm phải tìm
y – yi = k(x – xi) (i = 0,1,...)
Ví dụ : Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y = 1/4 x + 3 và tiếp xúc với đồ thị của hàm số : y = f(x) = -x3 + 3x2 – 4x + 2
Giải . Ta có f ’(x) = -3x2 + 6x – 4
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng y = 1/4.x + 3 có hệ số góc k = -4. 103
Để tìm hoành độ các tiếp điểm của d với đồ thị của hàm số đã cho, ta giải phương trình :
-3x2 +6x – 4 = - 4
Vậy với x1 = 0, ta có y1 = f(x1) = 2. Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến tương ứng phải tìm là :
y – 2 = - 4x
Vậy x2 = 2, ta có y2 = f(x2) = -2 .Từ đó suy ra phương trình của tiếp tuyến tương ứng phải tìm là :
y + 2 = - 4(x – 2) BÀI TẬP 1) Khảo sát các hàm số sau : a) y = x2 – 2x – 3 b) y = -x2 + 4x + 5 c) y = -x3 + x2 – x -1 d) y = 2x3 – 3x2 + 1 e) y = x4/2 –x2 – 3/2 g) y = 2x2 – x4 2. Khảo sát các hàm số sau: a) b) c) d) e) g) 104 3. a) Khảo sát hàm số y = -x3 + 3x + 1 (1)
b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1), biện luận về số nghiệm của phương trình sau đây theo m
x3 – 3x + m = 0
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -9x + 1.
4. Cho hàm số
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số luôn đồng biến trên mọi khoảng xác định của nó.
b) Xác định m để đường tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A. c) Khảo sát hàm số khi m = 2
5. Cho hàm số
b) Khảo sát hàm số khi m = 1
ÔN TẬP CHƯƠNG II1. Hàm số bậc hai 1. Hàm số bậc hai
1.a) Khảo sát hàm số: y = 1/4 x2 – x + 2
b) Chứng minh rằng từ điểm A (7/2; 0) có thể vẽ được 2 tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số đã cho và 2 đường thẳng này vuông góc với nhau.
105
c) Gọi d là đường thẳng đi qua B (1;-1) và có hệ số góc k. Biện luận theo k, vị trí tương đối của d và (C).
2. Cho hàm số y = f(x) = 2x2 + 2mx + m -1, m là tham số; đồ thị là (Cm). a) Khảo sát hàm số khi m = 1, m = 2
b) xác định m sao cho hàm số: 1) Đồng biến trong khoảng 2) Có cực trị trong khoảng
c) Chứng minh rằng (Cm) luôn luôn cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt M, N. Xác định m sao cho độ dài đoạn MN đạt giá trị nhỏ nhất.