Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì Chứng minh. Ta có 140 Vì du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx nên ta có: Ví dụ 1. Giải Do đó Ví dụ 2. Giải 141
Ví dụ 3. Giải BÀI TẬP 1. Tính các tích phân sau: a) b) c) d) 2. Tính các tích phân sau a) b) c) 142 3. Tính các tích phân : a) b) c) d)
4. Tính các tích phân sau (với a> 0) a) b) 5. Tính: a) b) c) d) 6. Tính a) b) 143
c) d) e)
BÀI 4. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ CỦA TÍCH PHÂN1. Tính diện tích của hình phẳng 1. Tính diện tích của hình phẳng
1) Cho hàm số y = f(x), liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Ta đã biết rằng diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành (h.24) bằng:
Nếu f(x) <= 0 trên đoạn [a; b] thì – f(x) >= 0 trên đoạn ấy và diện tích của hình thang cong A’B’B1AÁ là hình đối xứng của hình thang cong đã cho qua trục hoành (h.25).
144
Khi đó ta có ( theo công thức (1)):
Vậy từ (1) và (2) ta có diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), hai đường thẳng x = a, x = b và trục Ox là:
Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sin x trên đoạn [ ] và trục hoành (h.26)
Giải. Ta có
Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng xác định bởi đồ thị hàm số y = sin2x ( ) và trục Ox (h.27)
Giải. Ta có 145
2) Từ công thức tính diện tích hình thang cong, dễ thấy rằng diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng x = a, x= b và đồ thị của 2 hàm số y1 = f1(x) và y2 = f2(x) liên tục trên đoạn [a; b] được cho bởi công thức
Để tính diện tích S theo công thức trên, trước hết ta tìm các nghiệm của phương trình f1(x) – f2(x) = 0 thuộc đoạn [a; b].
Khi đó ta có Để tính tích phân
Nếu f1(x) – f2(x) > 0 thì ta có: 146
Vậy trong mọi trường hợp, ta đều có: Tương tự đối với
Do đó công thức (2) trở thành:
Ví dụ 1. Tìm diện tích hình phẳng nằm giữa các đường y = x3, y = 0, x = -1, x = 2
Giải. Đặt f1(x) = x3, f2(x) = 0, ta có f1(x) – f2(x) = x3 = 0 147
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng nằm giữa 2 đường f1(x) = x3 – 3x và f2(x) = x
Giải. Ta có f1(x) – f2(x) = x3 – 4x = x(x2 -4) = 0 3) Diện tích của hình tròn và hình elip
Ví dụ 1. Tính diện tích hình tròn bán kính R
Giải. Đường tròn có thể xem là hợp các đồ thị của 2 hàm số Vậy diện tích hình tròn bằng (h.28)
148 Do đó
Chú ý. Hiển nhiên, ta có thể tính diện tích của hình tròn theo công thức Ví dụ 2. Tính diện tích của hình elip
Giải. Phương trình elip la
Diện tích cần tìm là: S = 4S1 (S1 là diện ctích của một phần tư elip ứng với y >= 0 nên S1 được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ( 0 <= x <= a), đường thẳng x = 0 và trục Ox (h.29))
149 Do đó:
Áp dụng phương pháp của ví dụ 1, ta tìm được