Giả sử ta phải tính
Trong đó f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. 130
a) Đổi biến số dạng 1
Định lý. Nếu
1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục trên đoạn (1) 2) hàm số hợp f(u(t)) được xác định trên đoạn (1) 3)
Chứng minh. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].
Khi đó
Mặt khác, vì F(x) là một nguyên hàm của f(x), nên theo tính chất (4) của nguyên hàm, F[u(t)] là một nguyên hàm của f[u(t)]u’(t) và do đó:
Từ (2) và (3) suy ra đẳng thức (1)
Từ định lý trên suy ra quy tắc đổi biến số dạng 1 như sau:
1) Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục 2) Biến đổi f(x)dx = f[u(t)]u’(t)dt = g(t)dt
3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t) 4) Tính 131 5) Kết luận Một số ví dụ về đổi biến số dạng 1 Ví dụ 1. Tính Giải. dx = costdt, do đó: Ví dụ 2. Tính Giải 132 Vậy ta đặt x = tgt Ta có Ví dụ 3. Tính Giải Vậy ta đặt x = sint dx = costdt. Do đó: 133 Ví dụ 4. Tính Giải. Ta có x2 + x + 1 = (x +1/2)2 + 3/4 Vậy Đặt x + 1/2 = Khi x = 0 thì Khi x = 1 thì Ta có: (x + 1/2)2 + 3/4 = 3/4 (tg2t + 1) Do đó: 134
Ví dụ 5. Chứng minh rằng Giải. Đặt
Ta có dx = -dt, Do đó
b) Đổi biến số dạng 2
Để tính tích phân, nhiều khi người ta lấy một hàm số t =v(x) làm biến số mới. Khi đó ta biến đổi f(x) thành một biểu thức có dạng g(v(x))v’(x). Đặt t = v(x), thì dt = v’(x)dx. Do đó, ta có: f(x)dx = g(v(x))v’(x)dx = g(t)dt.
Nếu G(t) là một nguyên hàm của g(t) thì theo tính chất (4) của nguyên hàm, G(v(x)) là một nguyên hàm của g(v(x))v’(x). Vậy ta có :
135
Từ nhận xét trên, ta suy ra quy tắc đổi biến số dạng 2 sau: 1) Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục. 2) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt 3) Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t)
4) Tính 5) Kết luận
Một số ví dụ về đổi biến số dạng 2 Ví dụ 1. Tính
Giải. đặt t = 2x + 1. Khi x = 0 thì t = 1. Khi x = 1 thì t = 3.
Chú ý. Ta có thể trình bày một cách thuận tiện cac1h giải trên mà không cần đưa ra biến t như sau:
136
Ví dụ 2. Tính Giải.
Ta có dt = 3dx
Chú ý. Cách tính sau đây không cần phải đưa ra biến t 137
Ví dụ 3. Tính
Giải. Đặt t = lnx. Khi x = e thì t = 1, khi x = e2 thì t = 2 Chú ý. Cách tính sau đây không cần phải đưa ra biến t
Ví dụ 4. Tính
Để tính các tích phân này, ta có thể đặt t = 2x- 1.
Học sinh hãy tự làm tiếp xem như bài tập. Cách sau đây không cần phải đưa ra biến t:
138
Ví dụ 5. Tính
Để tính tích phân này, ta có thể đặt t = x2 + x + 1. Học sinh hãy tự làm tiếp, xem như bài tập. Cac1h sau đây không cần phải đưa ra biến t.
Ta có
Ví dụ 6. Tính
Giải. Ta có x2 – x – 6 = (x -3)(x+2) Ta tìm 2 số A và B sao cho
Đồng nhất hóa tử thức của 2 phân thức đầu và cuối, ta được: 5(x-1) = A(x +2) + B(x-3)
Từ đó suy ra 2 phương trình để tính A và B Giải hệ phương trình này ta được A =2, B = 3. Vậy
139 Từ đó
( Học sinh hãy tính các tích phân này bằng cách đổi biến số).