Giả sử M(x;y) thuộc đồ thị (C) dần tới vô cực khi cả 2 tọa độ x và y đều dần tới vô cực. Giả sử đường thẳng d có phương trình là y = ax + b.
a) Định lý . Điều kiện ắt có và đủ để đường thẳng d là 1 tiệm cận của đồ thị (C) là
Chứng minh
Giả sử M(x;f(x)) thuộc (C), P(x;ax +b) thuộc d. MI là khoảng cách từ M đến d 74
Trong tam giác vuông MIP ta có: Theo định nghĩa ta có
Ta gọi đường tiệm cận y = ax +b với a khác 0 là 1 tiệm cận xiên của đồ thị (C) Chú ý
75
Ví dụ. Đồ thị của hàm số y = 2x -1 + 2/(x-1) có tiệm cận xiên (2 bên) là đường thẳng y = 2x – 1 là vì
b) Cách tìm các hệ số a và b của đường tiệm cận xiên y = ax + b Ta có thể tìm hệ số a và b của đường tiệm cận xiên như sau: Mặt khác ta có
Vậy các công thức để xác định các hệ số a và b của tiệm cận xiên là Chú ý
76
Ví dụ 1. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Giải.
Vậy đường thẳng y = 2x-1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Chú ý. Nếu ta viết y dưới dạng
Thì ta có
Vậy đường thẳng y = 2x -1 là một tiệm cận xiên của đồ thị. Ví dụ 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Giải
1) trường hợp
Vậy y = x là tiệm cận xiên bên phải 77
2 ) trường hợp
Vậy y = -x là tiệm cận xiên bên trái
BÀI TẬP
1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị của mỗi hàm số sau: a) y = x / (2-x)
b) c) 78
2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau
3. Tìm các tiệm cận của đồ thị của mỗi hàm số sau: a)
b) c)
BÀI 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ1. Sơ đồ khảo sát hàm số 1. Sơ đồ khảo sát hàm số
1) Tìm tập xác định của hàm số (Xét tính chẵn, lẻ, tính tuần hoàn (nếu có)) 2) Khảo sát sự biến thiên của hàm số
a) Xét chiều biến thiên của hàm số Tính đạo hàm
Tìm các điểm tới hạn Xét dấu của đạo hàm
Suy ra chiều biến thiên của hàm số b) Tính các cực trị
c) tìm các giới hạn của hàm số - Khi x dần tới vô cực
- Khi x dần tới, bên trái và bên phải, các giá trị tại đó hàm số không xác định. - Tìm các tiệm cận (nếu có)
d) Xét tính lồi lõm, và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số (đối với các hàm số trong chương trình)
79
- Tính đạo hàm cấp 2
- Xét dấu của đạo hàm cấp 2
- Suy ra tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị
e) Lập bảng biến thiên ( ghi tất cả các kết quả tìm được vào bảng biến thiên) 3) Vẽ đồ thị
- Chính xác hóa đồ thị (xem chú ý dưới đây) - Vẽ đồ thị
Chú ý
1) Nếu hàm số là tuần hoàn với chu kì T, thì chỉ cần khảo sát hàm số trên 1 chu kì rồi cho tịnh tiế đồ thị theo trục Ox.
2) Để chính xác hóa đồ thị, nên tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ và nên lấy thêm 1 số điểm của đồ thị, nên vẽ tiếp tuyến ở 1 số điểm đặc biệt: cực trị, điểm uốn v.v...Nêu nhận xét các yếu tố đối xứng: tâm đối xứng, trục đối xứng ( nếu có). Việc chứng minh các tính chất đối xứng là không bắt buộc. 3) Đối với các hàm số trong chương trình, cần:
- Xét tính lồi lõm và tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d
y = ax4 + bx2 + c
( các hàm số này không có tiệm cận) - Tìm tiệm cận của các hàm số
Không yêu cầu xét tính lồi lõm của đồ thị các hàm số này 80 2. Một số hàm số đa thức 1) Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Ví dụ 1 . Khảo sát hàm số y = x3 + 3x2 -4 Giải. 1) tập xác định R 2) Sự biến thiên a) Chiều biến thiên y’ = 3x2 + 6x = 3x(x+2) y’ = 0
y’ > 0 y’ < 0 b) Cực trị
Hàm số đạt cực trị tại x = -2 , yCĐ = y(-2) = 0 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = y(0) = -4 c) Giới hạn
d) Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y” = 6x + 6 = 6(x+1)
81
e) Bảng biến thiên 3) Đồ thị
Vì x3 + 3x2 -4 = (x-1)(x+2)2 = 0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I(-1;-2) là : y’(-1) = -3
Chú ý. Nếu ta tịnh tiến hệ tọa độ theo vectơ OI, thì giữa các tọa độ cũ (x;y) và toạ độ mới (X,Y) của một điểm M của mặt phẳng, có các hệ thức (gọi là công thức đổi trục)
Thay vào hàm số đã cho, ta được Y = X3 -3X. Đây là một hàm số lẻ. Vậy đồ thị nhận điểm I làm tâm đối xứng.
82
Ví dụ 2. Khảo sát hàm số y = -x3 +3x2 -4x + 2 Giải.
1) Tập xác định R 2) Sự biến thiên a) Chiều biến thiên
y’ = -3x2 +6x -4 = -3(x-1)2 -1 < 0 với mọi x thuộc R b) Cực trị . Hàm số không có cực trị
c) Giới hạn
d) Tính lồi lõm và điểm uốn của đồ thị y” = -6x +6 = 6(-x +1) = 0
83
3) Đồ thị
Giao điểm với trục Ox : (1;0) Giao điểm với trục Oy : (0;2)
Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc là y’(1) = -1
Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số y= ax3 + bx2 + cx + d
1) tập xác định R
2) Đạo hàm y’ = 3ax2 +2bx + c ; y” = 6ax + 2b
Luôn luôn có một điểm uốn. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn. 84
y’ = 0 có hay nghiệm phân biệt y’ = 0 có nghiệm kép
y’ = 0 vô nghiệm