Ta đã biết cách tính diện tích hình chữ nhật, hình tam giác, do đó có thể tính được diện tích mọi đa giac1 phẳng.
Bây giờ ta xét baì toán tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong.
Nếu trong một tam giác vuông ta thay cạnh huyền của nó bởi một cung đường cong thì ta được một hình phẳng gọi là một tam giác cong. nếu trong một hình thang vuông ta thay cạnh bên, không vuông góc với cạnh đáy, bởi một cung đường cong, thì ta được một hình phẳng, gọi là một hình thang cong.
Rõ ràng ta luôn luôn có thể đưa việc giải bài toán trên về việc tính diện tích một số hình thang cong ( hay tam giác cong) như đã minh họa trong hình vẽ (h.20).
Bài toán. Hãy tính diện tích của hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), f(x) >= 0, trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b.
120
Nhận xét rằng ta có thể chia đoạn [a; b] thành những đoạn con sao cho hàm số y = f(x) đơn điệu trong mỗi đoạn con đó (h.21). Do đó ta chỉ cần giải baì toán trên với giả thiết rằng hàm số y = f(x) đơn điệu, chẳng hạn y = f(x) đồng biến trên đoạn [a; b] (h.22).
Kí hiệu S(x) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox, hai đường thẳng đi qua các điểm a và x ( a< x <= b) trên trục hoành và song song với Oy.
Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a; b].
Thật vậy, giả sử xo là một điểm tùy ý thuộc khoảng (a; b) ta sẽ chứng minh rằng S(x) có đạo hàm tại xo và S’(xo) = f(xo).
Xét 2 trường hợp:
1) xo < x <= b (h.22). Khi đó S(x) – S(xo) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), Ox và hai đường thẳng song song với Oy đi qua xo và x. Dễ thấy rằng:
121
2) a<= x < xo (h.23). Trong trường hợp này ta có: Từ (1) và (2) suy ra:
Vì f(x) liên tục tại xo, cho nên Do đó, từ (3) suy ra rằng
Điều đó có nghĩa là tồn tại đạo hàm S’(x) tại xo và S’(xo) = f(xo) Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a; b).
122
Nếu xo = a thì phép chứng minh trường hợp 1 cho ta S’(a+) = f(a), nếu xo = b thì trường hợp 2 suy ra S’(b-) = f(b). Vậy S(x) là một nguyên hàm trên cả đoạn [a; b].
Từ chứng minh trên ta thấy ngay diện tích hình thang cong aABb là: S = S(b) Nếu F(x) là nguyên hàm nào đó của f(x) trên đoạn [a; b] thì tồn tại một hằng số C sao cho S(x) = F(x) + C
Với chú ý rằng S(a) = 0, ta có: S(a) = F(a) + C = 0
Từ đó: C = -F(a)
Vậy S(x) = F(x) – F(a)
Do đó, diện tích S của hình thang cong aABb bằng : S = S(b) = F(b) – F(a)
Tóm tắt kết quả trên, ta có thể phát biểu định lý sau:
Định lý. Giả sử y = f(x) là một hàm số liên tục và f(x) >= 0 trên đoạn [a; b]. Thế thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x= a, x =b là :
trong đó F(x) là nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a; b].