Có thể săp xếp các hệ số của khai triển (1) thành tam giác sau đây (gọi là tam giác Pascan)
n = 0 n = 1 n = 2
n = 3 n = 4 n = 5 n = 6 173
Chú ý. Trong khung trên, ta có
BÀI TẬP1. Khai triển 1. Khai triển a) (x + 3)5 b) (x – 2)6 c) (2x + 1)5 d) (x – 2y)6 e) (x + 1/x)7
2. Tìm hệ số các lũy thừa của x trong khai triển các tích (x + a)(x + b)(x + c)(x + d)(x + e)
Suy ra từ đó khai triển của (x + a)5 3. Tính tổng sau đây
4. Chứng minh rằng
ÔN TẬP CHƯƠNG IV
1. Giản ước biểu thức a)
b) 174
2. Giải bất phương trình (ẩn là n thuộc N*)
3. Giải phương trình (ẩn là n thuộc N , k thuộc N) 4. Có bao nhiêu số chẵn có hai chữ số?
5. Một chi đoàn thanh niên co 50 đoàn viên. Hỏi có bao nhiêu cách phân công 3 đoàn viên phụ trách ba nhóm thiêú nhi (mỗi đoàn viên phụ trách một trong ba nhóm đó)?
6. Trong một cuộc đua ngựa, có 12 con ngựa cùng xuất phát. hỏi có bao nhiêu khả năng xếp loại:
a) ba con ngựa về nhất, nhì, ba? b) ba con ngựa về đích đầu đầu tiên? 7. Chứng minh hệ thức:
CHỈ DẪN LỊCH SỬ CHƯƠNG IV
Ngành toán học chuyên nghiên cứu lý thuyết tổ hợp xuất hiện vào thế kỷ XVIII. Trong một thời gian dài, ngành này nằm ngoaì hướng phát triển của toán học và những ứng dụng của nó. Chỉ sau khi xuất hiện máy tính điện tử và sự phát triển rực rỡ của toán học hữu hạn, ngành toán học này mới được nghiên cứu đầy đủ.
Ngày nay, các phương pháp tổ hợp được ứng dụng trong lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên, trong thống kê, xác suất, trong lý thuyết quy hoạch toán học, trong toan1 học tính toán, tronh hình học hữu hạn, hình học tổ hợp, lý thuyết biểu diễn nhóm, lý thuyết các đại số không kết hợp v.v...
175
PASCAN (PASCAL)
Pascan (1623 – 1662 ) là nhà toán học, vật lý học và triết học người Pháp. Pascan lúc nhỏ là cậu bé thần đồng. Cha cậu nhận thấy điều này. Không muốn sớm làm mệt óc con, ông cấm cậu bé Pascan học toán. Song điều này càng kích thích tính tò mò của cậu. Năm 12 tuổi, một hôm cậu hỏi cha: “Hình học là gì?”. Cha cậu giải thích sơ qua cho cậu hiểu. Pascan rất lấy làm thích thú. Cậu liền bước theo con đường đúng là thiên hướng của mình. Không cần sách vở, một mình cậu chứng minh được rằng tổng các góc trong một tam giac bằng hai góc vuông. Ở tuối 16, Pascan viết công trình đầu tiên của mình về các thiết diện cônic.
Pascan viết hàng loạt công trình về các chuỗi số và các hệ số nhị thức. Pascan đã đưa ra bảng các hệ số của sự khai triển của (a + b)n dưới dạng một tam giác, ngaỳ nay gọi là “tam giác Pascan”. Pascan đã tìm ra các hệ số nhị thức bằng phương pháp quy nạp toán học, đó là một trong những phát minh quan trọng của ông. Điều mới mẻ ở đây là Pascan phát hiện ra rằng cá hệ số nhị thức chính là số các tổ hợp chập k của n phần tử, và Pascan đã dùng chúng để giải những bài toán của lý thuyết xác suất.
Một cống hiến lớn nữa của Pascan là việc khởi thảo phép tính các đại lượng vô cùng bé.
Về mặt kĩ thuật, ngay từ năm 1642. lúc mới 19 tuổi, Pascan đã sáng chế ra một máy tính, cách đây khoảng hơn 10 năm, các nhà tin học đã đặt tên cho một ngôn ngữ máy tính rất phổ biến là ngôn ngữ Pascan.
Về vật lý, Pascan đã nghiên cưú áp suất của khí quyển và các vấn đề thủy tĩnh học.
Tên của Pascan đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng.
176
MỤC LỤC
CHƯƠNG I - ĐẠO HÀM 3
1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm 3
2. Các quy tắc tính đạo hàm 13
3. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản 22
4. Đạo hàm cấp cao 37
5. Vi phân 40
Ôn tập chương 1 42
Chỉ dẫn lịch sử chương I – Niutơn 44 CHƯƠNG II - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 47 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số 47
2. Cực đại và cực tiểu 53
3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 61 4. Tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số 66
5. Tiệm cận 71
6. Khảo sát hàm số 78
7. Một số bài toán liên quan đến khào sát hàm số 98
Ôn tập chương II 104
Chỉ dẫn lịch sử chương II – Fecma 109
CHƯƠNG III - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 111
1. Nguyên hàm 111
2. Tích phân 119
4. Ứng dụng hình học và vật lý của tích phân 143
Ôn tập chương III 156
Chỉ dẫn lịch sử chương III – Laipnit – Riman 157
CHƯƠNG IV - ĐẠI SỐ TỔ HỢP 160
1. Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp 160 2. Công thức nhị thức Niutơn 170
Ôn tập chương IV 173
Chỉ dẫn lịch sử chương IV – Pascan 174 Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục- Bộ Giáo dục và Đào tạo. Ban Biên tập:
NGÔ THÚC LANH (chủ biên) NGÔ XUÂN SƠN - VŨ TUẤN
Biên tập nội dung: PHẠM BẢO KHUÊ Biên tập tái bản: TRẦN LƯU THỊNH Trình bày bìa: BÙI VIỆT DŨNG
Biên tập mĩ thuật: ĐOÀN HỒNG, NGUYỄN BÍCH LA Biên tập kĩ thuật: NGUYỄN TIẾN DŨNG
Sửa bản in: TRẦN MAI ĐAN
Sắp chữ: PHÒNG CHẾ BẢN (NXB GIÁO DỤC) Chịu trách nhiệm xuất bản:
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI.
Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập NGUYỄN QUÝ THAO.
GIẢI TÍCH 12. Mã số: 3H204T6. Số XB: 1517/461-05. Số in: 30/HĐĐT. In xong và nộp lưu chiểu tháng 1 năm 2006.