b) Gọi (C) là đồ thị của hàm số đã cho. Tìm các điểm trên (C) có các tọa độ là các số nguyên.
c) Chứng minh rằng đường thẳng y = -x + m (d) luôn luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M và N.
d) Giả sử đường thẳng d cắt 2 tiệm cận của (C) tại P và Q. chứng minh rằng 2 đoạn MN và PQ có cùng trung điểm.
13. Cho hàm số
a) Khảo sát hàm số khi m = 1.
b) xác định m sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của (Cm) đi qua gốc tọa độ.
c) Biện luận theo tham số h, số nghiệm của phương trình: 14. Cho hàm số
a) Xác định m để hàm số có 2 cực trị b) Khảo sát hàm số đã cho khi m = -1
c) Gọi (C) là đồ thị của hàm số trên. Giả sử tiếp tuyến tại M thuộc (C) cắt 2 tiệm cận tại P và Q. Chứng minh rằng MP = MQ
109
CHỈ DẪN LỊCH SỬ TOÁN HỌC
Trong lịch sử toán học, thế kỷ XVII là một bước ngoặt. Đầu thế kỷ này Đêcac (Descartes 1596 – 1650) đưa ra phương pháp tọa độ để nghiên cứu các đường cong trong mặt phẳng. Sự phát triển của khoa học tự nhiên đòi hỏi phải nghiên cứu sự biến thiên của các hàm số, đặc biệt là các hàm số biểu thị sự phụ thuộc vào thời gian của tọa độ các vật thể chuyển động và các đại lượng vật lý khác. Đạo hàm được ứng dụng để tìm cực trị của các hàm số và tiếp tuyến của các đường cong.
Những công trình đầu tiên của các nhà toán học Pháp: Đêcac, Pascan (Pascal 1623-1662) và Fecma (Fermat 1601 -1665), về thực chất, đã chứa đựng các quy tắc tìm đạo hàm của bất kì đa thức nào.
Việc nghiên cứu một cách có hệ thống về đạo hàm được phát triển ở nửa sau của thế kỷ XVII bởi nhà toán học và triết học Đức Laipnit (Leipniz 1646 – 1716) và nhà toán học Anh Niutơn ( Newton 1643 – 1727)
FECMA (FERMAT)
Nhà toán học Pháp Fecma sinh ngaỳ 17-8-1601.
Fecma là một luật gia ham thích toán học. Ông sống cuộc đời thanh thản của một ủy viên Pháp viện tối cao ở thành phố Tuluzơ phía nam nước Pháp. Trong những lúc rỗi rãi, ông đọc sách Toan1 và ghi chú vào các tác phẩm của nhà toán học cổ Hi Lạp Điôphăng (Diophante, thế kỉ thứ III). Con người hiền hậu trung thực, cân bằng và công minh ấy đã viết ra những trang tuyệt đẹp trong lịch sử toán học thuộc các lĩnh vực: lý thuyết số, phép tính vi tích phân và lý thuyết xác suất.
Về lý thuyết số, gắn với tên của Fecma có nhiều phát minh lớn trong đó phải kể đến 2 định lý nổi tiếng: định lý nhỏ Fecma, và định lý lớn Fecma. Câu chuyện về định lý lớn Fecma như sau:
Trong lúc đọc tác phẩm của Điôphăng, khi bình luận về baì toán thứ 8 trong sách “Số học” của Điôphăng về việc tìm nghiệm hữu tỷ của phương trình x2 + y2 = z2, Fecma viết: “Trái lại, không thể phân tích một lập phương trình một tổng của 2 lập phương, một lũy thừa bậc 4 thành một tổng của 2 lũy thừa bậc 4, và một cách tổng quát, một lũy thừa bậc bất kì thành một tổng của hai lũy thừa cùng bậc. Tôi đã phát minh ra một phép chứng minh tuyệt diệu, nhưng lề của cuốn sách này nhỏ quá, nên không thể ghi ra được”.
110
Đó là nội dung của định lý lớn Fecma. Định lý này khẳng định rằng: Nếu n là một số tự nhiên lớn hơn 2, thì phương trình xn + yn = zn không có lời giải là những số tự nhiên khác 0.
Suốt hơn 300 năm từ ngày Fecma phát biểu định luật này, nhiều nhà toán học lỗi lạc trên thế giới đã tìm cách chứng minh nó, nhưng họ chỉ thành công với những giá trị nhỏ của n và không đưa ra được phep1 chứng minh trọn vẹn. Năm 1976, nhờ máy tính, người ta kiểm chứng định lý với tất cả số tự nhiên x, y, z <= 25000 và với mọi số nguyên tố n < 125000, nhưng phép chứng minh trọn vẹn thì vẫn chưa tìm được.
Ngày 23-6-1993, nhà toán học trẻ 40 tuổi người Anh Andriu Oailơ (Andrew Wiles) đã công bố phép chứng minh trọn vẹn dài hơn 200 trang của định lý lớn Fecma, trước những chuyên gia lớn nhất trong lĩnh vực này. Sau một thời gian nghiên cứu phép chứng minh, các chuyên gia phát hiện ra một chỗ chưa chặt chẽ. Sau đó tác giả khắc phục được thiếu sót này. Và như vậy, định lý Fecma đã được chứng minh hoàn toàn.
Fecma và Đêcac đồng thời sáng lập ra môn hình học giải tích.
Công trình “Phương pháp tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất” của Fecma ( viết năm 1635, đến 1675 mới xuất bản) giữ một vị trí quan trọng trong vị trí vi tích phân.
Ngoài các lĩnh vực toán học nói trên, Fecma còn nghiên cứu lý thuyết xác suất và một số vấn đề vật lý. Ông để lại “nguyên lý Fecma” là nguyên lý cơ bản của Quang hình học.
Fecma mất ngaỳ 12 – 1- 1665 ở tuổi 64. 111
CHƯƠNG III. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
- Nguyên hàm - Tích phân
- Phương pháp tính tích phân - Ứng dụng
BÀI 1. NGUYÊN HÀM (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ở chương I bài 1 ta đã thấy rằng nếu hoành độ s của một chất điểm chuyển động thẳng được xác định theo thời gian t bởi phương trình s = f(t), trong đó f(t) là một hàm số có đạo hàm, thì vận tốc tại thời điểm t là đạo hàm của hàm số f(t): v(t) = f’(t).
Trong thực tế, nhiều khi ta phải giải bài toán ngược lại: biết vận tốc v(t), tìm phương trình s = f(t) của chuyển động. Vấn đề ở đây là tìm hàm số s = f(t) khi biết đạo hàm f’(t) của nó.
Một cách tổng quát, bài toán đặt ra như sau:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b), tìm các hàm số F(x) sao cho trên khoảng đó: F’(x) = f(x).
112