3. Ứng dụng vào vật lý
BÀI 1 HOÁN VỊ CHỈNH HỢP TỔ HỢP 1 Quy tắc cộng và quy tắc nhân
1. Quy tắc cộng và quy tắc nhân
Quy tắc cộng và quy tắc nhân có vai trò quan trọng và có nhiều ứng dụng đa dạng trong Đại số tổ hợp. Dưới đây ta sẽ giới thiệu hai quy tắc đó. Ta sẽ thừa nhận chúng, không chứng minh.
a) Quy tắc cộng
Ví dụ: Có 8 quyển sách khác nhau và 6 quyển vở khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quyển đó?
Giải: Có 8 cách chọn 1 quyển sách và 6 cách chọn 1 quyển vở, khi chọn sách thì không chọn vở và ngược lại, cho nên hiển nhiên có 8 + 6 = 14 cách chọn một trong các quyển đã cho.
Ví dụ trên minh họa quy tắc cộng trong trường hợp có hai đối tượng như sau:
Nếu có m cách chọn đối tượng x, n cách chọn đối tượng y, và nếu cách
chọn đối tượng x không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng y nào, thì có m +
n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 161
Dưới dạng tổng quát, quy tắc cộng được phát biểu như sau:
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , m2 cách chọn đối tượng x2 ,…… mn cách
chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với bất kỳ cách chọn đối tượng x j nào (i khác j; i,j = 1, 2, …. , n) thì có m 1 + m 2 +
… + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Ví dụ: Từ các chữ số 1, 2, 3, có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau?
Giải: Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 3 số khác nhau có một chữ số là 1, 2, 3. Vậy trong trường hợp này có 3 cách lập.
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 6 số khác nhau có hai chữ số khác nhau là 12, 13, 21, 23, 31, 32. Vậy trong trường hợp này có 6 cách lập.
Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được 6 số khác nhau có ba chữ số khác nhau là 123, 132, 213, 231, 312, 321. Vậy trong trường hợp này có 6 cách lập.
Các cách lập trên đôi một trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng có cả thảy 3 + 6 + 6 = 15 cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ ba chữ số 1, 2, 3.
b) Quy tắc nhân
Để giới thiệu quy tắc nhân, ta xét ví dụ đơn giản sau:
Ví dụ: Từ tỉnh A tới tỉnh B có thể đi bằng ôtô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Từ tỉnh B tới tỉnh C có thể đi bằng ôtô hoặc tàu hỏa. Muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải qua tỉnh B. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C?
Giải: Có 4 cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B, ứng với mỗi cách đi đó, có 2 cách
đi từ tỉnh B đến tỉnh C (hình 37). Vì vậy có cả thảy 4 . 2 = 8 cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C qua tỉnh B.
162
Ví dụ này minh họa quy tắc nhân trong trường hợp có hai đối tượng như sau:
Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó, ứng với mỗi cách chọn x như
thế, có n cách chọn đối tượng y, m . n cách chọn cặp đối tượng (x ; y).
Dưới dạng tổng quát, quy tắc nhân được phát biểu như sau:
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1 , sau đó với mỗi cách chọn x1 có m2 cách
chọn đối tượng x2 , sau đó với mỗi cách chọn x1 và x2 như thế có m3 cách chọn đối tượng x3, v.v…, cuối cùng với mỗi cách chọn x1, x2, x3,… xn – 1như thế, có
mn cách chọn đối tượng xn thì có m1m2…m n cách chọn dãy x1, x2, x3,… xn. Ta còn có thể phát biểu quy tắc nhân dưới dạng ngắn gọn hơn như sau:
Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách,
bước 2 có m2 cách, … , bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1m2…mn cách khác nhau.
Ví dụ: Có 18 đội bóng đá tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba loại huy chương vàng, bạc, đồng cho ba đội nhất, nhì, ba, biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất là một huy chương và đội nào cũng có thể đạt huy chương?
Giải: Mỗi đội đều có thể đạt huy chương. Vậy có 18 cách trao huy chương vàng. Sauk hi trao huy chương vàng thì mỗi đội trong 17 đội còn lại còn có thể nhận huy chương bạc. Vậy có 17 cách trao huy chương bạc. Sau khi trao huy chương vàng và bạc thì mỗi đội trong 16 đội còn lại cỏ thể nhận được huy chương đồng. Vậy có 16 cách trao huy chương đồng.
Như vậy, theo quy tắc nhân, có cả thảy 18.17.16 = 4896 cách trao ba loại huy chương vàng, bạc và đồng cho 18 đội.
2. Hoán vị
1) Định nghĩa. Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n lớn hơn hoặc bằng 1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
163 Ví dụ
1) Cho A = {a ; b}. Có 2 hóan vị của hai phân tử đã cho là ab và ba.
2) Cho A = {a ; b ; c}. Các hoán vị của ba phần tử đã cho là abc, acb, bac, bca, cab, cba.
2) Số hoán vị của n phần tử
Định lý. Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn , thì ta có:
Pn = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1
Chứng minh. Để lập một hoán vị của n phần tử a1, a2, …, an ta làm như sau: Chọn một phần tử đứng ở vị trí 1: có n cách chọn.
Sau đó chọn một phần tử đứng ở vị trí 2: có (n – 1) cách chọn. ………
Cuối cùng sau khi đã chọn n – 1 phần tử, thì chỉ còn một phần tử đứng ở vị trí thứ n. Vậy có 1 cách chọn.
Theo quy tắc nhân ta có:
Pn = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1
Kí hiệu n! = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 (n! đọc là n giai thừa), ta có Pn = n! hay có n! hoán vị của n phần tử.
Vậy số hoán vị của n phần tử được cho bởi công thức Pn = n! = n.(n – 1).(n – 2)…3.2.1 (1)
Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}. Số hoán vị của các phần tử của A là: P4 = 4! = 1.2.3.4 = 24. 164 Các hoán vị đó là: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431 3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321 3. Chỉnh hợp
1) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 <= k <= n)phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A.
Ví dụ 1: Cho A = {a, b, c}. Các chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử của A là: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b).
Có 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử
Ví dụ 2: Lập tất cả các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào
Giải: Các chữ số lẻ là 1, 3, 5, 7, 9. Một số có 2 chữ số khác nhau mà chữ số nào cũng lẻ rõ ràng là 1 chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số lẻ. Ta có thể tìm được tất cả các số đó theo sơ đồ sau:
2) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử
Định lý: Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn thì ta có: Akn = n(n – 1) …(n – k + 1) (2)
165
Chứng minh. Để lập 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử , ta thực hiện các
phép chọn.
Bước 1: Chọn 1 phần tử ở vị trí 1. Có n khả năng.
Bước 2: Trừ phần tử đã chọn, còn n – 1 phần tử có thể chọn để đặt ở vị trí 2. Có (n – k + 1) khả năng.
……
Vậy theo quy tắc nhân ta có: n(n – 1)…(n – k + 1) chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Ví dụ 1: Tính số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c. Giải: Theo công thức (2) ta có:
A32 = 3. (3-2+1) = 3.2 = 6.
Ví dụ 2: Tính số chỉnh hợp chập 3 của 5 số 1, 2, 3, 4, 5. Giải: Theo công thức (2) ta có:
A35 = 5.(5-1) (5-3+1)= 5.4.3 = 60.
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chọn và sắp thứ tự 5 cầu thủ để đá bóng luân lưu
11m, biết rằng cả 11 cầu thủ ( kể cả thủ môn) đều có khả năng như nhau?
Giải. Mỗi cách chọn và sắp thứ tự là 1 chỉnh hợp chập 5 của 11. Do đó số
khả năng chọn là:
A511 = 11.10.9.8.7 = 55440. 166 166
Chú ý
1) Ta có thể viêt biểu thức của Ank cách khác :
Ank = n(n – 1)(n – 2)…(n – k – 1) = n(n – 1)…(n – k + 1)(n – k)…2.1 / (n – k)…2.1
=> Ank = n! / (n – k)! (3) 2) Để tiện cho việc kí hiệu, người ta quy ước:
0! = 1
Với quy ước đó, trong trường hợp đặc biệt k = n, công thức (3) cho là: Ann = n! / 0! = n! = Pn
Chú ý. Mỗi chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là một hoán vị của n phần tử đó.
4. Tổ hợp
Ví dụ. Có 6 thẩy giáo tham gia hỏi thi. Mỗi phòng thi cần 2 giám khảo. Hỏi có bao nhiêu cách ghép 6 thầy thành đôi để hỏi thi?
Giải. Để tiện ta gọi các thầy giáo là A, B, C, D, E, G. Ta có thể ghép các đôi giám khảo như sau: AB, AC, AD, AE, AG
BC, BD, BE, BG CD, CE, CG DE, DG EG Vậy có cả thảy 15 cách ghép đôi 6 thầy giáo để hỏi thi.
1) Định nghĩa. Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 =< k
=< n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. 167
2)Số các tổ hợp chập k của n phần tử
Định lý. Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Ck
n thì ta có
Ckn = n! / k!(n – k)! (4)
Ví dụ 1. Có 20 đội bóng đá tham gia thi đấu tính điểm. Thể lệ cuộc thi là bất kì 2 đội nào cũng chỉ gặp nhau 1 lần. Hỏi phải tổ chức bao nhiêu trận đấu? Giải. Số trận đấu là: C220 = 20.19 / 2.1 = 190.
Ví dụ 2. Có bao nhiêu đường chéo trong một hình thập giác lồi?
Giải. Một thập giác có 10 đỉnh . Qua mỗi cặp đỉnh có một và chỉ một đường thẳng. Mỗi đoạn thẳng nối cặp đỉnh đó có thể là đường chéo hoặc là cạnh của hình thập giác lồi. Do đó số đường chéo là:
s = C210 – 10 = (10.9 / 2.1) – 10 = 45 – 10 = 35. 3) Các hệ thức giữa các số Cnk 3) Các hệ thức giữa các số Cnk
1) Cnk = Cnk – 1
Chứng minh 1) Ta có 2)
168
BÀI TẬP
1. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập lập được bao nhiêu chữ số có 4 chữ số? 2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số?
3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều là chẵn?
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau?
5. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5?
6. Một đội văn nghệ đã chuẩn bị đựơc 2 vở kịch, 3 điệu múa, và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ nói trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn , biết rằng chất lượng các vở kịch, các điệu múa và các bài hát là như nhau?
7. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối từ thành phố B đến thành phố C. Hỏi có tất cả bao nhiêu con đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
8. Tính các số sau:
a) P4 b)P6 c) P7 / A73 9. Giản ước các biểu thức:
a) B = b) (A64 + A54) / A44 169 10. Tính các số sau: a) C63 b) C54 c) C55 d) C2523 – C1513 – 3C107 11. Giải phương trình a) b) Ax2 = 2 c) 3Px = A3x 12. Giải phương trình 1 / C4x – 1 / C5x = 1 / C6x
13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và và khác 0 biết rằng tổng 3 chữ số này bằng 8?
14. Chứng minh rằng: a) Cnk =
b) Cnk = Cn – 1k – 1 + Cn – 2k – 1 + … + Ck – 1k – 1 (k < n)
15. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?
16. Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác đều lồi?
17. Có bao nhiêu cách phân phối 5 đồ vật khác nhau cho 3 người, sao cho: a) Một người nhận được 1 đồ vật, còn hai người kia mỗi người nhận được 2 đồ vật?
b) Mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật? 170