3. Ứng dụng vào vật lý
CHỈ DẪN LỊCH SỬ CHƯƠNG
Ra đời trên những cơ sở trực giác, phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng trước thế kỉ 18. Đến thể kỉ 19, Côsi (Cauchy) và Riman (Riemann) mới xây dựng được một lý thuyết chính xác về tích phân. Lý thuyết này về sua được Lơbegơ (Lebesgue) (1875 – 1941) và Đăngjoi (Denjoy) (1884 – 1974) hoàn thiện.
Để định nghĩa tích phân, các nhà toán học thế kỷ XVII và XVIII không dùng đến khái niệm giới hạn. Tahy vào đó, họ nói “ tổng của một số vô cùng lớn những số hạng vô cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thang cong là tổng của một số vô cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vô cùng nhỏ. Dựa trên cơ sở này, Kêple (Kepler) (1572 – 1630) đã tính một cách đúng đắn nhiều diện tích (thí dụ diện tích hình elip) và thể tích. Các nghiên cứu này được Cavalieri (1598 – 1647) tiếp tục phát triển.
Dưới dạng trừu tượng, tích phân đã được Laipnit định nghĩa và đưa vào ký hiệu. Tên gọi tích phânlà do Bernuli (Bernoulli), một học trò của Laipnit đề xuất.
Như vậy tích phân đã xuất hiện độc lập với đạo hàm và nguyên hàm. Do đó việc thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là một phát minh vĩ đại của Niutơn và Laipnit.
Khái niệm hiện đại về tích phân, xem như giới hạn của các tổng tích phân là của Côsi và Riman.
LAIPNIT (LEIPNIZ)
Laipnit là nhà toán học , vật lý học, triết học người Đức, một trong hai nhà toán học vĩ đại đã san1g tạo ra phép tính vi tích phân, ông sinh ngaỳ 1 -7 – 1646, mất ngày 14 – 11 – 1716.
Năm 1661, 15 tuổi, Laipnit vào học khoa pháp lý tại trường Đại học Tổng hợp Laipxich. Ngoài khoa pháp lý, ông còn nghiên cứu triết học và toán học. Ông bảo vệ luận văn tiến sĩ luật học lúc 20 tuổi. Ông nghiên cứu hóa học, địa chất
học, ông chế tạo động cơ chạy bằng sức gió để bơm nước từ giếng lên. Hoạt động khoa học của Laipnit trong lĩnh vực toán học rất có hiệu quả.
158
Năm 1666, Laipnit công bố công trình toán học đầu tiên của mình: “Những suy nghĩ về nghệ thuật tổ hợp”.
Laipnit sáng chế ra maý tính, không những thực hiện được phép cộng và phép trừ như máy tính của Pascan (Pascal), mà còn thực hiện được phép nhân, phép chia, phép nâng lên lũy thừa và phép khai phương và khai căn bậc ba. Laipnit đã không ngừng hoàn thiện sáng chế của mình trong suốt 40 năm. Như vậy, Laipnit có thể dược xem là người đã khởi xướng ra máy tính điện tử hiện đại. Cống hiến quan trọng nhất của Laipnit là đã sáng tạo ra phép tính vi phân đồng thời và độc lập với Niutơn. Ông đã giải quyết tỉ mỉ hơn Niutơn một số vấn đề của toán học cao cấp. Những kí hiệu và thuật ngữ trong ph1p tính vi phân mà ông đã dùng như dy/dx,... còn được sử dụng đến ngày nay. Các từ “vi phân” và “tích phân” cũng là do ông và học trò của ông đề xuất.
Tên của Laipnit được đặt cho một dãy núi ở phần trông thấy và cho một miệng núi lửa ở phần không trông thấy của Mặt Trăng.
RIMAN (Riemann)
Riman sinh ngay 17 – 9 – 1826 trong một làng ngỏ ở Đức. Riman lớn lên trong một gia đình nghèo, nhưng đầm ấm. Riman vốn tính nhút nhát. Lớn lên ông khắc phục được nhược điểm này bằng cách chuẩn bị rất cẩn thận khi phải nói trước đám đông. Tính nhát nhát này hoàn toàn tương phản với tư duy khoa học rất dũng cảm của ông.
Cậu bé Riman học vỡ lòng dưới sự hương dẫn của cha cậu. Ngay trong những buổi học đầu, cậu bé đã biểu lộ một khát vọng học tập mãnh liệt. cậu rất thích học lịch sử, đặc biệt là lịch sử nước Ba Lan. Mới 5 tuổi, cậu đã luôn yêu cầu cha kể về những cuộc đấu tranh anh hùng của dân tộc Ba Lan.
Lên 6 tuổi, cậu học Số học. Thiên tài toán học tự nhiện của cậu đã sớm bộc lộ. Không những cậu giải được tất cả các bài toán cha cậu ra, cậu còn tự đặt ra những bài toán khó để đố các anh, em cậu.
Năm lên 10, cậu học số học và hình học với một thầy giáo, nhưng ông này thường không suy nghĩ nhanh bằng cậu, và cậu thường tìm ra được những lời giải hay hơn.
159
Năm 14 tuổi, Riman vào học ở trường trung học. Ông hiệu trưởng nhà trường nhận ngay khả năng về toán của cậu. Ông cho phép cậu mượn sách trong thư viện riêng của ông để đọc. Riman thưa với ông cho cậu mượn những cuốn sách
không quá dễ. cậu chọn trước hết “Lý thuyết số” của Lơgiăngdrơ (Legendre). Đó là một quyển sách dày 859 trang, nội dung rất khó. 6 ngaỳ sau, cậu mang sách đến trả. Ông hiệu trưỏng hỏi: “em đã học được đến đâu rời?”. Riman đưa ra một nhận xét để thay cho câu trả lời: “Đây là một quyển sách rất hay, em đã hiểu hết”. Điều này hoàn tòan đúng vì đến kì thi, cậu đã trả lời một cách xuất sắc những câu hỏi về nội dung cuốn sách, mặc dù suốt mấy tháng cậu không đọc lại.
Năm 1845, vừa 19 tuổi, để vâng lời cha, Riman ghi tên vào học khoa ngôn ngữ và thần học của trường đại học Gơtinghen, song vẫn tiếp tục nghe giảng các giáo trình về toán như về lý thuyết phương trình và lý thuyết tích phân. Riman gửi thư cho cha xin phép được đổi môn học. Người cha độ lượng đồng ý, điều này làm cho Riman hết sức vui mừng.
Sau một năm học tập ở Gơtinghen, Riman chuyển sang học ở Berlin để được làm quen với toán học mới mẻ và sinh động của Jacôbi (Jacobi) , Đirichlê (Dirichlet), Stain(Stein) và Aizenstain (Eiseinstein).
Năm 1851, 25 tuổi, Riman bảo vệ luận án tiến sĩ trước một hội đồng khoa học do Gauxơ (Gauss) làm chủ khảo. Gauxơ đáng giá rất cao luận án này.
Năm 1859, 33 tuổi, Riman được cử thay Đirichlê, người kế tục thứ nhất của Gauxơ làm giáo sư toán học tại trường đại học Gơtinghen. Năm 1860 Riman được mời tham gia Viện hàn lâm khoa học Pháp.
Riman mất ngày 20-7-1866 lúc ông mới 40 tuổi.
Tên của Riman được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng. 160