Ta thừa nhận dâú hiệu lồi lõm sau đây
Định lý 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên khoảng (a;b)
1) Nếu f”(x) < 0 với mọi x thuộc (a;b) thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó. 2) Nếu f”(x) > 0 với mọi x thuộc a;b) thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.
Áp dụng định lý trên, ta có thể chứng minh được dấu hiệu điểm uốn sau đây: 68
Định lý 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên 1 lân cận nào đó của điểm xo và có đạo hàm tới cấp 2 trong lân cận đó. Nếu đạo hàm cấp 2 đổi dấu khi x đi qua xo thì điểm Mo(xo;f(xo)) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.
Chứng minh. Giả sử f”(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua xo. Thế thì:
Với x < xo và x đủ gần xo ta có f”(x) < 0, do đó theo dấu hiệu lồi, lõm , đồ thị của hàm số đã cho lồi bên trái điểm Mo(xo;f(xo)).
Với x > xo và x đủ gần xo ta có f”(x) > 0, do đó đồ thị của hàm số đã cho lõm bên phải điểm M0(xo;f(xo)).
Vậy điểm Mo(xo;f(xo) là điểm uốn.
Chứng minh tương tự cho trường hợp f”(x) đổi dâú từ dương qua âm
Ví dụ 1. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y = 2x3 -6x2 +2x
Gaỉi .tập xác định R Ta có y’= 6x2 -12x +2 y” = 12x -12 Bảng xét dấu của y”
Chú ý.Tại điểm uốn C tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thị.
Ví dụ 2. tìm các khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số 69
Giải. Tập xác định R Bảng xét dấu của y”
Ví dụ 3: Tìm các khoảng lồi lõm của đồ thị hàm số Giải. tập xác định R \ {0}
Bảng xét dấu của y”
Đồ thị không có điểm uốn vì hàm số không xác định tại điểm x = 0 70 BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số: a) y = 3 + 2x – x2 b) y = lnx c) y = 2x4 + x2 -1
2. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y = 3x2 –x3 lõm trên khoảng 3. Tìm các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị của mỗi hàm số sau: a) y = x3 + 6x – 4
b) y = x4/4 + x2/2 -2 c) y = 3x5 -5x4 +3x -2
4. Tìm a và b để đồ thị của hàm số y = x3 –ax2 +x +b nhận điểm (1;1) làm điểm uốn.
5. Tìm a để đồ thị của hàm số y = x4 –ax2 +3 a) có 2 điểm uốn
b) không có điểm uốn
6. Chứng minh rằng đường cong 71
BÀI 5. TIỆM CẬN1. Định nghĩa 1. Định nghĩa
a) Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M (x;y) là 1 điểm thay đổi trên (C).
Ta nói (C) có 1 nhánh vô cực nếu ít nhất 1 trong 2 tọa độ x;y của điểm M(x;y) dần tới vô cực
b) Giả sử đồ thị (C) có nhánh vô cực. Cho đường thẳng d. Kí hiệu MH là khoảng cách từ điểm M(x;y) thuộc (C) đến đường thẳng d.
D được gọi là đường tiêm cận hay tiêm cận của (C) nếu MH dần đến 0 khi M dần tới vô cực trên (C).(h.9)
Nói cách khác