IV.Nếu số tự nhiên m là số kề sau của sỗ tự nhiên n và m cũng là số kề sau của số tự nhiên k thì n = k. V.Nếu A là tập con của N, các số tự nhiên sao cho:
1.0 ∈ A.
2.m ∈ A suy ra m' ∈ A thì tập A trùng với N."[13, tr.4]. * Nhận xét:
- Giáo trình này trình bày số tự nhiên theo phương pháp tiên đề của Peano như đã được trình bày trong chương 1. Khi đó, số tự nhiên được nghiên cứu gắn liền với đặc trưng của nó là tự số (tính sắp thứ tự tốt của dãy số tự nhiên). Hơn thế nữa, mỗi số tự nhiên được định nghĩa trên cơ sở cộng thêm 1 với phân tử trước nó dưới ngôn ngữ số kề sau (trừ số 0). Chính vì thế, nó sẽ lấy nghĩa của cách tiếp cận thứ tự: Số tự nhiên chỉ vị trí của số hạng trong một cấp số.
- Trong lịch sử, Peano không chọn số 0 là khái niệm cơ bản mà là số 1. Có nhiều nhà toán học không châp nhận số 0 là số tự nhiên. Nhưng ở giáo trình này số 0 được xem như là số tự nhiên thật sự và là một khái niệm cơ bản. Tiên đề V là cơ sở hình thành phương pháp chứng minh quy nạp trong toán học được đưa vào SGK Toán 11.
Trong tài liệu này, tác giả cũng trình bày quan hệ thứ tự trên N.
"IV. Quan hệ thứ tự trên N
Trên N, ta xác định quan hệ ≤như sau: ∀a,b ∈ N :a≤b ⇔∃c :a + c = b. Dễ thấy ≤ là quan hệ thứ tự trên N (phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu). Quan hệ ≤ trên N có một số tính chất:
- Bắc cầu; a ≤ b;b ≤ c => a ≤ c - ∀a,b ∈ N : a ≤ b ⇔ a + x ≤ b + x.
- ∀a,b ∈ N : a ≤ b ⇔ a.x ≤ b.x” [13, tr.5] * Nhận xét: * Nhận xét:
- Quan hệ thứ tự trên N được định nghĩa thông qua phép cộng hai số tự nhiên.
- Từ lý thuyết này, việc so sánh hai số tự nhiên được đưa về tìm một số tự nhiên khác sao cho đem số nhỏ cộng với nó thì bằng với số lớn.
* USố tự nhiên trong giáo trình của Trần Diên Hiển
Trong giáo trình này, khái niệm số tự nhiên được đề cập trong chương 1 với nhan đề: "Số tự nhiên", không theo quan điểm tiên đề Peano mà theo phương pháp dùng bản số của tập hợp. Để định nghĩa số tự nhiên, khái niệm bản số được đề cập như sau:
"Khi hai tập hợp tương đương với nhau ta nói chúng có cùng một bàn số, hay cùng một lực lượng.
Bản số của tập hợp A được kí hiệu là cardA (đọc là Cardinal A), hay |A|. Như vậy, card A = card B khi và chỉ
khi A ∼ B" [6, tr.6]. Kế đến, tác giả trình bày định nghĩa số tự nhiên:
"Bàn số của một tập hữu hạn gọi là một số tự nhiên. Như vậy, a là một số tự nhiên nếu có một tập hữu hạn A sao cho card A = a. Tập hợp số tự nhiên kí hiệu là N"[6, tr.6].
Sau đó, tác giả tiếp tục đưa ra 2 số tự nhiên là 0 và 1 thông qua ví dụ: " - Ta biết φ là một tập hữu hạn. Vậy card φ là một số tự nhiên. Kí hiệu 0 = card φ.
- Tập hợp đơn tử {a} là một tập hữu hạn, vậy card {a} là một số tự nhiên. Kí hiệu 1 = card {a}."
* Nhận xét:
- Tình huống xuất hiện số tự nhiên trong giáo trình này là hai tập hợp tương đương với nhau. Từ đó, số tự nhiên được định nghĩa thông qua bản số của tập hữu hạn. Điều đáng lưu ý ở đây là tác giả không đưa ra định nghĩa bản số tường minh. Nó chỉ được đề cập thông qua định nghĩa hai tập hợp tương đương. Nó chỉ là đối tượng để biểu thị cho sự tương đương giữa các tập hợp.
Tuy nhiên, trong giáo trình Lý thuyết tập hợp của tác giả Nguyễn Thanh Sơn đưa ra định nghĩa khái niệm bản số một cách tường minh như sau:
"Lượng số là lớp tất cả tập hợp có ánh xạ 1-1 trên với nhau" (Lượng số là bản số) [19, tr.89].
- Khi đó, khái niệm bản số được đề cập một cách tường minh. Với định nghĩa lượng số của tác giả Nguyên Thanh Sơn, khái niệm số tự nhiên theo lớp và tương ứng 1-1 được làm rõ hơn, tường minh hơn. Hơn thế nữa, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương".
- Ngoài ra, đặc trưng của số tự nhiên trong giáo trình là bản số (đặc trưng định lượng của các vật - theo từ điển bách khoa phổ thông Toán học, 2001) chứ không phải tự số. Tác giả cũng nhắc lại kí hiệu của tập các số tự nhiên (N). Nó phù hợp với kí hiệu chung cho các tài liệu có liên quan khác. Tác giả đưa ra hai số đâu tiên của dãy số tự nhiên là 0 và 1 dưới ngôn ngữ của bản số. Qua đó, ta có thể hiểu số 0 là bản số của tập hợp rỗng. Số 0 sẽ lấy nghĩa là "chỉ tập hợp có không phân tử".
Bên cạnh đó, tác giả cũng trình bày quan hệ thứ tự trên N như sau: "1. Định nghĩa 3
Giả sử a,b ∈ N , a = cardA, b = cardB. Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, và viết là a≤b, nếu A tương đương với một bộ phận của B. Khi a≤b và a≠b ta có a < b. Có thể phát biểu lại như sau: Với a,b∈ N, a≤b nếu tồn tại các tập hợp A, B sao cho A ⊂ B vào = cardA, B= card B". [6, tr.8]
* Nhận xét:
Do số tự nhiên được định nghĩa dưới ngôn ngữ của tập hợp, nên quan hệ thứ tự trên N cũng được trình bày dưới công cụ lý thuyết này. Từ lý thuyết này, để so sánh hai số tự nhiên, cần tìm ra hai tập họp sao cho bản số của chúng chính là hai số đó. Tiếp đó, dựa vào phép toán phụ thuộc của hai tập hợp để kết luận.
* Nhận xét chung cho hai giáo trình:
Trong giáo trình thứ hai, người ta tiến hành định nghĩa khái niệm số tự nhiên dựa vào khái niệm tập hợp cùng lực lượng. Chính vì cách định nghĩa này, nên các tác giả phải định nghĩa các khái niệm: số kề sau, phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia,...theo quan điểm của lý thuyết tập hợp. Tức là, các khái niệm trên được định nghĩa dựa trên các phép toán của tập hợp.
Tuy nhiên, giáo trình thứ nhất lại có một quan niệm khác về định nghĩa số tự nhiên là dựa trên khái niệm tập hợp sắp thứ tự tốt. Quan niệm này thể hiện việc xây dựng khái niệm số tự nhiên gắn liền với khái niệm phần tử của một dãy (sắp thứ tự tốt), mỗi số trong dãy được xác định dựa vào quan hệ của nó với số đứng liền trước nó và số đứng liền sau nó. Các tác giả theo giáo trình này xuất phát từ quan hệ "liền kề" nên cũng định nghĩa các phép cộng và phép nhân cũng dựa trên quan hệ ấy.
2.1.2. Số tự nhiên trong học phần Phương pháp giảng dạy Toán
Khái niệm số tự nhiên xuất hiện trong chương: Dạy học các nội dung cụ thể của chương trình môn toán tiểu học. Các nội dung có liên quan đến số tự nhiên được đề cập theo thứ tự sau: mục tiêu yêu cầu của dạy học số tự nhiên, hình thành khái niệm ban đầu về số tự nhiên, dạy hệ đếm thập phân, cách đọc viết số tự nhiên, so sánh các số tự nhiên, dạy học thực hiện các phép tính trên số tự nhiên,...
* USố tự nhiên trong giáo trình của Phạm Đình Thực
Theo tác giả Phạm Đình Thực: "Số là khái niệm trừu tượng đầu tiên mà trẻ em được gặp đầu tiên khi trẻ học Toán. Cơ sở để giúp trẻ nhận thức khái niệm số là cách đếm. Ngay từ khi trước khi học lớp 1, đa số trẻ đã biết
đọc các số 1,2,3,4,.... Song như vậy, chưa có nghĩa là trẻ đã có những hiểu biết chính xác về số". [22, tr.7]
* Nhận xét:
- Tác giả có nhắc đến kiến thức phép đếm của HS trước khi bắt đầu học số tự nhiên. Hầu hết các em đều có thể biết đọc và đếm từ 1, 2, 3,... Chẳng hạn, một ai đó yêu cầu các em đếm từ 1 tới 10, các em đếm một cách nhanh chóng bởi lẻ các em được dạy và học thuộc lòng. Việc đếm như thế của các em chỉ bắt chước hay làm theo sự hướng dân của người khác. Tuy nhiên, nêu chúng ta hỏi một số nào đó có nghĩa gì, các em khó mà đưa ra câu trả lời chính xác. Các em thật sự không hiểu được 1 là gì hay 2 là gì. Nói khác đi, hành động các em biết đếm các số 1, 2, 3,...không thể khẳng định được rằng các em đã hiểu đúng về số tự nhiên. Đến đây, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi sau:
1.GV quan niệm như thế nào về phép đếm trước khi HS học số tự nhiên?
2.Nếu HS biết đếm trước khi vào lớp 1 sẽ có những thuận lợi và khó khăn cho các em khi học khái niệm số tự nhiên?
- Phép đếm trước khi học số tự nhiên tồn tại ở các em chỉ trên danh nghĩa "kiến thức văn hóa đời thường" mà không nhằm giải quyết một tình huống gì. Tuy nhiên, tác giả chỉ nhắc đến kiến thức phép đếm trước khi học số tự nhiên mà không đề cập gì về kiến thức phép đếm sau khi học số tự nhiên.
Đoạn trích sau (trang 3, tập 2) thể hiện ý đồ của tác giả về tiến trình hình thành khái niệm ban đầu về số tự nhiên:
"1.3.2.1 Có thể tiến hành các bước như sau:
Bước 1: Hình thành biểu tượng về các tập hợp tương đương ứng với số đang học, thông qua những tập hợp đồ vật cụ thể và hình tượng trưng (chấm tròn hoặc dấu X).
Chẳng hạn, khi dạy số 6, GVgắn lên bảng 6 bông hoa, 6 hình vuông,... và nói (hoặc hỏi để HS trả lời): "Có 6
bông hoa, có 6 hình vuông,Tiếp đó thay bằng 6 chấm tròn để làm HS bỏ qua các tính chất khác của đồ vật (không chú
ý đó là cái gì), mà chỉ chú ý đến tính chất chung đang xét là "có 6 vật".
...
Cần chú ý đến việc hình thành khái niệm về số 0. Cần là cho trẻ hiểu rằng 0 cũng là một số, để ghi số lượng
phần tử của một tập hợp đặc biệt "không chứa một phần tử nào ". Sự hình thành biểu tượng về loại tập hợp này được tiến hành qua sự bớt dần cho đến hết:
Có 3 con cá trong bể, vớt đi một con còn lại 2 con, vớt đi 1 con nữa, còn lại 1 con, - Lại vớt đi một con nữa, còn lại 0 con cá." [22, tr.8].
* Nhận xét đối với giáo trình của tác giả Phạm Đình Thực:
- Từ đoạn trích trên, ta cũng thấy được ý đồ của tác giả là ngầm hình thành khái niệm số tự nhiên thông qua khái niệm bản số (hay khái niệm số tự nhiên được đồng nhất với bản số).
Qua tiến trình trên, số tự nhiên lấy nghĩa "biểu thị lớp các tập hợp tương đương". - Hơn thế nữa, chúng tôi trích lại đoạn như sau: "Có 6 bông hoa, có 6 hình vuông,...". Tiếp đó thay bằng 6 chấm tròn để làm HS bỏ qua các tính chất khác của đồ vật (không chú ý đó là cái gì), mà chỉ chú ý đến tính chất
chung đang xét là "có 6 vật". 6 chấm tròn xuất hiện nhằm loại bỏ các yếu tố hình thức khác của
các đồ vật mà chỉ giữ lại đặc điểm chung là có cùng số phần tử. Các chấm tròn có tính khái quát cao và thể hiện "tư tưởng" của khái niệm bản số.
- Ngay từ đầu là hình thành các tập hợp tương đương, sau đó dần dần đi đến đặc điểm chung là có cùng số phần tử. Do đó, số tự nhiên sẽ lấy nghĩa "chỉ số phần tử của tập hợp". Tuy nhiên, nghĩa đó không được đưa ra một cách tường minh. Qua đây, thấy được tình huống xuất hiện của số tự nhiên là hình thành các tập hợp tương đương lực lượng, số tự nhiên đưa ra trong mối quan hệ đặc trưng bản số của nó.
- Tác giả rất quan tâm đến cách hình thành số 0. Theo đoạn trích trên, số 0 được hình thành từ bản số của tập hợp rỗng. Điều này cũng thể hiện được sự tương đồng với giáo trình số học của Trần Diên Hiển. Bên cạnh đó, có một số bài toán có liên quan đến số tự nhiên do tác giả Phạm Đình Thực đề nghị như sau: xác định số phần tử của một tập hợp, điền số vào dãy số, so sánh hai số tự nhiên,...
* USố tự nhiên theo giáo trình của Đỗ Trung Hiệu - Đỗ Đình Hoan
Trước đi vào hình thành khái niệm số tự nhiên, tác giả trình bày nội dung phép đếm. Theo tác giả, phép đếm là sự thiết lập tương ứng 1-1. Khi đó, có thể tạo ra những tình huống khác nhau:
"- Đem cùng số lượng mẫu vật giống nhau hoàn toàn về chủng loại, về màu sắc, về độ lớn, về nguyên liệu, ...chẳng hạn 3 que tính; 3 bông hồng; 3 hình tròn; 3 hòn bi,...
- Đem cùng số lượng mẫu vật giống nhau về chủng loại nhung có một vài dấu hiệu khác nhau. Chẳng hạn: 4
bông hoa các loại, 4 bạn trai và gái, 4 gà mái và gà trống, 4 hình vuông khác nhau về kích thước, 4 hình tròn khác
nhau về màu sắc,...