... 17) Chứng minh ( 20 ) Chứng minh x2 + ≥ ∀x ∈ ¡ ≤ ) x +2 x+8 ≥ ∀x >1 21 ) Chứng minh x −1 22 ) Cho n số a1 , a2 , , an không âm thoả a1 + a2 + + an = Chứng minh n −1 a1.a2 + a1.a3 + + an−1.an ... Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤ (ĐH 20 05) 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x2 + x x x 12 15 20 x x x 42) Chứng minh với x ∈ ¡ ÷ + ÷ + ÷ ≥ + + (ĐH 20 05) 5 4 43) Cho x, y, ... 35) Cho số dương a, b, c thỏa a.b.c=1 Tìm GTNN biểu thức: bc ca ab + + (ĐHNN – 20 00) 2 a b + a c b c + b a c a + c 2b 36) Chứng minh bấtđẳngthức sau với giả thiết a, b, c > : P= a b5 c + + ≥...
... rằng: (a + b ) ( b2 + c ) ( c + a ) ≥ 8a 2b 2c ∀a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: ∀ x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y )2 ≥ ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a + b ≥ 2ab 22222 b + c ≥ 2bc ⇒ a + b b ... = a2 + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Giải Sai lầm thường gặp: S ≥ 33 a + 12 b2 + 12 c + 12 = 36 a + 12 ÷. b2 + 12 ÷. c + 12 ÷ b c a b ≥ 36 a2 12 ÷ b2 12 ÷. c 12 ÷ ... C« Si a b2 + ÷≥ c 2 b b2 c + ÷≥ a 2 c 2 1 a + c ≥ b2 a ÷ a b2 = a ≥ a b2 c c c b2 c = b ≥ b c2 a2 a a a2 c2 = c ≥ c b2 a b b a + b2 + c ≥ b +...
... + +2 x y2 Với GT ta cần tiêu hoá hết lợng x2y2 Dự đoán điểm rơi : x = y = 10 x2 y2 = Khi Giải : Ta có B = ( x y + Có x y + 1 = 2 16 25 6 x y 25 5 )+ 2 256 x y 25 6 x y 1 x2 y2 = 22 25 6 x y 25 6 ... chơng trình dạy bấtđẳngthức là: "Hớng dẫn học sinh số phơng phápsửdungbấtđẳngthức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phơng pháp để áp dụngbấtđẳngthức Cô-Si dạng ... b2 c d + + + a+b+c+d b c d a Nhận xét: Nhận thấy dấu xảy a = b = c = d Khi : a = b b Giải : Ta có Tơng tự ta có : : a2 a2 +b b = 2a b b b2 +c c 2b c2 +d d d2 +a a Nh : Hay 2c 2d a2 b2...
... rằng: (a + b2 ) ( b2 + c ) ( c + a ) ≥ 8a 2b 2c ∀a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: ∀ x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y )2 ≥ ⇔ x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a + b ≥ 2ab 22222 b + c ≥ 2bc ⇒ a + b ... S = a2 + 1 + b2 + + c2 + 2 b c a Giải Sai lầm thường gặp: S ≥ 33 a + 12 b2 + 12 c + 12 = 36 a + 12 b2 + 12 c2 + 12 b c a b ≥ 36 a2 12 b2 12 ... có: a b2 + ≥ c 2 b b2 c + ≥ a 2 c 2 1 a + c ≥ b2 a a b2 = a ≥ a b2 c c c b2 c2 = b ≥ b c2 a2 a a a2 c2 = c ≥ c b2 a b b a + b2 + c2 ≥ b +...
... biểu thức A = (3-x)(4-y)(2x+3y) biết x y Ta có: A = ( 6-2x)( 12- 3y)(2x+3y) 2. 3 Và 6-2x 0; 12- 3y ; 2x+3y x y Mà 6-2x+ 12- 3y+2x-3y=18 không đổi Suy A lớn khi: 6-2x= 12- 3y=2x-3y x=0 y =2 Vạy ... trị nhỏ chúng II Một số ví dụ 1 .Sử dụngbấtđẳngthứccôsi chứng minh bấtđẳng khác Ví dụ 1: Chứng minh (a+b)(a+c)(b+c) 8abc (a,b,c > 0) áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho hai số a,b> Ta có: a + ... abck l m (áp dụngbấtđẳngthứccôsi cho số abm,klc,abc) Từ ta có điều phải chứng minh -2- Sửdụngbấtđẳngthứccôsi tìm giá trị lớn nhất,nhỏ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ Y = 4x2-3x3 với x 4 3x...
... rằng: a b2 b2 c c a 8a 2b 2c a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y )2 ≥ x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a b 2ab 22222 b c 2bc a b ... a2 1 b2 c 2 b c a Giải Sai lầm thường gặp: S 33 a 12 b2 12 c2 12 36 a 12 b2 12 c2 12 b c a b b c a 36 a 12 ... toán sửdụng BĐT Cô Si toán nói mà phải qua phép biển đổi đến tình thích hợp sửdụng BĐT Cô Si Trong toán dấu “ ≥ ” đánh giá từ TBC sang TBN = 2.2 .2 gợi ý đến việc sửdụngbấtđẳngthức Côsi...
... chương trình dạy bấtđẳngthức là: "Hướng dẫn học sinh số phươngphápsửdungbấtđẳngthức Cô-Si dạng nghịch đảo" II- Mục đích nghiên cứu: Chỉ số phươngpháp để áp dụngbấtđẳngthức Cô-Si dạng ... minh bấtđẳngthức tìm cực trị Hướng dẫn học sinh sửdụng vào giải toán chứng minh bấtđẳngthức tìm cực trị (đối với học sinh giỏi lớp 8-9 ) III- Phươngpháp nghiên cứu +Chứng minh bấtđẳngthức ... ) 2 Nhận xét : Ta có B = x y + x y + Với GT ta cần tiêu hoá hết lượng x2y2 Dự đoán điểm rơi : x = y = 11 x2 y2 = Khi 1 = 2 16 25 6 x y 25 5 2 Giải : Ta có B = ( x y + 25 6 x y ) + 25 6 x y 2 Có...
... (eiz + e-iz) = ( + )z n = - z2 + z4 + = 2! 4! n! n! n n (1) n n (2n)! z n =0 + Tơng tự khai triển iz -iz 1 (e - e ), ch z = (ez + e-z), sh z = (ez - e-z) sin z = 2i 2 + m ( m 1) m(m 1) ( m ... 1) ( m n + 1) n (1 + z)m = + mz + z + = z n! 2! n =0 Với m = 1 = - z + z2 - = + (1) n n z 1+ z n =0 Thay z z2 + = - z2 + z4 - = ( 1) n z n + z2 n =0 Suy d 1+ = z ln(1 + z) = z n =0 (1) ... đợc tính theo công thức sau n + cn = lim n + c n +1 n (4 .2. 2) | cn | Chứng minh Lập luận tơng tự chuỗi luỹ thừa thực Kí hiệu + S(z) = c n =0 n (z a ) n với z B(a, R) (4 .2. 3) Kết hợp tính...
... thành: (1 2a )2 (1 2b )2 (1 2c )2 (1 a ) a (1 b )2 b (1 c )2 c Lời giải: Ta giả sử 4a a 4b2 4b 4c 4c 2a 2a 2b2 2b 2c 2c 1 27 27 ... ( c ) 2a 2a 2b 2b 2c 2c Trong f ( x ) với x (0;1) 2x2 2x 1 54 x 27 Tiếp tuyến đồ thị hàm số y=f(x) điểm có hoành độ x y 25 2 54 x 27 2( 54 x 27 x 1) 2( 3x 1) ... Ta có: 25 25 (2 x x 1) 25 (2 x x 1) 54( a b c) 81 27 f ( a ) f ( b ) f (c ) đpcm 25 Chú ý: Với toán ta sửdụngPhươngpháp hệ số bất định để chứng minh (ví dụ 1.6. 12/ trang68...
... x 2x 2 2016 Ta có xy 20 16 1 x 1 22 016 2 xy 20 16 y 2y 2 2016 1 xy 20 16 y 1 22 016 x2 y xy 20 16 22 016 xy 20 16 22 016 xy xy Mà x y xy Để đẳngthức ... tục sửdụngbấtđẳngthức a n 1 na đẳngthức a 1 2a n 1 n 1 với n ta đƣợc lần lƣợt bất 1 b2 1 2b 27 27 Đẳngthức xảy a b Suy ta có bấtđẳngthức a 1 2a ... minh hai bấtđẳngthức kinh điển bấtđẳngthức AM – GM, bấtđẳngthức Bunhia–Cauchy – Schwart (B – C – S), với bấtđẳngthức Minkowski, bấtđẳngthức giá trị tuyệt đối số bổ đề bấtđẳngthức hay...
... x 2x 2 2016 Ta có xy 20 16 1 x 1 22 016 2 xy 20 16 y 2y 2 2016 1 xy 20 16 y 1 22 016 x2 y xy 20 16 22 016 xy 20 16 22 016 xy xy Mà x y xy Để đẳngthức ... tục sửdụngbấtđẳngthức a n 1 na đẳngthức a 1 2a n 1 n 1 với n ta đƣợc lần lƣợt bất 1 b2 1 2b 27 27 Đẳngthức xảy a b Suy ta có bấtđẳngthức a 1 2a ... minh hai bấtđẳngthức kinh điển bấtđẳngthức AM – GM, bấtđẳngthức Bunhia–Cauchy – Schwart (B – C – S), với bấtđẳngthức Minkowski, bấtđẳngthức giá trị tuyệt đối số bổ đề bấtđẳngthức hay...
... b2 a b2 Ta ý đến đẳngthức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) sửdụngbấtđẳngthức Cauchy-Schwarz ta phân tích sau ( a b c) a2 b2 c2 222 a b c 2 a ( a b ) ( a c ) 2a ... ý đẳngthức xảy điểm (a,b,c)=(t,t,0) (t R) hoán vị Ta ý đến đẳngthức 3a2+(b+c )2= (2a2+2bc)+(a2+b2+c2) Từ sửdụngbấtđẳng Cauchy-Schwarz ta a2 a2 a2 1 ( ) 222 3a (b c) (2a 2bc) ... ) 2a 2bc a b c Sửdụng ước lượng ta a2 a2 a2 a2 ( ( 2 ) ( 1) 3a2 (b c )2 2a 2bc a b c 2a bc a2 b2 c2 1 Cuối ta cần chứng minh 2a bc 2b ca 2c ab Bất đẳng...
... 2: Chứng minh rằng: a b2 b2 c bc ca ab a b c a b c c2 a2 b c a a b c Dấu “ = ” xảy a = b = c abc Giải 16 Áp dụng BĐT Côsi ta có: a2 b2 b2 c2 b2 c2 c2 a2 c2 a2 a2 b2 a b2 b2 c b2 c c2 a2 a2 ... b2 b2 c c a 8a 2b 2c a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y )2 ≥ a b2 2ab b2 c 2bc c a 2ca x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a b2 b2 c c a Ví dụ: 8a 2b 2c a, b, c (Sai) 24 = 2. 3.4 ... c (Sai) 24 = 2. 3.4 ≥ ( -2) (-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Sửdụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ a b2 bc c2 a2 = 2| xy| ta có: ab b2 c x2 y 2 ca a b2 b2 c c a 8| a 2b2c2 | 8a 2b2c2 a, b, c (Đúng) Bình...
... y4 + z4 Lời giải: Từ giả thiết 42= (xy+yz+zx )2 ≤ (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2 )2 ≥ 42 ⇒ ( 12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ≥ 16 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NĂM 20 09 x4 + y4 + z ≥ MinA = Giáo viên: ... DUNGPHƯƠNGPHÁP NGHIÊN CỨU SỬDỤNGBẤTĐẲNGTHỨC BUNHIACOPSKI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ Sửdụng kết quả: a Nếu a1 x1 + a x + + a n x n = C , C số C2 Min( x + x + + x ) = 2 a1 ... Một số tập áp dụng Cho số x, y thỏa mãn 2x + 5y = Tìm giá trị nhỏ của: a/ A=x2+y2 b/ B=2x2+5y2 Cho x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a/ A=x2+y2+z2 b/ B=x4+y4+z4...
... 2: Chứng minh rằng: a b2 b2 c bc ca ab a b c a b c c2 a2 b c a a b c Dấu “ = ” xảy a = b = c abc Giải 16 Áp dụng BĐT Côsi ta có: a2 b2 b2 c2 b2 c2 c2 a2 c2 a2 a2 b2 a b2 b2 c b2 c c2 a2 a2 ... b2 b2 c c a 8a 2b 2c a, b, c Giải Sai lầm thường gặp: Sử dụng: x, y x2 - 2xy + y2 = ( x- y )2 ≥ a b2 2ab b2 c 2bc c a 2ca x2 + y2 ≥ 2xy Do đó: a b2 b2 c c a Ví dụ: 8a 2b 2c a, b, c (Sai) 24 = 2. 3.4 ... c (Sai) 24 = 2. 3.4 ≥ ( -2) (-5).3 = 30 ( Sai ) Lời giải đúng: Sửdụng BĐT Cô Si: x2 + y2 ≥ a b2 bc c2 a2 = 2| xy| ta có: ab b2 c x2 y 2 ca a b2 b2 c c a 8| a 2b2c2 | 8a 2b2c2 a, b, c (Đúng) Bình...