ứng dụng hình học xạ ảnh

... O A B D C M I J N J I M C D B A O (b) (a) ỨNG DỤNG HÌNH HỌC XẠ ẢNH VÀO GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP Tóm tắt: Bài viết trình bày một số ví dụ về việc ứng dụng hình học xạ ảnh để giải và sáng tạo ra ... afine(ơclit). * Hình ba đỉnh và định lí Desagues. * Hình bốn đỉnh và tính chất của hình bốn đỉnh. * Tỉ số kép .* Liên hệ xạ ảnh, liên hệ phối cảnh, phép đối hợp 3. Ứng dụng hình học xạ ảnh vào giải ... kép, phép phối cảnh, phép đối hợp,… vào việc giải và sáng tạo các bài toán hình học sơ cấp. 1. Mở đầu: 2. Một số kiến thức cơ bản của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng. * Mô hình xạ ảnh của mặt phẳng...

... điểm xuyên tâm đối của siêu cầu S trong E n+1 là một không gian xạ ảnh n chiều. Mô hình này gọi là mô hình cầu của không gian xạ ảnh (A,A ’ ) = đường thẳng d qua tâm o có phương V 1 giao siêu ... Chứng minh: p là song ánh. CM: p là ánh xạ và đơn ánh. ' 1 ' 1 1 * : ( ) ( , ) n p V S V p V A A +  = a được xác định: Bài giải: GVHD: ĐẶNG VĂN THUẬN16/09/2008 NHÓM 1 HÌNH HỌC XẠ ... A +  = a được xác định: Bài giải: GVHD: ĐẶNG VĂN THUẬN16/09/2008 NHÓM 1 HÌNH HỌC XẠ ẢNH HÌNH HỌC XẠ ẢNH GVHD: ĐẶNG VĂN THUẬN16/09/2008 NHÓM 1 ' ' 1 1 1 1 1 ' ' ' 1...

... ∪ S ’ trở thành một không gian xạ ảnh (n + 1) – chiều. HÌNH HỌC XẠ ẢNH LỚP SƯ PHẠM TOÁN K32 NHÓM II +  Nếu d ∉ (α) thì d cắt S ”  tại một điểm M. Gọi M ’  là hình chiếu vuông góc của M lên (α)  => M ’  ∈ B. Đặt p(V 1 ) = M ’ . M M’ A A’ ... Lập ánh xạ p:     →  B *  xác định như sau: Gọi d là đường thẳng qua O và có phương V 1 ∈  +  Nếu d ∈ (α)  thì d cắt S tại 2 điểm xuyên  tâm đối A và A’ => (A, A ’  ) ∈ S ’ . Đặt p(V 1 ) =  (A, A ’  ). V 2n + V 2n + M M’ A A’ *  Lấy M ’  ∈ B, gọi d là đường thẳng qua M ’  và  vuông góc với (α). Khi đó tồn tại duy nhất M :  d ∩ S ’’  = M => ∃!   ∈ V n+2   :    =    =>  ∃! V 1  = L 〈{  } 〉. Hiển nhiên p(V 1 ) = M ’ . M M’ A A’ x  x  x  OM +  Lấy (A, A ’  ) ∈ S ’    =>∃!   ∈ V n+2   :   =   =>∃! V 1 ’  = L 〈{  } 〉. Dễ thấy p(V ’ 1 ) = (A, A ’ ) Vậy ( B*,p,      ) lập thành không gian xạ ảnh n+1­ chiều. V 2n + M M M’ A A’ y  y  'AA y  Ta chứng minh p là song ánh: *  Lấy V 1  ∈       => ∃! đường thẳng d qua O và có  phương V 1 . +  Nếu d ∈ (α) => ∃! (A, A ’  ) ∈ S ’  : d ∩ S = (A, A ’  ) =  p(V 1 ). +  Nếu d ∉ (α) => ∃! M : d ∩ S ’’  = {M} => ∃! M ’  là hình chiếu vuông góc của M lên (α).  Hiển nhiên M’ ∈ B Do đó p(V 1 ) = M ’ . M M’ A A’ V 2n + BÀI TẬP 2, TRANG 42 Đề ... Lập ánh xạ p:     →  B *  xác định như sau: Gọi d là đường thẳng qua O và có phương V 1 ∈  +  Nếu d ∈ (α)  thì d cắt S tại 2 điểm xuyên  tâm đối A và A’ => (A, A ’  ) ∈ S ’ . Đặt p(V 1 ) =  (A, A ’  ). V 2n + V 2n + M M’ A A’ *  Lấy M ’  ∈ B, gọi d là đường thẳng qua M ’  và  vuông góc với (α). Khi đó tồn tại duy nhất M :  d ∩ S ’’  = M => ∃!   ∈ V n+2   :    =    =>  ∃! V 1  = L 〈{  } 〉. Hiển nhiên p(V 1 ) = M ’ . M M’ A A’ x  x  x  OM +  Lấy (A, A ’  ) ∈ S ’    =>∃!   ∈ V n+2   :   =   =>∃! V 1 ’  = L 〈{  } 〉. Dễ thấy p(V ’ 1 ) = (A, A ’ ) Vậy ( B*,p,      ) lập thành không gian xạ ảnh n+1­ chiều. V 2n + M M M’ A A’ y  y  'AA y  Ta chứng minh p là song ánh: *  Lấy V 1  ∈       => ∃! đường thẳng d qua O và có  phương V 1 . +  Nếu d ∈ (α) => ∃! (A, A ’  ) ∈ S ’  : d ∩ S = (A, A ’  ) =  p(V 1 ). +  Nếu d ∉ (α) => ∃! M : d ∩ S ’’  = {M} => ∃! M ’  là hình chiếu vuông góc của M lên (α).  Hiển nhiên M’ ∈ B Do đó p(V 1 ) = M ’ . M M’ A A’ V 2n + BÀI TẬP 2, TRANG 42 Đề...

... 1r1q +++ ++++++ +++++ + + ++ ++ + + ++ ++ +++ +++ +++ ++ ++ ++++ =⇒ ′′ ′ ⊂⇒⊂+⇒ =⊂+⇒ ⊂ ⊂    ⇒ ⊂ ⊂    ⇒    ⊂ ⊂ ′ ⊃⇒    ⊃ ⊃ ⇒    ⊃ ⊃ ⇒= ==             Cách 2 –Bài 4 Sử dụng trực tiếp 2 công thức sau: Nếu hai cái phẳng xạ ảnh P và Q cắt nhau ta có: Nếu hai cái phẳng xạ ảnh PvàQ chéo nhau ta có: Q)dim(P-dimQ dimP Q)dim(P...

... với 2 đỉnh bất kì của tam giác A 1 A 2 A 3 . Khi đó { } ' 321 E,A,A,A là một mục tiêu xạ ảnh. Đường thẳng d không đi qua các đỉnh A 1 ,A 2 ,A 3 có phương trình là: u 1 x’ 1 +u 2 x’ 2 + 3 x’ 3 =0 ... u 1 x 1 +u 2 x 2 + 3 x 3 =0 Bài 10: Trong P2 cho tam giác A1A2A3 và đường thẳng d không đi qua A1,A2,A3. Chứng minh rằng có thể chọn điểm đơn vị E để đường thẳng d là đường thẳng đơn vị đối với mục tiêu...

... nhóm10 nhóm10 0 4 1 4 1 4 1 4 1 =       −       ∑∑∑∑ ==== i iii i i i iii i i xcmnxnmc β 0 4 1 4 1 4 1 4 1 =       −       ∑∑∑∑ ==== i iii i i i iii i i xambxbma 0 4 1 4 1 4 1 4 1 =       −       ∑∑∑∑ ==== i iii i i i iii i i xcmnxnmc Áp dụng bài 12 ta có * gọi ( ) là mp qua M chứa d2 Pt của mp( ): * gọi ( ) là mp qua M chứa d2 ...

... 10 Nhóm 10 * Cách dựng: D M N A A’ d B’ B d’ c O C S a b . Nhóm 10 Nhóm 10 * * Chứng minh: Chứng minh:  Xét 2 tam giác AA’C và BB’D có : Xét 2 tam giác AA’C và BB’D có : AA’ x BB’=O,AC...

... gọi là phép chiếu xuyên (n-m)-phẳng. • Chứng minh ánh xạ: f: P m P’ m M f(M) = M’ là ánh xạ xạ ảnh ( M’ P’ m P n-m ) Lập tương ứng: : V m+1 V’ m+1 được xác định như sau: V m+1 ... P n-m-1 một (n-m)-phẳng.Chứng minh rằng giao của(n-m)-phẳng đó và P’ m là một điểm duy nhất. b/. CMR: ánh xạ f : P m → P’ m sao cho f(M)=M’ là một ánh xạ xạ ảnh, gọi là phép chiếu xuyên ... + r r r r r r 1 1 1 2 2 , ' , m n m x y V x y V + −   r r r r  HÌNH H C Ọ HÌNH H C Ọ X NHẠ Ả X NHẠ Ả HÌNH H C Ọ HÌNH H C Ọ X NHẠ Ả X NHẠ Ả Nhóm 1 Suy ra: q ≥ n Mặt khác : q ≤ ...

... GIẢI GIẢI * Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh: * Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh: Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. Gọi f là phép biến đổi xạ ảnh cần tìm. φ φ là đẳng cấu tuyến ... ≠=∀=⇒ + = ==          knik i k n k ni i x i k i kx BÀI 18 BÀI 18 Tìm phương trình của phép biến đổi xạ Tìm phương trình của phép biến đổi xạ ảnh của ảnh của P P n n biến các đỉnh A biến các đỉnh A i i , i=1,…,n+1 ... phẳng x biến các điểm của siêu phẳng x n+1 n+1 = 0 = 0 thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi thành chính nó. Chứng minh rằng: mỗi phép như thế biến các đường thẳng đi phép như thế biến các...

... 1,1), D(-1,1,1) và A’(2,1,5), B’(2,-1,3), C’(-1,2,3), D’(1,2,1). a.CMR: Có duy nhất một ánh xạ xạ ảnh f : P 2 -> P 2 sao cho f(A)= A’, f(B)= B’, f(C)= C’, f(D)= D’. b.Viết phương trình ... EA i      −−= ′ +−= ′ +−−= ′ ⇔ 313 212 321 2 xxxk xxxk xxxxk [ ] [ ] xAxk * = ′ Chứng minh: Hệ điểm {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh Xét định thức toạ độ tạo bởi toạ độ 3 điểm A, B, C • Ta có định thức: ... }      −= = −−−= ⇒      = = −= 1,1,1 2,4,2 2,2,4 1 2 2 1 1 1 c b a    δ β α Sơ đồ của phép biến đổi xạ ảnh f đối với mục tiêu { } 3,1 , EA i { } 3,1 , EA i [ ] X ′ X f(X) { } 3,1 )(),( EfAf i A {...

... ⇒ Phương trình của đường thẳng đối cực với I là: Chứng minh tương tự ta có: *IJ là đường đối cực của K đối với S. *IK là đường đối cực của J đối với ... độ **** }{ 4,3,2,1 AAAA 2 P EAAA 321          −= −= −= = = = )0,1,1( )1,0,1( )1,1,0( )0,0,1( )0,1,0( )1,0,0( 3 2 1 32 31 21 EA EA EA AA AA AA ( ) )11,1();1,0,0();0,1,0(;0,0,1 321 EAAA Gọi hình 4 đỉnh toàn phần là .Chọn là mục tiêu của .Khi đó: ...

... (a 1 ,a 2 , ,a n+1 ). Điểm kép này không thuộc siêu phẳng. 1n,1i += BÀI TẬP HÌNH HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC XẠ ẢNH XẠ ẢNH NHÓM 4 NHÓM 4 BÀI 20 BÀI 20 Trường hợp 1: a – k = 0 ⇔ a = k. + ⇒ f là...

... hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh MN // BC. • Xét P 2 =A 2  2 V =A 2  ∞ ∆ Phát biểu bài toán xạ ảnh: Trong P 2 cho ∆ ABC không có đỉnh nào nằm trên ... lần lượt thuộc AB, AC sao cho (ABMI)=(ACNJ)=-1. Gọi S=BC x IJ. MN x BC= S. • Giải bài toán xạ ảnh: Ta có:    −= −= 1)ACNJ( 1)ABMI( =>    −= −= 1)SJ,SN,SC,SA( 1)SI,SM,SB,SA( ...