Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số:60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: TS Phạm Quý Mười Phản biện 2: TS Trịnh Đào Chiến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng.Vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thơng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Hình học giải tích mơn học chương trình tốn bậc phổ thông đại học, kiến thức sở có liên quan mật thiết với môn học khác đại số, lượng giác, Chính vậy, việc tìm hiểu vận dụng kiến thức hình học giải tích cần thiết giúp việc học tập môn học khác hiệu Hình học giải tích sáng lập đồng thời hai nhà bác học người Pháp Descartes (1596-1650) Ferma (1601-1655) với đặc trưng môn học ứng dụng phương pháp tọa độ đại số vectơ để khảo sát tốn hình học Phương pháp khơng ứng dụng để giải tốn hình học mặt phẳng hay khơng gian ba chiều mà cịn ứng dụng trong khơng gian nhiều chiều với hình dạng phức tạp việc vẽ hình để giải tốn điều khó thực Gần đây, nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, thi tốn Olympic quốc tế hay tạp chí tốn học có nhiều tốn khơng liên quan đến hình học vận dụng kiến thức hình học để giải Một dạng tốn tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số với nhiều phương pháp giải đặc thù, lạ tương đối khó vận dụng học sinh lẫn giáo viên Được định hướng thầy giáo hướng dẫn với mong muốn tìm hiểu thêm chủ đề nhằm nâng cao trình độ chun mơn thân, tơi chọn đề tài “Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số” cho đề tài luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nội dung nghiên cứu đề tài: Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, vận dụng phương pháp thích hợp hình học giải tích để giải tốn nêu chương trình phổ thơng trung học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học giải tích để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phƣơng pháp nghiên cứu: - Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu 5.Cấu trúc luận văn: Mở đầu Chương 1.Kiến thức sở hình học giải tích Chương 2.Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Kết luận CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Chương nhắc lại số kiến thức sở hình học phẳng hình học giải tích liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Các hệ thức lƣợng tam giác 1.1.2.Các bất đẳng thức tam giác 1.1.3 Cơng thức tính chu vi, diện tích đa giác, đƣờng trịn 1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1.2.1 Tích vơ hƣớng hai vectơ 1.2.2.Đƣờng thẳng tƣơng giao đƣờng thẳng 1.2.3.Đƣờng tròn ba đƣờng conic 1.3 KIẾN THỨC VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 1.3.1 Tích vơ hƣớng hai vectơ 1.3.2 Tích có hƣớng tích hỗn hợp 1.3.3.Đƣờng thẳng mặt phẳng 1.3.4.Mặt cầu CHƢƠNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Trong chương chúng tơi vận dụng kiến thức hình học giải tích để giải số dạng tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình chương trình tốn phổ thơng Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [6], [7], [8], [9], [10] 2.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG Phương trình, bất phương trình hệ phương trình phân mơn quan trọng Đại số Có nhiều phương pháp để giải như: biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, dùng bất đẳng thức, lượng giác hóa, phương pháp hàm số…Tuy nhiên thực tế có nhiều tốn đại số giải theo cách nhìn đại số khó phức tạp, khéo léo chuyển sang cách nhìn hình học sử dụng kết biết hình học lời giải ngắn gọn, đẹp dễ hiểu so với phương pháp khác Trong phần chúng tơi khảo sát ứng dụng hình học giải tích mặt phẳng để giải số dạng toán liên quan đến phương trình, bất phương trình hệ phương trình 2.1.1 Ứng dụng vào giải phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Để sử dụng tọa độ vectơ mặt phẳng giải phương trình ta cần nắm vững kiến thức sau đây: Trong mặt phẳng Oxy xét vectơ u x1; y1 , v x ; y2 Ta có: Tích vơ hướng: Bất đẳng thức: y1y2 u.v x1x u x12 u.v u.v u u v y12 v u v (2.1) u v (2.2) (2.3) Dấu đẳng thức (2.1) (2.2) xảy u, v hướng Dấu đẳng thức (2.3) xảy xảy hai trường hợp: v u, v ngược hướng Để giải phương trình f (x) g(x) Ta biến đổi đồng thời f (x) trở thành vế trái, g(x) trở thành vế phải hệ thức sau đây: u.v u.v u v u v u v u v u.v u v u v u v u v u v Từ ứng dụng điều kiện dấu đẳng thức xảy để tìm nghiệm phương trình Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.1 Giải phương trình: x2 2x 10 x2 6x 41 13 Ví dụ 1.2 Giải phương trình: x2 2x x2 4x Ví dụ 1.3 Giải phương trình: 2 16 x x x 2 x 4x 40 x2 45 5x 32 10 x x Ví dụ 1.4 Giải phương trình: 10 13 2y2 6y 2y2 xy x 13 x 4x 2 13 Ví dụ 1.5 Giải phương trình: x x x2 x Ví dụ 1.6 Giải phương trình: x x 2x 40 34x 10x x3 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự Ví dụ 1.7 Giải phương trình: x2 2x x2 2x 29 10 Ví dụ 1.8 Giải phương trình: x2 8x x2 816 10x 267 2003 Ví dụ 1.9 Giải phương trình: x2 4x x2 4x 13 Ví dụ 1.10 Giải phương trình: x 3x x x2 x Ví dụ 1.11 Giải phương trình: 2 x x x Ví dụ 1.12 Giải phương trình: 2x 2x 2x 2x 2x 2x Ví dụ 1.13 Giải phương trình: x2 4y2 6x x2 4y2 2x 12y 10 b Ứng dụng tương giao đường thẳng đường conic Một số phương trình đại số sau số bước biến đổi xuất dạng tọa độ giao điểm đường cong nên ta xét tương giao đường cong để giải phương trình ban đầu Đối với toán ứng dụng tương giao đường thẳng đường conic thường tốn có dạng xác định số nghiệm phương trình Trước hết biến đổi phương trình cho phương trình tương đương cho vế phương trình đường quen thuộc mặt phẳng Từ tìm giao điểm đường tương ứng suy số nghiệm phương trình ban đầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.14 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm phương trình: x2 mx m Ví dụ 1.15 Giải biện luận theo tham số thực m phương trình: m x m x m Ví dụ 1.16 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm phương trình: 12 3x m x Ví dụ 1.17 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm phương trình: x2 x m Ví dụ 1.18 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm phương trình: x2 2x m Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 1.19 Xác định tham số thực k để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x x2 k Ví dụ 1.20 Biện luận theo tham số thực m số nghiệm phương trình: 10 TH3: u v u v;u v u v ;u.v u v , bất phương trình nghiệm tập xác định Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.24 Giải bất phương trình: x x x2 x Ví dụ 1.25 Giải bất phương trình: x2 x x2 x 1 Ví dụ 1.26 Giải bất phương trình: x x x 2 x Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 1.27 Giải bất phương trình: x x x 2 x Ví dụ 1.28 Giải bất phương trình: x x x x2 Ví dụ 1.29 Giải bất phương trình: 2 x x x Ví dụ 1.30.Giải bất phương trình: x x x x2 6x 10 b Ứng dụng tương giao đường thẳng đường conic Một số bất phương trình sau vài bước biến đổi xuất dạng hệ bất phương trình mà bất phương trình hệ dạng đường cong biết biểu diễn chúng mặt phẳng tọa 11 độ.Vì ta dựa vào hình vẽ để tìm miền nghiệm hệ sau suy nghiệm bất phương trình ban đầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.31 Giải biện luận theotham số thực a bất phương trình sau: a x a x Ví dụ 1.32 Cho bất phương trình sau: x2 6x m 2x a Giải bất phương trình m=8 b Xác định tham số thực m để bất phương trình có nghiệm x 1,5 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự Ví dụ 1.33 Giải bất phương trình sau: x x Ví dụ 1.34 Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm: x x m Ví dụ 1.35 Cho bất phương trình: 3x m 2x x a Giải bất phương trình m=3 b Xác định tham số thực m để bất phương trình nghiệm 2;4 x Ví dụ 1.36 Cho bất phương trình: 4 x x x 2x a Giải bất phương trình a=6 a 18 12 b Xác định tham số thực a để bất phương trình nghiệm x 2;4 2.1.3.Ứng dụng vào giải hệ phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Khi gặp toán giải hệ phương trình nhiều ẩn, để ứng dụng phương pháp vectơ, thơng thường biến đổi hệ phương trình cho hệ phương trình tương đương cho phương trình chứa biểu thức nhận giá trị tích vơ hướng, độ dài vectơ phép tốn vectơ Từ đó, xác định vectơ thích hợp ứng dụng tính chất vectơ, công thức tọa độ để giải Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.37 Giải hệ phương trình: 3x 3y 3x 3y Ví dụ 1.38 Giải hệ phương trình: x y x y 4 Ví dụ 1.39 Giải hệ phương trình: x2 x y x y2 x y y 18 x2 x y x y2 x y y Ví dụ 1.40 Giải hệ phương trình: 13 x y yz x 2x 2x y x x z z y z2 Ví dụ 1.41 Giải hệ phương trình: x y2 y x z x2 3x x y 8y 2yz 8xy 8yz 2x 4z Một số ví dụ tham khảo phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 1.42 Giải hệ phương trình: x y 10 x 24 y 24 14 Ví dụ 1.43 Giải hệ phương trình: x yz y2 zx zy z Ví dụ 1.44 Giải hệ phương trình: y z y 2x 2x xy 5 x x x z z z y2 b.Ứng dụng tương giao đường thẳng đường conic Một số hệ phương trình mà phương trình hệ thể dạng biểu thức đường cong biểu diễn mặt phẳng tọa độ, ta xét tương giao chúng để giải hệ 14 phương trình ban đầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 1.45 Xácđịnh tham số thực m để hệ x y2 x y m có nghiệm phân biệt thỏa x1x y1y2 Ví dụ 1.46 Xácđịnh tham số thực m để hệ x 4y 16 x my m có nghiệm phân biệt thỏa x1 x2 y1 y2 Ví dụ 1.47 Giải hệ phương trình ẩn (a;b;c;d) sau: a2 c ac b2 d bd cd Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 1.48 Xác định tham số thực m để hệ có nghiệm x 0, y 1: x2 2x y2 y m Ví dụ 1.49 Xác định tham số thực m để hệ x y2 2x my m có nghiệm phân biệt x1 x2 y1 y2 đạt giá trị nhỏ Ví dụ 1.50 Xác định tham số thực m để hệ sau có nghiệm: 15 x x2 y y2 21 m Ví dụ 1.51 Biện luận theotham số thực m số nghiệm hệ phương trình: x y x y m2 *Nhận xét: Như qua ví dụ ta thấy kiến thức hình học khơng để giải tốn hình học mà cịn vận dụng vào tốn đại số Trong việc ứng dụng phương pháp vectơ để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình cho ta lời giải ngắn gọn hơn, dễ hiểu Ngồi ra, kiến thức hình học giải tích mặt phẳng phát huy cách mạnh mẽ việc ứng dụng tương giao đường thẳng đường conic để giải toán biện luận theo tham số số nghiệm phương trình, bất phương trình hệ phương trình, giúp nắm bắt tốn cách nhanh chóng nhờ hình vẽ trực quan Tuy nhiên, toán ứng dụng phương pháp hình học thường khơng thể cách tường minh, phải sau phép biến đổi phát chúng Do địi hỏi tính tư duy, sáng tạo học sinh học toán 2.2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN Như phần 2.1 ta thấy việc ứng dụng hình học vào giải tốn đại số lời giải trở nên đơn giản sáng sủa nhiều Bên cạnh vận dụng kiến thức hình học giải tích 16 mặt phẳng có tốn ứng dụng kiến thức hình học giải tích khơng gian để giải 2.2.1 Ứng dụng vào giải phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Để sử dụng tọa độ vectơ không gian giải phương trình ta cần nắm vững kiến thức sau đây: Trong không gian Oxyz , xét vectơ: u x , y2 ,z x1 , y1 ,z1 , v Ta có:  u x12  u.v x1x y12 z12 y1y2 x1x u.v  cos u, v x12 u v  u, v z1z x1y2  sin u, v x y1; y1z1 y12 y1y2 z12 x 22 y2 z1;z1x z1z y 22 z 22 z x1 u, v u.v Bất đẳng thức:  u.v u v , đẳng thức xảy có cos u, v , hay hai vectơ u v hướng, tức là: x1 y1 z1 x2 y2 z2 Chuyển qua tọa độ ta có: x1x y1y2 z1z2 x12 y12 z12 x 22 y22 z 22 17  u.v u v , đẳng thức xảy có cos u, v , hay hai vectơ u v ngược hướng, tức là: x1 x2 y1 y2 z1 z2 Chuyển qua tọa độ ta có: x1x  u v y1y2 x12 z1z y12 z12 x 22 y22 z 22 v , dấu đẳng thức xảy hai u vectơ u v hướng Chuyển qua tọa độ ta có: x12 y12 z12 x1  u v x 22 x2 y1 y 22 y2 z 22 z1 z2 v , dấu đẳng thức xảy hai u vectơ u v ngược hướng Chuyển qua tọa độ ta có: x12 y12 x1  u v w z12 x2 x 22 u y1 y 22 y2 z 22 z1 z2 w , dấu đẳng thức xảy v vectơ u, v, w hướng Chuyển qua tọa độ ta có: x12 y12 x1 z12 x2 x 22 x3 y 22 y1 z 22 y2 x 32 y3 y32 z32 z1 z2 z3 u3 un Một cách tổng quát: u1 u2 u3 un u1 Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.1 Giải phương trình: u2 18 x 3x x 12 Ví dụ 2.2 Giải phương trình: sinx sin x sinx sin x Ví dụ 2.3 Giải phương trình: cos x sin x cos2 x cos x Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.4 Giải phương trình: x 2x 50 3x 12 Ví dụ 2.5 Giải phương trình: x 3x x2 x x Ví dụ 2.6 Giải phương trình: cos x cos2 x cos x cos x Ví dụ 2.7 Giải phương trình: 2sin 2x 40 sin x cos6 x 11 b Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Khi giải hay biện luận theo tham số phương trình nhiều ẩn khơng mẫu mực đa số tốn ứng dụng phương pháp hình học Một cơng cụ mạnh hình học khơng gian để giải phương trình ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.8 Giải phương trình: x2 y2 z2 x y z 19 Ví dụ 2.9 Xác định tham số thực m để phương trình sau có nghiệm: x2 y2 z2 2x y 2z m Ví dụ 2.10 Xác định tham số thực m để phương trình sau vơ nghiệm: x2 y2 z2 4x y 5z m Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.11 Giải phương trình: x y2 z2 x y z Ví dụ 2.12 Chứng minh phương trình: x2 y2 z2 y có nghiệm Ví dụ2.13 Xácđịnh tham số thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x2 y2 z2 5x y 4z m 2.2.2 Ứng dụng vào giải bất phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Tương tự giải bất phương trình chứa thức bậc hai ứng dụng hình học giải tích mặt phẳng Trong không gian Oxyz thiết lập vectơ có tọa độ thích hợp cho độ dài vectơ tương ứng bậc hai cho tổng hiệu vectơ vectơ lại Từ sử dụng bất đẳng thức độ dài ba cạnh tam giác để đến kết toán Khi thiết lập hệ tọa độ vectơ, thông thường bất phương trình rơi vào trường hợp sau: 20 TH1: u v u v u v ;u.v u v ,khiđóbất v;u v u v ;u.v u v , bất v;u v u v ;u.v u v , bất v;u phương trình trở thành u TH2: u v u kv phương trình vơ nghiệm TH3: u v u phương trình nghiệm tập xác định Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.14 Giải bất phương trình: x x x2 x Ví dụ 2.15 Giải bất phương trình: x 2x 12 50 3x Ví dụ 2.16.(Trích Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010) Giải bất phương trình: x x x2 x 1 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.17 Giải bất phương trình: x x x 2 x Ví dụ 2.18 Giải bất phương trình: x 2x 50 3x 12 Ví dụ 2.19 Giải bất phương trình: x x x x2 21 b Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu vào giải bất phương trình khó vận dụng nên chúng tơi khơng khảo sát chủ đề luận văn 2.2.3 Ứng dụng vào giải hệ phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Khi gặp toán giải hệ phương trình nhiều ẩn, để ứng dụng phương pháp vectơ, tùy cụ thể ta xác định vectơ thích hợp ứng dụng tính chất vectơ, cơng thức tọa độ để giải Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình: x y z x2 y2 z2 3 x y z 1 Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình x2 y2 z y2 z2 x z2 x2 y y2 z2 x z2 x2 y x2 y2 z 2 2 6 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: 22 x Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình: x Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình: y y z z x3 y3 z3 x4 y4 z4 x2 y2 2z 3 b Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Khi giải hay biện luận theo tham số hệ phương trình nhiều ẩn khơng mẫu mực thông thường giải phương pháp đại số dài dịng, tính tốn phức tạp Nhưng khéo léo chuyển qua phương pháp hình học tốn trở nên dễ dàng nhiều.Một công cụ mạnh hình học để giải hệ phương trình ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.24 Giải hệ phương trình: x y z 2x 4y 6z 3x 2y 2z 3x 3y 4z 12 0 Ví dụ 2.25 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x x y y z m z m Ví dụ 2.26 Xác định tham số thực m cho hệ phương trình: 23 x2 y2 z2 y 2 x 2x y z x2 x1 y2 y1 m có hai nghiệm x1; y1;z1 z x ; y2 ;z cho biểu thức z1 đạt giá trị lớn z2 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.27 Giải hệ phương trình: 2013x 2014 2014y2015 2015x 2016 x2 2x y z 2x 4y y 4z 2014 6z Ví dụ 2.28 Giải hệ phương trình: x y2 z 6x 2y 2z x 2y 2z Ví dụ 2.29 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm: x2 2x y2 z2 y 2z m Ví dụ 2.30 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm: x x x my z z y 2 2m z 16 *Nhận xét: Như bên cạnh ứng dụng hình học giải tích mặt phẳng kiến thức hình học giải tích khơng 24 gian giúp giải số dạng toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình với lời giải đẹp, gọn dễ hiểu Tuy nhiên việc vận dụng đòi hỏi nhiều kiến thức liên quan, nghĩ tới phương pháp giải KẾT LUẬN Luận văn “ Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: + Hệ thống kiến thức liên quan đến hình học giải tích chương trình Tốn bậc trung học phổ thơng + Ứng dụng hình học giải tích để khảo sát số dạng tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Đối với lớp toán, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều ví dụ minh họa, ví dụ tham khảo Hy vọng thời gian đến, thân có điều kiện phát triển hồn thiện nội dung luận văn để góp phần giải nhiều chủ đề tốn thuộc chương trình Tốn bậc phổ thơng trung học Trong q trình làm luận văn hạn chế thời gian lực nên luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến nhận xét từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện ... toán ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học giải tích để giải tốn phương. .. 1.Kiến thức sở hình học giải tích Chương 2 .Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Kết luận CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Chương nhắc... PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH Trong chương chúng tơi vận dụng kiến thức hình học giải tích để giải số dạng tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình chương trình tốn