Giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng trong thị trường tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2014 VŨ ĐỨC THẮNG GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Mã số: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giúp đỡ, bảo, định hướng nghiên cứu cho tơi để hồn thành luận văn Qua đây, xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ, giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu trường Mặc dù có nhiều cố gắng, hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy bạn để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội,tháng 11 năm 2014 Vũ Đức Thắng Mục lục BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 1.1 Những khái niệm chung 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Thời điểm Markov thời điểm dừng .10 1.1.4 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ-trường 10 1.1.5 Xác suất có điều kiện 12 1.1.6 Martingale 13 1.2 Quá trình Gauss 17 1.2.1 Định nghĩa 17 1.2.2 Định lý 17 1.3 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 18 1.3.1 Các định nghĩa 18 1.3.2 Vài tính chất quan trọng 19 1.3.3 Các martingale tạo thành từ chuyển động Brown .19 1.3.4 Đặc trưng Lévy chuyển động Brown 20 1.4 Quá trình Poisson 20 1.4.1 Quá trình đếm 20 1.4.2 Quá trình Poisson 20 1.4.3 Đặc trưng Watanabe trình Poisson 21 1.5 Quá trình Markov 21 1.5.1 Định nghĩa 21 1.5.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 22 Mục lục 1.5.3 Chú ý 22 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 23 Phần I TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 23 2.1 Tích phân Ito 23 2.1.1 Mục đích 23 2.1.2 Định nghĩa tích phân Itơ 24 2.1.3 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itơ 26 2.1.4 Các thí dụ 28 2.2 Tích phân ngẫu nhiên Stratonovich 29 2.2.1 Khái niệm định nghĩa 29 2.2.2 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên .30 Phần II PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN .32 2.3 Định nghĩa phương trình lời giải 32 2.4 Định lý tồn .33 2.4.1 Sự .33 2.4.2 Sự tồn 35 2.5 Tính Markov lời giải .39 VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41 Phần I QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH 41 3.1 Phương án đầu tư 41 3.1.1 Phương án đầu tư, Phương án mua bán .42 3.1.2 Cân đối lại phương án tự tài trợ (Self-financial portfolio) 42 3.2 Cơ hội có độ chênh thị giá nguyên lý AAO 44 3.2.1 Định nghĩa 44 3.2.2 Nguyên lý AAO 45 3.2.3 Phái sinh kiểu Châu Âu Châu Mỹ 45 Mục lục 3.3 Nguyên lý đáp ứng thị trường đầy đủ 45 3.3.1 Chiến lược đáp ứng (Replicating Strategy) .45 3.3.2 Phái sinh đạt thị trường M .46 3.3.3 Thị trường đầy đủ (Complete Market) .46 3.4 Định giá phương pháp độ chênh thị giá (Arbitage Pricing) 46 3.4.1 Đáp ứng trình sở hữu .46 3.4.2 Ý tưởng việc định giá phương pháp độ chênh thị giá .47 3.4.3 Xác suất trung hòa rủi ro hay độ đo martingale 49 3.5 Các tài sản phái sinh (Derivatives) 50 3.5.1 Quyền chọn mua (Call) 51 3.5.2 Quyền chọn bán (Put) 51 Phần II MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES 52 3.6 Mơ hình Black-Scholes 52 3.6.1 Định nghĩa mơ hình 52 3.6.2 Giá cổ phiếu mơ hình Black-Scholes 53 3.6.3 Các giả thiết mơ hình Black-Scholes 53 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua 54 3.7 Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 55 3.7.1 Cách xây dựng 55 3.7.2 Công thức Black-Scholes 56 3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan 57 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 BẢNG KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Q Tập số hữu tỷ R Tập số thực R+ Tập số thực không âm R Tập số thực −∞, ∞ Z Tập số nguyên C Tập số phức R⋉ Không gian n− chiều ∅ Tập rỗng (xn) = {xn} Dãy số (hoặc dãy phần tử) |x| Giá trị tuyệt đối x ǁxǁ Chuẩn x f := g Định nghĩa f g lim = lim sup Giới hạn n→∞ n→∞ = lim Giới hạn inf lim n→∞ n→∞ ∫ Ω ∫t f (ω) dµ Tích phân Lebesgue f (s, ω) dWs Tích phân Wiener MỞ ĐẦU Giải tích ngẫu nhiên bắt đầu hình thành từ đầu kỷ XX Đầu tiên phải kể đến đời khái niệm toán học chuyển động Brown hay trình Wiener đưa Louis Bachelier (1900) Albert Einstein (1905) Đặc biệt sáng tạo tích phân ngẫu nhiên Itơ (1944) giúp giải nhiều toán ngẫu nhiên kinh tế, vật lý, mà Giải tích tất định cổ điển khơng sử lý Giải tích ngẫu nhiên bao gồm ba phận : Lý thuyết q trình ngẫu nhiên Lý thuyết tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong kỷ qua , nội dung phát triển mạnh mẽ công cụ thiếu nghiên cứu tài Lý thân giá chứng khốn giá tài sản tài biến động cách ngẫu nhiên nên xem chúng q trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường tài Một số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi việc nghiên cứu thị trường tài Các mơ hình định giá , chẳng hạn mơ hình Black – Scholes, dựa kiến thức Giải tích ngẫu nhiên Luận văn gồm chương : Chương I Quá trình ngẫu nhiên MỞ ĐẦU Chương trình bày khái niệm trình ngẫu nhiên dùng MỤC LỤC MỤC LỤC nghiên cứu tài Ngồi khái niệm chung, trình Gauss, trình Markov, chuyển động Brown trình Poisson đề cập Chương II Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích phân ngẫu nhiên Stratonovich, định nghĩa Phương trình vi phân ngẫu nhiên lời giải, định lý tồn lời giải vài ví dụ minh họa Chương III Vài ứng dụng thị trường tài Chương trình bày q trình giá tài sản tài q trình ngẫu nhiên, khái niệm độ chênh thị giá, thị trường đầy đủ phương pháp định giá phương pháp độ chênh thị giá, hợp đồng tài đặc biệt đề cập đến mơ hình quyền chọn Black - Scholes CHƯƠNG VÀI ỨNG DỤNG TRONG THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH Cái quyền mua hội phép bán gói tài sản tương lai với giá đảm bảo cố định trước (ngay mà người ta 52 không sở hữu cổ phiếu cả), nội dung hợp đồng có quyền chọn bán Các điều kiện hợp đồng quyền chọn bán sau: (a) Đén ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (tức người mua hợp đồng) đưa cho người viết hợp đồng (tức người bán hợp đồng) gói chứng khốn số tiền tương đương theo giá thị trường lúc (b) Nếu người viết hợp đồng nhận gói chứng khốn số tiền tương đương người giữ hợp đồng giao cho bắt buộc phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn hợp đồng Phần II MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES 3.6 Mơ hình Black-Scholes Ta bắt đầu việc giải thích mơ hình Black-Scholes dùng để giải vấn đề 3.6.1 Định nghĩa mơ hình Mơ hình Fischer Black Myron Scholes đưa năm 1973 nhằm để định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, giả thiết quyền chọn xây dựng hai tài sản sở cổ phiếu S có giá thời điểm t St trái phiếu B có giá Bt thỏa mãn phương trình vi phân sau: dSt = µStdt + σStdWt (3.6.1) dBt = rBtdt (3.6.2) ≤ t ≤ T, T thời điểm đáo hạn µ, σ r số dương Vấn đề dặt là, số tính chất quyền chọn thị trường, tính giá trị Vt quyền chọn, ≤ t ≤ T đặ biệt tính giá V = V0 thời điểm ban đầu cho quyền chọn đáp ứng Vậy mơ hình Black-Scholes gồm có yếu tố sau: (i) Tài sản sở S B thỏa mãn phương trình (3.6.1)-(3.6.2) (ii) Các giả thiết chứng khốn thị trường (sẽ nói sau) (iii) Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn 3.6.2 Giá cổ phiếu mơ hình Black-Scholes Ta nhân thấy trình ngẫu nhiên St thỏa mãn phương trình (3.6.1) chuyển động Brown hình học mà biểu thức hiển là: Σ.µ − Σ St = S0 exp σ t+ (3.6.3) σWtΣ Σ (3.6.3) phiếm hàm chuyển động Brown Ta ý ln St − ln S0 = µ − σ tức ln St − ln S0 có phân phối chuẩn N µ − t + σWt (3.6.4) σ2 Σ , σ tΣ Vậy St có phân phối lơga-chuẩn Phân phối đóng vai trò quan trọng diễn biến giá cổ phiếu theo mơ hình Black-Scholes 3.6.3 Các giả thiết mơ hình Black-Scholes Các giả thiết (1) Thị trường hoạt động liên tục (2) Lãi suất không đổi (3) Không chia cổ tức suốt thời kỳ hữu hiệu hợp đồng quyền chọn mua (4) Không có chi phí giao dịch (5) Khơng có độ chênh thị giá (6) Hai tài sản S B có giá thay đổi theo phương trình (3.6.1) (3.6.2) 3.6.4 Hiện giá quyền chọn mua Ta nhận xét trái phiếu Bt = B0ert thực chất xem tất định, nên yếu tố ngẫu nhiên nằm giá cổ phiếu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên (3.6.1) Ta quy đổi giá cổ phiếu tính theo giá trị giá trái phiếu (tức coi giá trái phiếu đơn vị tiền, đơi ta gọi trái phiếu bối cảnh kim), ta ký hiệu giá cổ phiếu tính theo đơn vị St, với mặc định xét St tức xét hai chứng khoán S B Gọi V giá thu hoạch quyền chọn thời điểm ban đầu t = 0, ST giá chứng khoán thời điểm T X giá thực thi ghi trước hợp đồng quyền chọn mua Nếu ST ≥ X lợi nhuận ST − X ≥ 0, nhà đầu tư thực thi để kiếm lời Nếu ST < Xthì nhà đầu tư khơng cần thực thi hợp đồng khơng bắt buộc phải mua, thực thi bị lỗ Cho nên lợi nhuận ST − X 0 ST − X ≥ ST − X < (3.6.5) Để chô gọn đại lượng ký hiệu (ST − X)+ gọi phần dương (ST − X) Đại lượng biến ngẫu nhiên, nên ta tính giá trị Σ trung bình kỳ vọng E (ST − X)+ gọi giá quyền chọn mua thời điểm đáo hạn Σ VT = E Σ (ST − X)+ Thực chất giá trung bình lợi Σ nhuận quyền chọn mang lại Muốn −rT tính giá V T ≈0 thời điểm t = 0, ta phải nhân với hệ số tính lùi e (1+ rT ) (cũng gọi hệ số chiết khấu) với r lãi suất luồng tiền trái phiếu Σ Σ V0 = e−rT VT = e−rT E (ST − X)+ (3.6.6) ST có biểu thức theo (3.6.3) Σ ST = S0 exp 3.7 µ − σ2 Σ Σ T+ σWT Xây dựng công thức Black-Scholes để tính giá quyền chon kiểu châu Âu 3.7.1 Cách xây dựng Việc xây dựng tiến hành theo hai cách sau đây: (a) Cách 1: Xuất phát từ hệ thức (3.6.6) (3.6.7) cách tính tốn ngẫu nhiên ta có cơng thức V0 = S0N (d1) − e−rT N (d2) , (3.7.1) d1 = √1 σ T S0 Σln X + r + σ Σ T Σ , d2 = d1 − σ √ T, σ độ biến động giá chứng khoán x (3.7.2 ) −u2 N (x) ký hiệu hàm phân phối chuẩn N (0, 1): N (x) √ = ∫ e du 2π −∞ (b) Cách 2: Giải phương trình đạo hàm riêng cấp hai gọi phương trình Black-Scholes sau ∂V + 1σ ∂ 2V ∂t ∂V (3.7.3) V = V (S, t) giá quyền chọn thời điểm t giá chứng khoán S = St, với điều kiện cuối V (S, T ) = (S − T )+ = max (ST − X) ≥ Khi ta cơng thức: Vt = StN (d1) − Xe−r(T −t)N (d2) , (3.7.4) d1 = √1 Σln St X σ T −t + r + σ Σ (T − t)Σ , (3.7.5 √ ) d2 = d1 − σ T − t, N(x) hàm phân phối chuẩn N(0,1) Đó cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua thời điểm t, ≤ t ≤ T Khi t = cơng thức (3.7.4) trở thành (3.7.1) Xét quyền chọn mua với thời gian đáo hạn tháng, giá chứng khoán ban đầu 60 triệu đo la, giá thực thi 65 triệu đo la, lãi suất không rủi ro 8% năm độ biến động chứng khoán 30% năm Vậy S0 = 60, X = 65, T = tháng = 0.25 tính theo năm, r = 0.08, σ = 0.30 Do đó: Thí dụ: ln 60 d1 = √ d2 = d1 − 0.30 0.25 = −0.4753 +.0.08+ 0.30 Σ0.25 √ = 0.30 0.25 −0.3253 Theo bảng gí trị phân phối chuẩn N (0, 1) ta có N (d1) = N (−0.3253) = 0.378383 N (d2) = N (−0.4753) = 0.356332 Do gí quyền chọn V0 thời điểm ban đầu (hiện giá quyền chọn) V0 = S0N (d1) − e−rT N (d2) = 2.1334 Vậy, với dự án mua quyền chọn mua sau tháng kết thúc hợp đồng nhà đầu tư định thực thi, có khoản lợi nhuận mà tính lùi theo hệ giá 2,133,400 USD (tức triệu 133 nghìn 400 la Mỹ) 3.7.2 Cơng thức Black-Scholes Đói với quyền chọn bán, lợi nhuận thu hoạch St − X ST − X ≥ 0 ST − X < Giá quyền chọn bán thời điểm đáo hạn Σ + VT = E (X − ST ) Σ Giá quyền chọn bán thời điểm ban đầu t = (hiện giá) Σ Σ V0 = e−rtE công thức cụ thể (X − ST )+ V0 = e−rtXN (−d2) − S0N (−d1) (3.7.6) d1 d2 xác định (3.7.2) Tổng quát hơn, giá quyền chọn bán thời điểm t ≤ T Vt = e−r(T −t)E Σ (X − ST )+ Σ Vt = e−r(T −t)XN (−d2) − StN (−d1) (3.7.7) d1 d2 tính theo (3.7.5) 3.8 Những mơ hình quyền chọn liên quan Từ mơ hình Black-Scholes ban đầu để định giá quyền chọn mua bán kiểu châu Âu hai tài sản sở cổ phiếu trái phiếu, người ta xét tới quyền chọn khác với đói tượng tài khác chọn làm tài sản sở như: số chứng khoán, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng tương lai, quyền chọn tiền tệ, Ngoài ra, quyền chọn mua bán theo mô hình Black-Scholes mà thực thi thời điểm trước đáo hạn, người ta gọi quyền chọn kiểu châu Mỹ Quyền chọn xây dựng số chứng khoán Năm 1973, Merton mở rộng mơ hình Black-Scholes để định giá quyền chọn mua châu Âu số chứng khoán có trả hoa lợi cổ tức q Gọi C0 giá quyền chọn mua ta có công thức C0 = S0e−qT N (d1) − Xe−rT N (d2) (3.8.1) d1 = √1 σ T √ Σln S0 X + r − q + σ Σ T Σ , d2 = d1 − σ T, S0 số chứng khoán ban đầu Quyền chọn xây dựng hợp đồng tương lai hợp đồng ký kết trước Năm 1976,Black đưa công thức định giá quyền chọn (mua) châu Âu hợp đồng ký kết trước (Forwards) hợp đồng tương lai (Futures) chọn làm tài sản sở, với giá ban đầu F0: C0 = e−rT [F0N (d1) − XN (d2)] (3.8.2) √ d2 = d1 − σ T d1 = √1 σ T Σln F0 X + σ2 T Σ , KẾT LUẬN Trong luận văn cố gắng hệ thống hóa số yếu tố Giải tích ngẫu nhiên, gồm q trình ngẫu nhiên (đặc biệt chuyển động Brown trình Poisson, lý thuyết martingale), tích phân Itơ, tích phân Stratonovich, nội dung tổng quát Phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng cụ thể Phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng Tài Trong nhiều ứng dụng phong phú Giải tích ngẫu nhiên nghiên cứu Tài chính, tơi nêu ví dụ điển hình mơ hình Black - Scholes định giá quyền chọn kiểu châu Âu Ngoài ra, khái niệm quan trọng định giá phương pháp độ chênh thị giá chủ yếu dựa Giải tích ngẫu nhiên trình bày đầy đủ Do trình độ thời gian tác giả có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong bảo thầy để tác giả tiến việc nghiên cứu lĩnh vực thú vị 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Dung (2014), Một Số Tìm hiểu Bổ túc Xác Suất, Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hữu Vương Quân Hồng (2007), Các phương pháp Tốn học Tài chính, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] Trần Trọng Ngun (2011), Cơ sở tốn Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [4] Trần Hùng Thao (2013), Tốn tài bản, Nhà Xuất Bản Văn Hóa Thơng Tin, Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên & Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học Tài chính, Nhà Xuất Bản Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội [7] Hoàng Thị Phương Thảo (2013), "Valuing Default Risk for Assets Value Jump Processes", East-West J of Mathematics, 15(2), PP.101-106 [8] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác Suất Nâng Cao, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội [9] Martin Baxter and Andrew Renie (2000), Financial Calculus- An introduc- tion to derivative pricing, Cambridge University Press [10] Alison Etheridge (2002), A Course in Financial Calculus, Cambridge Uni- versity Press [11] Helmut Strasser (2006), Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes (STATS), Vienna Graduate School Of Finance (VGSF) ... Chương TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành mơn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích. .. II Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên yếu tố cấu thành môn Giải tích ngẫu nhiên Chương nói tích phân ngẫu nhiên Itơ tích. .. trình ngẫu nhiên Giải tích ngẫu nhiên làm sở cho việc mơ hình hóa biến động giá thị trường tài Một số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, có martingale, chuyển động Brown, tích phân Itơ, tích phân