Giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN HUU CHỴNH GIÂI TÍCH NGAU NHIÊN ĐOI VéI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯéC NHÂY LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN HUU CHỴNH GIÂI TÍCH NGAU NHIÊN ĐOI VéI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯéC NHÂY Chun ngành: LÍ THUYET XÁC SUAT-THONG KÊ TỐN HOC Mã so: 60.46.15 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯŐI HƯŐNG DAN KHOA HOC: PGS.TS.Tran Hùng Thao Lèi nói đau Giai tích ngau nhiên truyen thong nghiên cúu ve vi phân ngau nhiên, tích phân ngau nhiên Itơ úng dnng đoi vói hắ đng lnc chi phoi boi chuyen đng Brown Cựng sn phát trien nghiên cúu úng dnng, ngưịi ta nh¾n thay giai tích ngau nhiên Itơ khơng đu nghiên cúu cỏc hắ đng lnc mụ ta v chi phoi boi q trình có bưóc nhay Nhieu q trình thnc te khơng liên tnc theo thịi gian mà có bien đoi theo kieu nhay b¾c, thí dn giá bat đng san hoắc giỏ cua cỏc ti san c so Q trình Poisson Poisson phúc hop ví dn rat bien dùng ky thu¾t kinh te tài chính, nhung q trình có bưóc nhay Do hình thành nghiên cúu ve giai tích ngau nhiên đoi vói q trình có bưóc nhay Trên the giói, giai tích ngau nhiên đoi vói q trình có bưóc nhay đưoc nghiên cúu manh vào khoang cuoi the ký 20, vói tác gia R.S.Bass, R.Cont P.Tankov vói nhieu úng dnng kinh te, tài ky thu¾t Chính kha úng dnng thnc te to lón cua lý thuyet lý tơi cHQN ú l nđi dung nghiờn cỳu cua luắn ny Lu¾n văn đe c¾p van đe ban cua giai tích ngau nhiên đoi vói q trình có bưóc nhay, tích phân ngau nhiên, cơng thúc đoi bien Itơ, đ%nh lý Girsanov, q trình có bưóc nhay quan TRQNG q trình Poisson, q trình Lévy, Các tài li¾u ban đe chuan b% cho lu¾n văn ba tài li¾u quan TRQNG cua Bass, Cont cuon sách ve tích phân ngau nhiên phương trình vi ii phân ngau nhiên cua tác gia Philip Protter Lu¾n văn gom chương: Chương 1: Các kien thÉc chuan b% Chương 2: Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay Chương 3: Các van đe liên quan Mnc lnc Lèi cam ơn Lèi nói đau i ii Chương Các kien thÉc chuan b% 1.1.Quá trình ngau nhiên quy đao cadlag 1.2.Quá trình đo đưec 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Chú ý 1.3.Q trình thích nghi véi b® LQC 1.4.Thèi điem dÈng 1.4.1 Mo đau 1.4.2 Nđi dung trnc quan cua khỏi niắm "Thòi điem dùng" 1.5.Martingale 1.6.Phân tích Doob-Meyer 1.7.Q trình kha đốn 1.8.Thèi điem dÈng kha đoán 1.9.Semimartingales Chương Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay 11 2.1.Bien phõn bắc hai cua mđt quỏ trỡnh 12 2.1.1 Đ%nh nghĩa 12 2.1.2 Tính chat cua bien phân b¾c hai 13 2.1.3 Bien phõn bắc hai cua mđt so quỏ trỡnh 13 2.2 Bien phân b¾c hai martingale .13 2.3 Bien phân b¾c hai semimartingale .14 2.4 Tích phân ngau nhiên đoi véi q trình có bưéc nhay 16 2.5 Công thÉc Itô đoi véi trình có bưéc nhay 19 2.5.1 Cơng thúc Itơ cho q trình có bưóc nhay huu han 20 2.5.2 Công thúc Itơ cho q trình khuech tán có bưóc nhay 22 2.5.3 H¾ qua cua công thúc Itô .24 Chương Các van đe liên quan 26 3.1 Cơng thÉc Itơ đoi véi q trình semimartingale semimartingale mũ có bưéc nhay 26 3.1.1 Công thúc Itô đoi vói q trình semimartingale có bưóc nhay .26 3.1.2 Cơng thúc Itơ đoi vói q trình semimartingale mũ .29 3.2 Đ%nh lý Girsanov đoi véi q trình có bưéc nhay 31 3.2.1 Đ® đo xác suat tương đương 31 3.2.2 P-martingale 31 3.2.3 Đ%nh lý Girsanov đoi vói q trình có bưóc nhay 32 3.3 Quá trình Poisson 35 3.3.1 Đ%nh nghĩa trình Poisson 35 3.3.2 Quá trình Poisson đoi TRQNG 36 3.3.3 Đ® đo ngau nhiên trình điem 37 3.3.4 Đ® đo ngau nhiên Poisson 38 3.3.5 Đ® đo ngau nhiên Poisson đoi TRQNG 39 3.3.6 Tích phân ngau nhiên đoi vói đ® đo ngau nhiên Poisson 39 3.4 Quá trình Lévy 42 3.4.1 Mo đau 42 3.4.2 Các bưóc nhay cua q trình Lévy 44 3.4.3 Quá trình Lévy m®t semimartingale 49 3.4.4 Bieu thúc phân tích m®t q trình Lévy cơng thúc Lévy-Khintchin 52 Ket lu¾n .54 Chương Các kien thÉc chuan b% Chương trình bày kien thúc chuan b% cho Lu¾n văn, bao gom đ %nh nghĩa ve q trình: đo đưac, thích nghi, q trình ngau nhiên, q trình đốn, q trình semimartingale, q trình bưác nháy; thài điem dùng đoán, martingale, martingale trên, martingale dưái phân tích Doob-Meyer Cho (Ω, F, P) m®t khơng gian xác suat 1.1 Q trình ngau nhiên quy đao cadlag Đoi tưong nghiên cúu cua trình ngau nhiên HQ bien ngau nhiên phn thu®c tham so t ∈ T X =vơ {X t ∈đó.T} hàm vói tham bien t ∈ Gia kí suhi¾u T t¾p hant, Neulàvói mőingau t ∈ Tnhiên , Xt bien ngau nhiờn ta T ã Neu T l em đưoc ta GQI X = {Xt, t ∈ T} q trình ngau nhiên vói tham so rịi rac • Neu T = N ta GQI X = {Xn, n ∈ T} dãy bien ngau nhiên ã Neu mđt sau: (, +) , [a;+) , (−∞, b] , (a, b] , [a, Tb]thu®c , (a, b] , (a, b) ta GQI X = {Xt, t ∈ T} trình ngau nhiên vói tham so liên tnc d • Neu thìhàm ta GQI X =f {X t ∈ T} nghĩa trưòngnhư ngau nhiên Ta Tse⊂xétRcác cadlag (t)t,đưoc đ%nh sau Vói mői ω, ta xét m®t quy đao f (t) = Xω (t) cua trình ngau nhiên X (t) Đ%nh nghĩa 1.1 Hàm cadlag : [0, ] →t ∈Rd[0, đưac cadlag trái,Hàm nghĩaf váiTmői T ] GQI giái han neu liên tnc phái có giái han f (t−) = lim f (s); f (t+) = lim f (s) s t s →t,s< t (1.1) →t,s> ton tai f (t) = f (t+) Hien nhiên, MQI hàm liên tnc cadlag song đieu ngưoc lai không Neu t điem khơng liên tnc, ta ký hi¾u Of (t) = f (t) − f (t−) (1.2) "cõ bưóc nhay" cua f o t T là giá tr% sau bưóc nhay f = 1[T0 ,TT) (t) Trong trưịng hop đưoc Ví dnđ%nh hàmnghĩa cadlag , giá tr% cua o thịi − + hàm có bưóc nhay o thịi điem điem f (T0 ) = 0, f (T ) = Of (T0) = Tong quát hơn, cho hàm liên tnc g : [0, T ] → fi, i = 0, 1, , n− 1; t = ≤ t ≤ ≤ tn = T , hàm dưói R hang so hàm cadlag n f (t) = g(t) + − fi1[ti,ti+1] ∑ (1.3) i=0 hi¾n o ti , ig ≥ vói f (ti)như = fi − fi−1phan Khơng MQI hàm cadlag đeu có khai Hàm đưoc giai∆thích thành liên phai tnc cua f , bưóc nhay cua f xuat trien thành thành phan liên tnc thành phan bưóc nhay (b) Ngưịi ta chúng minh đưoc rang đieu ngưoc lai Neu ψ(u) m®t hàm liên tnc vái ψ(0) = neu vái MQI t ≤ mà hàm ft (u) := e−tψ(u) thóa mãn đieu ki¾n α i α j ft (ui− u j) ∑ i, j vái MQI (u1 , , un ; α1 , , αn ) huu han ton tai m®t q trình (Xt ) mà bien đői Fourier cua ft (u) xác đ%nh 3.4.2 Các bưéc nhay cua trình Lévy Vì m®t q trình Lévy m®t q trình cadlag, chi có the có gián đoan bưóc nhay Đ¾t Xt = s↑t lim Xs giói han bên trái cua X tai t 3.4.2.1 Đ%nh nghĩa (a)Bưóc nhay OXt tai t cua trình Lévy (Xt ) đưoc xác đ%nh boi OXt = Xt −Xt− (b)Neu sup | OXt |≤ C < ∞ hau chac chan, C m®t hang so khơng ngau nhiên, ta nói rang X có bưóc nhay b% ch¾n Ngưịi ta chúng minh đưoc đ%nh lý sau Đ%nh lí 3.10 Cho X l mđt quỏ trỡnh Lộvy vỏi bỏc nhỏy b% chắn Khi E (| Xt |n ) < ∞ vái MQI n = 1, 2, Nh¾n xét: Đ%nh lý nói lên rang m®t q trình Lévy vói bưóc nhay b% ch¾n có moment huu han MQI cap 3.4.2.2 Phân tích bưéc nhay cua m®t q trỡnh Lộvy Cho l mđt Borel b% chắn boi (có nghĩa ∈/ Λ, Λ bao đóng cua R) Vói m®t q trình Lévy X , ta đ%nh nghĩa bien ngau nhiên sau T 1Λ = inf {t > : OXt ∈ Λ} Λ Λ T = inf ,t > T : OXt ∈ Λ, Λ Λ T n+1 = inf {t > T n : OXt ∈ Λ} Vì X có quy đao cadlag ∈/ Λ, có the de dàng kiem tra thay rang n {TΛ ≥ t} ∈ Ft+ = Ft, đó, mői TΛn m®t thịi điem dùng Hơn nua, ∈/ Λ quy đao cadlag ΛT > lim Tn = ∞ hau chac chan n→∞ Λ Ta đ%nh nghĩa m®t trình NΛ, t > 0Σ sau: t NΛ = t ∑ 1Λ (OXs) ∞ ∑ 1{Tn≤t} = 0≤s≤t n=1 Nt nh vắy l mđt quỏ trỡnh em khơng b®c phát Có the kiem tra trnc tiep đe thay rang, vói ≤ s ≤ t ≤ ∞ Nt Λ −Ns Λ đo đưoc vói σ (Xu −X v , s ≤ v ≤ u ≤ t) v ú N N l đc lắp oi vói Fs, túc N Λ t s m®t quỏ trỡnh vúi so gia đc lắp Hn nua, N −N Λ có m®t so bưóc nhay Λ vói Zu = Xs+u −X s , t ≤ u ≤ t −s s Theo tính chat dùng cua phân phoi cua X , ta ket lu¾n rang NΛ − NΛ có t s phân phoi vói NΛ Λ t−s ; Nt m®t q trình em cú so gia dựng v đc lắp Vắy Nt m®t q trình Poisson t GQI ν(Λ) = E(N Λ ) m®t tham so cua q trình Poisson ay ν(Λ) < ∞ Đ%nh lí 3.11 Hàm t¾p Λt → N Λ (ω) xác đ%nh đ® đo (ngau nhiên) σ− huu han R \ (a) {0} vái mői (t, ω) (b) Σ t Hàm t¾p Λ → E N Λ (ω) xác đ%nh đ® đo (tat đ%nh) σ − huu han R \ {0} ChÉng minh (a)Hàm t¾p Λ → N Λt (ω) thnc chat l mđt đ o em àt () = so nhung s ≤ t mà O Xs (ω) ∈ Λ σ− huu han R \{0} (b)Hien nhiên 3.4.2.3 Đ® đo Lévy Đ%nh nghĩa 3.12 Đ® đo ν xác đ%nh bái ν(Λ) = E N Λ Σ = E t ∑ 1Λ(OXs)Σ 0≤s≤1 đưac GQI đ® đo Lévy cua q trình Lévy X Bâyminh giị ta ký hi¾u t (ω, chúng đưoc đ%nhNlý sau dx) = νt (ω, dx) đ® đo ngau nhiên Ngưịi ta Đ%nh lí 3.13 Cho Λ m®t Borel cua R, / , f l mđt hàm Borel huu han Λ Khi ∫ f (x)Nt (ω, dx) = ∑ Λ 0