Giải tích ngẫu nhiên đối với các quá trình có bước nhảy

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU CHỈNH GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯỚC NHẢY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN HỮU CHỈNH GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN ĐỐI VỚI CÁC Q TRÌNH CĨ BƯỚC NHẢY Chun ngành: LÍ THUYẾT XÁC SUẤT-THỐNG KÊ TỐN HỌC Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.Trần Hùng Thao Hà Nội - 2013 Lời nói đầu Giải tích ngẫu nhiên truyền thống nghiên cứu vi phân ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên Itơ ứng dụng hệ động lực chi phối chuyển động Brown Cùng phát triển nghiên cứu ứng dụng, người ta nhận thấy giải tích ngẫu nhiên Itô không đủ nghiên cứu hệ động lực mô tả chi phối q trình có bước nhảy Nhiều q trình thực tế khơng liên tục theo thời gian mà có biến đổi theo kiểu nhảy bậc, thí dụ giá bất động sản giá tài sản sở Q trình Poisson Poisson phức hợp ví dụ phổ biến dùng kỹ thuật kinh tế tài chính, q trình có bước nhảy Do hình thành nghiên cứu giải tích ngẫu nhiên q trình có bước nhảy Trên giới, giải tích ngẫu nhiên trình có bước nhảy nghiên cứu mạnh vào khoảng cuối kỷ 20, với tác R.S.Bass, R.Cont P.Tankov với nhiều ứng dụng kinh tế, tài kỹ thuật Chính khả ứng dụng thực tế to lớn lý thuyết lý tơi chọn nội dung nghiên cứu luận văn Luận văn đề cập vấn đề giải tích ngẫu nhiên q trình có bước nhảy, tích phân ngẫu nhiên, công thức đổi biến Itô, định lý Girsanov, q trình có bước nhảy quan trọng trình Poisson, trình Lévy, Các tài liệu để chuẩn bị cho luận văn ba tài liệu quan trọng Bass, Cont sách tích phân ngẫu nhiên phương trình vi ii phân ngẫu nhiên tác giả Philip Protter Luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy Chương 3: Các vấn đề liên quan iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu ii Chương Các kiến thức chuẩn bị 1.1.Quá trình ngẫu nhiên quỹ đạo cadlag 1.2.Quá trình đo 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Chú ý 1.3.Q trình thích nghi với lọc 1.4.Thời điểm dừng 1.4.1 Mở đầu 1.4.2 Nội dung trực quan khái niệm "Thời điểm dừng" 1.5.Martingale 1.6.Phân tích Doob-Meyer 1.7.Quá trình khả đốn 1.8.Thời điểm dừng khả đoán 1.9.Semimartingales Chương Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy 11 2.1.Biến phân bậc hai trình 12 2.1.1 Định nghĩa 12 iv 2.1.2 Tính chất biến phân bậc hai 13 2.1.3 Biến phân bậc hai số trình 13 2.2.Biến phân bậc hai martingale 13 2.3.Biến phân bậc hai semimartingale 14 2.4.Tích phân ngẫu nhiên q trình có bước nhảy 16 2.5.Cơng thức Itơ q trình có bước nhảy 19 2.5.1 Công thức Itô cho trình có bước nhảy hữu hạn 20 2.5.2 Cơng thức Itơ cho q trình khuếch tán có bước nhảy 22 2.5.3 Hệ công thức Itô 24 Chương Các vấn đề liên quan 26 3.1.Cơng thức Itơ q trình semimartingale semimartingale mũ có bước nhảy 26 3.1.1 Công thức Itô q trình semimartingale có bước nhảy 26 3.1.2 Công thức Itô trình semimartingale mũ 29 3.2.Định lý Girsanov q trình có bước nhảy 31 3.2.1 Độ đo xác suất tương đương 31 3.2.2 P-martingale 31 3.2.3 Định lý Girsanov q trình có bước nhảy 32 3.3.Quá trình Poisson 35 3.3.1 Định nghĩa trình Poisson 35 3.3.2 Quá trình Poisson đối trọng 36 3.3.3 Độ đo ngẫu nhiên trình điểm 37 3.3.4 Độ đo ngẫu nhiên Poisson 38 3.3.5 Độ đo ngẫu nhiên Poisson đối trọng 39 3.3.6 Tích phân ngẫu nhiên độ đo ngẫu nhiên Poisson 39 3.4.Quá trình Lévy 42 3.4.1 Mở đầu 42 3.4.2 Các bước nhảy trình Lévy 44 v 3.4.3 Quá trình Lévy semimartingale 49 3.4.4 Biểu thức phân tích q trình Lévy cơng thức Lévy-Khintchin 52 Kết luận 54 vi (b) Người ta chứng minh điều ngược lại Nếu y(u) hàm liên tục với y(0) = với t mà hàm ft (u) := e ty(u) thỏa mãn điều kiện åaia j ft (ui u j) i; j với (u1;:::;un; a1;:::;an) hữu hạn tồn trình (Xt ) mà biến đổi Fourier ft (u) xác định 3.4.2 Các bước nhảy trình Lévy Vì trình Lévy trình cadlag, có gián đoạn bước nhảy Đặt Xt = lim Xs giới hạn bên trái X t s"t 3.4.2.1 Định nghĩa (a) Bước nhảy 4Xt t trình Lévy (Xt ) xác định 4Xt = Xt (b) Xt Nếu sup j 4Xt j C < ¥ hầu chắn, C số khơng ngẫu nhiên, ta nói X có bước nhảy bị chặn Người ta chứng minh định lý sau Định lí 3.10 Cho X q trình Lévy với bước nhảy bị chặn Khi n E (j Xt j ) < ¥ với n = 1;2;::: Nhận xét: Định lý nói lên q trình Lévy với bước nhảy bị chặn có moment hữu hạn cấp 44 3.4.2.2 Phân tích bước nhảy trình Lévy Cho L tập Borel bị chặn (có nghĩa 2= L, L bao đóng R) Với trình Lévy X, ta định nghĩa biến ngẫu nhiên sau TL TL = inf f = inf :::::::: TL n+1 n = inf ft > TL : 4Xt Lg Vì X có quỹ đạo cadlag 2= L, dễ dàng kiểm tra thấy fTL n tg Ft+ = Ft ; n đó, TL thời điểm dừng Hơn nữa, 2= L quỹ đạo cadlag TL > Ta định nghĩa trình L N q trình đếm khơng bộc phát t L Có thể kiểm tra trực tiếp để thấy rằng, với s t ¥ Nt với s (Xu trình với số gia độc lập L Hơn nữa, N Xv;s v u t u t Theo tính chất dừng phân phối X, ta kết luận N L s: n L L phân phối với Nt s; Nt q trình đếm có số gia dừng L độc lập Vậy Nt trình Poisson L Gọi n(L) = E(Nt ) tham số trình Poisson n(L) < ¥: Định lí 3.11 L (a) Hàm tập L ! Nt (w) xác định độ đo (ngẫu nhiên) s hữu hạn R n f0g với (t;w) L (b) Hàm tập L ! E Nt (w) xác định độ đo (tất định) s hữu hạn Rnf0g Chứng minh L (a) Hàm tập L ! Nt (w) thực chất độ đo đếm mt (L) = số s t mà 4Xs(w) L s hữu hạn R nf0g (b) Hiển nhiên 3.4.2.3 Độ đo Lévy Định nghĩa 3.12 Độ đo n xác định gọi độ đo Lévy trình Lévy X Bây ta ký hiệu Nt (w;dx) = nt (w;dx) độ đo ngẫu nhiên Người ta chứng minh định lý sau Định lí 3.13 Cho L tập Borel R, 2= L, f hàm Borel hữu hạn L Khi Z f (x)Nt (w;dx) = L å 0