Quá trình ngẫu nhiên và ứng dụng trong kinh tế tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRỊNH THỊ TRANG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ, TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRỊNH THỊ TRANG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ, TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Qua đây, em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2014 Học viên Trịnh Thị Trang Mục lục Lời mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các phân phối hữu ích tài 1.1.1 Phân phối nhị thức 1.1.2 Phân phối Poisson 1.1.3 Phân phối hình học 1.1.4 Phân phối chuẩn phân phối loga chuẩn 1.1.5 Phân phối χ2 10 1.1.6 Phân phối mũ 11 1.1.7 Phân phối 12 1.2 Tài khoản tiền tệ 12 1.3 Thị trường trái phiếu 14 1.3.1 Trái phiếu chiết khấu trái phiếu có phiếu lãi 14 1.3.2 Hoa lợi lúc đáo hạn 14 1.3.3 Lãi suất giao 15 1.3.4 Hoa lợi định trước lãi suất định trước 16 1.4 Hợp đồng ký kết trước hợp đồng tương lai 16 1.5 Quyền chọn 18 Mơ hình thị trường chứng khoán với thời gian rời rạc 2.1 20 Các kết 20 2.2 2.1.1 Quá trình giá 20 2.1.2 Giá trị phương án đầu tư tích phân ngẫu nhiên rời rạc 2.1.3 Cơ hội có độ chênh thị giá phương án đầu tư đáp ứng 25 2.1.4 Martingale định lý định giá tài sản 27 2.1.5 Thời điểm dừng áp dụng 31 2.1.6 Biến đổi độ đo 34 Mơ hình nhị thức 36 2.2.1 Du động ngẫu nhiên 36 2.2.2 Mơ hình nhị thức 45 Mơ hình thị trường chứng khoán với thời gian liên tục 3.1 3.2 23 56 Các kết 56 3.1.1 Chuyển động Brown 56 3.1.2 Quá trình Poisson 60 3.1.3 Quá trình khuếch tán 62 3.1.4 Martingale 66 3.1.5 Tích phân ngẫu nhiên 68 3.1.6 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 71 3.1.7 Công thức Ito 73 Mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian liên tục 75 3.2.1 Phương án đầu tư tự tài trợ hội có độ chênh thị giá 75 3.2.2 Mơ hình trình giá 77 3.2.3 Mơ hình Black-Scholes 79 3.2.4 Phương pháp trung hòa rủi ro 82 3.2.5 Phương pháp trung hòa định trước 87 3.2.6 Cấu trúc kỳ hạn lãi suất 91 3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất 97 Kết luận 99 Tài liệu tham khảo 100 LỜI MỞ ĐẦU Trong năm gần đây, lý thuyết trình ngẫu nhiên ngày trở nên quan trọng kinh tế, tài Tính không chắn, biến động ngẫu nhiên theo thời gian thuộc tính kinh tế thị trường tài Lý thuyết q trình ngẫu nhiên cơng cụ tốn học để mơ hình hóa thị trường tài Ví dụ, phương trình vi phân ngẫu nhiên thường dùng để mơ hình hóa cho dao động giá tài sản tài chính, q trình Poisson phù hợp với việc mô tả biến cố vỡ nợ, du động ngẫu nhiên sở mơ hình nhị thức Mục đích luận văn tìm hiểu số trình ngẫu nhiên ứng dụng chúng kinh tế, tài Luận văn trình bày phân phối xác suất thường dùng lý thuyết tài chính, số khái niệm tài chính, mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian rời rạc liên tục sở kết giải tích ngẫu nhiên Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1: Trình bày phân phối xác suất hữu ích tài số khái niệm tài Chương 2: Trình bày mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian rời rạc, giới thiệu khái niệm kết quan trọng lý thuyết tài Lý thuyết du động ngẫu nhiên mơ hình nhị thức trình bày cuối chương Chương 3: Trình bày mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian liên tục, giới thiệu số trình ngẫu nhiên quan trọng kết giải tích ngẫu nhiên ứng dụng tài Mơ hình Black-Scholes, phương pháp trung hòa rủi ro, phương pháp trung hòa định trước, cấu trúc kỳ hạn lãi suất, định giá phái sinh lãi suất trình bày chương Tuy có nhiều cố gắng thời gian thực luận văn không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 08 năm 2014 Học viên Trịnh Thị Trang Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Các phân phối hữu ích tài Phân phối nhị thức Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối Bernoulli với tham số p (ký hiệu X ∼ Be(p)) nhận giá trị xác suất cho bởi: P {X = 1} = − P {X = 0} = p, < p < Giá trị (tương ứng 0) thường thể thành công (thất bại) phép thử p biểu thị xác suất thành công Một biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối nhị thức với tham số (n, p) (ký hiệu X ∼ B(n, p)) tập giá trị {0, 1, , n} P {X = k} = Cnk pk (1 − p)n−k , k = 0, 1, , n Xét dãy phép thử độc lập, phép thử có phân phối Bernoulli Khi đó, X ∼ B(n, p) số lần thành công n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p Ngồi ra, X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, Xk kết phép thử Bernoulli thứ k với xác suất thành cơng p n X= Xk k=1 (1.1) có phân phối nhị thức với tham số (n, p) Từ trở đi, ký hiệu bk (n, p) = Cnk pk (1 − p)n−k k n bi (n, p), Bk (n, p) = bi (n, p), B k (n, p) = i=0 k = 0, 1, , n i=k Vì bk (n, p) = bn−k (n, − p) nên: Bk (n, p) = B n−k (n, − p), k = 0, 1, , n Hàm sinh momen X ∼ B(n, p) m(t) = E[etX ] = pet + (1 − p) n , t ∈ R Kỳ vọng phương sai X ∼ B(n, p) E [X] = np, 1.1.2 V [X] = np (1 − p) Phân phối Poisson Một biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số λ (ký hiệu X ∼ P oi(λ)) tập giá trị {0, 1, 2, } λn −λ e , P {X = n} = n! n = 0, 1, 2, λ > Hàm sinh momen X ∼ P oi(λ) m(t) = exp{λ et − }, t ∈ R Kỳ vọng phương sai X E [X] = V [X] = λ Phân phối Poisson coi giới hạn phân phối nhị thức Thật vậy, xét biến ngẫu nhiên nhị thức Xn ∼ B(n, λ/n) với λ > n đủ lớn Hàm sinh momen Xn λ mn (t) = + e − n t n , t ∈ R Cho n → ∞, ta được: lim mn (t) = exp{λ et − }, n→∞ t∈R hàm sinh momen biến ngẫu nhiên Poisson X ∼ P oi(λ) Do đó, Xn hội tụ theo phân phối tới biến ngẫu nhiên X ∼ P oi(λ) Giả sử X1 ∼ P oi(λ1 ), X2 ∼ P oi(λ2 ), X1 , X2 độc lập Khi đó, X1 + X2 ∼ P oisson(λ1 + λ2 ) Ta có P {X1 = k|X1 + X2 = n} = = P {X1 = k}P {X2 = n − k} , P {X1 + X2 = n} Cnk λ1 λ1 + λ2 k λ2 λ1 + λ2 k = 0, 1, , n n−k Như vậy, phân phối có điều kiện X1 với điều kiện {X1 + X2 = n} xảy phân phối nhị thức B(n, λ1 /(λ1 + λ2 )) 1.1.3 Phân phối hình học Biến ngẫu nhiên rời rạc X gọi có phân phối hình học với tham số p (ký hiệu X ∼ Geo(p)) tập giá trị {0, 1, 2, } P {X = n} = p (1 − p)n , n = 0, 1, 2, Phân phối hình học biểu thị số lần thất bại lần thành công dãy phép thử Bernoulli với xác suất thành công p Kỳ vọng phương sai biến ngẫu nhiên X ∼ Geo(p) cho E [X] = 1−p , p V [X] = 1−p p2 Các phân phối hình học thỏa mãn tính chất nhớ Tức là, X ∼ Geo(p) thì: P {X − n ≥ m|X ≥ n} = P {X ≥ m} , m, n = 0, 1, 2, Thật vậy, ta có: P {X ≥ n + m|X ≥ n} = P {X ≥ n + m} (1 − p)n+m = = (1 − p)m = P {X ≥ m} n P {X ≥ n} (1 − p) Phân phối hình học phân phối rời rạc có tính chất nhớ {z(t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn Khi đó, ψ2 S(t) = S exp − + t t σ(u)dz(u) , σ (u)du, ψ = 0 E {S(t) − K}+ = SΦ(d) − KΦ(d − ψ), S(0) = S d= ln[S/K] ψ + , ψ ψ > Tiếp theo, xét số ví dụ áp dụng phương pháp trung hịa rủi ro để tính giá chứng khốn phái sinh Ví dụ 3.2.2 (Quyền chọn phức hợp)Gọi {S(t)} trình giá cổ phiếu, xét chứng khoán phái sinh với thời điểm đáo hạn T viết cổ phiếu Giá chứng khoán phái sinh cho C(t) = f (t, S(t)) với f (t, S) hàm trơn Vì giá cổ phiếu sở S(t) thay đổi theo thời gian nên giá chứng khoán phái sinh thay đổi theo thời gian Vì vậy, chứng khốn phái sinh tài sản sở chứng khoán phái sinh Gọi h(x) hàm thu hoạch phái sinh với thời điểm đáo hạn τ < T Từ phương pháp trung hòa rủi ro, phí phái sinh cho Cnew = E ∗ h(f (τ, S(τ ))) , B(τ ) τ < T Nói riêng, tài sản sở quyền chọn mua Black-Scholes phái sinh quyền chọn mua Cnew = e−rτ E ∗ {f (τ, S(τ )) − L}+ , f (t, S) cho công thức Black-Scholes {S(t)} cho (3.41) độ đo xác suất trung hịa rủi ro P ∗ Ví dụ 3.2.3 (Giá định trước)Giả sử {S(t)} trình giá chứng khốn khơng trả cổ tức xét hợp đồng ký kết trước với ngày đáo hạn T 86 Ở thời điểm t < T , giá định trước FT (t) xác định tham gia hợp đồng Thu hoạch hợp đồng vào ngày đáo hạn T cho X = S(T ) − FT (t) Theo phương pháp trung hòa rủi ro, giá trị hợp đồng ký kết thời điểm t cho B(t)E ∗ S(T ) − FT (t) Ft , B(T ) t < T, phải Mặt khác, FT (t) Ft -đo v(t, T ) = B(t)/B(T ) nên FT (t) = B(t) ∗ S(T ) S(t) E Ft = , v(t, T ) B(T ) v(t, T ) trình giá định danh {S ∗ (t)} martingale độ đo xác suất trung hòa rủi ro P ∗ 3.2.5 Phương pháp trung hòa định trước Trong phần này, lấy trái phiếu chiết khấu không bị phá sản đương kim Ký hiệu giá trái phiếu chiết khấu thời điểm t với thời điểm đáo hạn T v(t, T ) giả sử giá trái phiếu chiết khấu thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dv(t, T ) = r(t)dt + σv (t)dz ∗ , v(t, T ) ≤ t ≤ T, độ đo xác suất trung hịa rủi ro P ∗ , σv (t) độ biến động trái phiếu chiết khấu r(t) lãi suất không rủi ro Giả sử {S(t)} q trình giá cổ phiếu khơng trả cổ tức thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dS = r(t)dt + σ(t)dz ∗ , S ≤ t ≤ T, P ∗ , σ(t) độ biến động giá cổ phiếu Khi cổ phiếu không trả cổ tức, giá trị S T (t) ≡ S(t) , v(t, T ) 87 ≤ t ≤ T, giá định trước Từ quy tắc chia Ito suy ra: dS T = −σv (t) (σ(t) − σv (t)) dt + (σ(t) − σv (t)) dz ∗ T S Quá trình {z T (t)} định nghĩa cho (σ(t) − σv (t)) dz T = −σv (t) (σ(t) − σv (t)) dt + (σ(t) − σv (t)) dz ∗ Từ định lý Girsanov suy tồn độ đo xác suất P T cho độ đo trình {z T (t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn Ta có: dS T = σ T (t)dz T , ST σ T (t) ≡ σ(t) − σv (t) Độ đo xác suất P T gọi độ đo xác suất trung hịa định trước (forwardneutral probability measure) q trình giá định trước {S T (t)} martingale P T Bây xét tài sản phái sinh kiểu châu Âu viết cổ phiếu với hàm thu hoạch h(x) thời điểm đáo hạn T Giá tài sản phái sinh thời điểm t ký hiệu C(t) Giả sử phái sinh đáp ứng chiến lược đầu tư tự tài trợ gồm việc mua bán θ(t) đơn vị cổ phiếu sở b(t) đơn vị trái phiếu chiết khấu Tức là: C(t) ≡ b(t)v(t, T ) + θ(t)S(t) t = C(0) + t b(u)dv(u, T ) + θ(u)dS(u), C(T ) = h(S(T )) vào lúc đáo hạn Theo cơng thức Ito ta có: t T T θ(u)σ T (u)S T (u)dz T (u), C (t) = C (0) + ≤ t ≤ T, C T (t) = C(t)/v(t, T ) Từ đó, q trình {C T (t)} martingale độ đo xác suất trung hòa định trước P T Hơn nữa, thời điểm đáo hạn T C(T ) = h(S(T )) Do đó: C(t) = v(t, T )E T [h(S(T ))|Ft ] , 88 ≤ t ≤ T, (3.42) E T ký hiệu kỳ vọng lấy theo P T Tóm lại, để tính giá C(t) tài sản phái sinh thời điểm t thực bước sau: Tìm độ đo xác suất P T cho độ đo xác suất {S T (t)} martingale Tìm giá trị kỳ vọng (3.42) Phương pháp gọi phương pháp trung hòa định trước (forwardneutral method) Lợi phương pháp trung hòa định trước so với phương pháp trung hòa rủi ro thể rõ kinh tế lãi suất ngẫu nhiên Từ (3.39) (3.42) ta có: C(t) = B(t)E ∗ X Ft = v(t, T )E T [X|Ft ], B(T ) X biến ngẫu nhiên Ft -đo được, biểu thị thu hoạch phái sinh Đối với phương pháp trung hòa rủi ro, phải biết phân phối hai chiều (X, B(T )) Trong đó, phương pháp trung hịa định trước ta cần biết phân phối biên duyên X Ví dụ 3.2.4 Trong ví dụ này, giả sử tồn độ đo xác suất rủi ro trung tính P ∗ giả sử trình giá cổ phiếu {S(t)} thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên dS = r(t)dt + σ1 dz1 + σ2 dz2 , S ≤ t ≤ T, P ∗ , σi , i = 1, số r(t) lãi suất không rủi ro Các chuyển động Brown tiêu chuẩn {z1 (t)} {z2 (t)} độc lập Giả sử giá {v(t, T )} trái phiếu chiết khấu khơng bị phá sản thỏa mãn phương trình dv(t, T ) = r(t)dt + σv (t)dz1 , v(t, T ) 89 ≤ t ≤ T, độ biến động σv (t) hàm tất định t Covarian tức thời chúng cho dS(t) dv(t, T ) = σ1 σv (t)dt, S(t) v(t, T ) hệ số tương quan σ1 / σ12 + σ22 Theo trên, tồn độ đo xác suất trung hòa định trước P T cho độ đo ta có dS T = (σ1 − σv (t)) dz1T + σ2 dz2T , ST ≤ t ≤ T Ở đây, {ziT (t)}, i = 1, chuyển động Brown tiêu chuẩn, độc lập P T Bây giờ, ta xác định {z T (t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn khác P T thỏa mãn d σ(t)dz T = (σ1 − σv (t)) dz1T + σ2 dz2T , ≤ t ≤ T, d ký hiệu X = Y thể X, Y có phân phối σ (t) = σ12 + σ22 − 2σ1 σv (t) + σv2 (t) Xét trình {S T (t)} xác định dS T ST = σ(t)dz T , ≤ t ≤ T Khi đó, hai q trình {S T (t)} {S T (t)} có phân phối Giả sử cần định giá quyền chọn mua kiểu châu Âu với thời điểm đáo hạn T giá thực K viết cổ phiếu Trong mệnh đề 3.2.3, thay t T thay S S T (0) = S/v(0, T ) Khi đó: ET S T (T ) − K + = S Φ(d) − KΦ(d − ψ), v(0, T ) với S(0) = S d= ln[S/Kv(0, T )] ψ + ψ Suy phí quyền chọn mua C(0) = SΦ(d) − Kv(0, T )Φ(d − ψ) 90 3.2.6 Cấu trúc kỳ hạn lãi suất Trong phần định giá trái phiếu chiết khấu khơng bị phá sản (default-free discount bonds) Giả sử v(t, T ) giá thời điểm t trái phiếu chiết khấu với thời điểm đáo hạn T Khi xem hàm T giá trái phiếu chiết khấu v(t, T ) gọi cấu trúc kỳ hạn lãi suất a) Mơ hình lãi suất giao Giả sử r(t) lãi suất giao tức thời t độ đo xác suất P thỏa mãn phương trình dr = a (m − r) dt + σrγ dz, t ≥ 0, a, m, σ, γ số Dưới số mơ hình quan trọng theo giá trị tham số a, m, σ, γ Mơ hình Vasicek dr = a (m − r) dt + σdz, t ≥ 0, a, m > Mơ hình Vasicek đưa năm 1977 Phương trình phương trình tuyến tính có nghiệm t r(t) = m + (r(0) − m) e−at + σ e−a(t−s) dz(s) Mơ hình CIR √ dr = a (m − r) dt + σ rdz, t ≥ 0, với a, m > Mơ hình đề xuất Cox, Ingersoll Ross năm 1985 sử dụng nhiều để định giá phái sinh lãi suất Mơ hình chuyển động Brown hình học dr = βrdt + σrdz, β = −a b) Định giá trái phiếu chiết khấu 91 t ≥ 0, Giả sử trình lãi suất giao {r(t)} tn theo mơ hình sau độ đo xác suất P dr = µ(t, r)dt + σ(t, r)dz, t ≥ 0, (3.43) giả thiết trái phiếu chiết khấu khơng bị phá sản tài sản phái sinh viết lãi suất giao r(t) Xét trái phiếu chiết khấu không bị phá sản với thời điểm đáo hạn T gọi F (t) giá thời điểm t Giả sử tồn hàm trơn f (t, r) cho F (t) = f (t, r(t)), ≤ t ≤ T Theo công thức Ito ta có: dF = µF (t, r(t))dt + σF (t, r(t))dz, F ≤ t ≤ T, µF (t, r) = f (t, r) fr (t, r)µ(t, r) + ft (t, r) + frr (t, r) σ (t, r) (3.44) σF (t, r) = fr (t, r)σ(t, r) f (t, r) (3.45) Chúng ta xây dựng phương án đầu tư không rủi ro sử dụng hai trái phiếu chiết khấu với thời hạn khác Nếu khơng có hội có độ chênh thị giá lợi suất thặng dư đơn vị rủi ro hai trái phiếu phải Điều có nghĩa giá thị trường rủi ro xác định λ(t) = µF (t, r) − r(t) σF (t, r) (3.46) không phụ thuộc vào thời điểm đáo hạn Giả sử giá thị trường rủi ro λ(t) biết thị trường Theo định lý Girsanov, tồn độ đo xác suất P ∗ tương tương với P cho độ đo trình {z ∗ (t)} xác định dz ∗ = dz + λ(t)dt, 92 0≤t≤T (3.47) chuyển động Brown tiêu chuẩn t Xét tài khoản tiền tệ B(t) = exp r(s)ds , định nghĩa giá định danh trái phiếu chiết khấu F ∗ (t) = F (t)/B(t) Theo quy tắc chia Ito ta có: dF ∗ = (µF (t, r) − r(t)) dt + σF (t, r)dz, F∗ ≤ t ≤ T Nếu giá thị trường rủi ro biết từ (3.46) (3.47) ta có: dF ∗ = σF (t, r)dz ∗ , F∗ ≤ t ≤ T Do đó, trình {F ∗ (t)} martingale P ∗ P ∗ độ đo xác suất trung hòa rủi ro Theo phương pháp trung hòa rủi ro ta có: F ∗ (t) = E ∗ Ft , B(T ) ≤ t ≤ T, trái phiếu trả 1$ vào thời điểm đáo hạn T Từ suy ra: T v(t, T ) = E ∗ exp − r(s)ds Ft , ≤ t ≤ T t Từ (3.43), (3.47) ta thu phương trình vi phân ngẫu nhiên lãi suất giao P ∗ : dr = (µ(t, r) − σ(t, r)λ(t)) dt + σ(t, r)dz ∗ , ≤ t ≤ T (3.48) Đặt m(t, r) ≡ µ(t, r) − σ(t, r)λ(t) m(t, r) gọi độ dịch chuyển điều chỉnh rủi ro Thay (3.44) (3.45) vào (3.46) ta thu phương trình sau: ft (t, r) + m(t, r)fr (t, r) + σ (t, r) frr (t, r) = rf (t, r) (3.49) Điều kiện biên cho f (T, r) = trái phiếu chiết khấu trả 1$ vào thời điểm đáo hạn T Mơ hình affine 93 Giả sử độ dịch chuyển điều chỉnh rủi ro m(t, r) hệ số khuếch tán σ(t, r) tương ứng có dạng σ (t, r) = β1 (t) + β2 (t)r m(t, r) = α1 (t) + α2 (t)r, (3.50) với αi (t), βi (t), i = 1, hàm tất định Khi đó, phương trình (3.49) trở thành ft (t, r) + (α1 (t) + α2 (t)r) fr (t, r) + β1 (t) + β2 (t)r frr (t, r) = rf (t, r) (3.51) Giả sử giá trái phiếu chiết khấu v(t, T ) = f (t, r(t)) cho f (t, r) = eaT (t)+bT (t)r , ≤ t ≤ T, với aT (t), bT (t) hàm tất định, trơn.Vì f (r, T ) = nên (3.52) aT (T ) = bT (T ) = Hơn nữa, ta có: ft = aT (t) + bT (t)r f, fr = bT (t)f, frr = b2T (t)f Thay đạo hàm riêng vào (3.51) nhóm hạng tử ta được: bT (t) + α2 (t)bT (t) + β2 (t)b2T (t) −1 r+ aT (t) + α1 (t)bT (t) + β1 (t)b2T (t) =0 Từ đó, để phương trình (3.51) hàm aT (t), bT (t) phải thỏa mãn:   b (t) = −α2 (t)bT (t) − β2 (t)bT (t) + T (3.53) (t) β (t)b  T a (t) = −α1 (t)b (t) − T T với điều kiện biên (3.52) Tóm lại, có kết sau: Định lý 3.2.1 (Mơ hình affine) Dưới độ đo xác suất trung hòa rủi ro P ∗ , giả sử độ dịch chuyển điều chỉnh rủi ro m(t, r) hệ số khuếch tán σ(t, r) lãi suất giao cho (3.50) Khi đó, giá trái phiếu chiết khấu khơng bị phá sản v(t, T ) cho công thức sau: v(t, T ) = eaT (t)+bT (t)r(t) , ≤ t ≤ T, (3.54) aT (t) bT (t) thỏa mãn hệ phương trình (3.53) điều kiện biên (3.52) 94 Bây giả sử hệ số khuếch tán hàm tất định t, tức σ(t, r) = σ(t) (3.50) ta lấy β1 (t) = σ (t), β2 (t) = Khi đó, từ (3.53) ta có: bT (t) = −α2 (t)bT (t) + 1, ≤ t ≤ T, với bT (T ) = Suy ra: T bT (t) = − e s t α2 (u)du ≤ t ≤ T ds, (3.55) t Ngồi ra, ta có: T aT (t) = t α1 (u)bT (u)du + T σ (u)b2T (u)du t Ví dụ 3.2.5 Xét mơ hình Vasicek dr = a(m − r)dt + σdz, a, m > Giả sử giá thị trường rủi ro số (λ(t) = λ) Khi đó, từ (3.48) ta có: dr = a (r − r) dt + σdz ∗ , ≤ t ≤ T, (3.56) với r = m − σλ/a số dương Phương trình (3.56) mơ hình affine với m(t, r) = ar − ar σ (t, r) = σ Như vậy: α1 (t) = ar, α2 (t) = −a, β1 (t) = σ , β2 (t) = Do đó, từ (3.55) suy bT (t) = − − e−a(T −t) a aT (t) = − (bT (t) + T − t) r − σ2 2a2 − σ2 b (t) 4a T Giá trái phiếu chiết khấu mơ hình Vasicek cho v(t, T ) = H1 (T − t) e−H2 (T −t)r(t) , ≤ t ≤ T, H2 (t) = (1 − e−at )/a H1 (t) = exp (H2 (t) − t)(a2 r − σ /2) σ H22 (t) − a2 4a 95 Mơ hình bậc hai Giả sử lãi suất giao có dạng bậc hai r(t) = y (t) với {y(t)} trình ngẫu nhiên thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dy = (ay + b) dt + σdz ∗ , ≤ t ≤ T, a, b, σ số {z ∗ (t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn độ đo xác suất trung hòa rủi ro P ∗ cho trước Theo cơng thức Ito, ta có: dr = 2y (ay + b) + σ dt + 2σydz ∗ , ≤ t ≤ T Giả sử giá thời điểm t trái phiếu chiết khấu không bị phá sản đáo hạn vào thời điểm T cho v(t, T ) = exp α(t) + β(t)y(t) + γ(t)y (t) , ≤ t ≤ T, với α(t), β(t) γ(t) hàm tất định chưa biết với điều kiện biên α(T ) = β(T ) = γ(T ) = Áp dụng công thức Ito, ta có: σ2 dv(t, T ) = α (t) + bβ(t) + σ γ(t) + β (t) v(t, T ) + β (t) + aβ(t) + 2bγ(t) + 2σ β(t)γ(t) y(t) + γ (t) + 2aγ(t) + 2σ γ (t) y (t) dt + σ [β(t) + 2γ(t)y(t)] dz ∗ Do giá định danh trái phiếu chiết khấu martingale P ∗ nên độ dịch chuyển phương trình r(t) = y (t), ∀t ≤ T Do đó, hàm chưa biết phải thỏa mãn:   γ(t) + σ β (t) =   α (t) + bβ(t) + σ    β (t) + aβ(t) + 2bγ(t) + 2σ β(t)γ(t) =       γ (t) + 2aγ(t) + 2σ γ (t) = với điều kiện biên α(T ) = β(T ) = γ(T ) = 96 3.2.7 Định giá phái sinh lãi suất Trong phần này, xét dạng phái sinh lãi suất phổ biến quyền chọn viết trái phiếu Giả sử v(t, τ ) giá thời điểm t trái phiếu chiết khấu không bị phá sản đáo hạn vào thời điểm τ xét quyền chọn kiểu châu Âu viết v(t, τ ) với thời điểm đáo hạn T < τ Gọi h(x) hàm thu hoạch quyền chọn Theo phương pháp trung hòa định trước (3.42), giá quyền chọn thời điểm t C(t) = v(t, T )E T [h(v(T, τ ))|Ft ], t ≤ T < τ Do đó, cần xác định phân phối v(T, τ ) độ đo xác suất trung hòa định trước P T Giả thiết thị trường khơng có hội có độ chênh thị giá giá trái phiếu chiết khấu thỏa mãn phương trình dv(t, τ ) = r(t)dt + σ(t, τ )dz ∗ , v(t, τ ) ≤ t ≤ τ, (3.57) độ đo xác suất trung hịa rủi ro P ∗ cho trước, r(t) lãi suất giao {z ∗ (t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn P ∗ Ký hiệu giá định trước trái phiếu vT (t, τ ) = v(t, τ ) , v(t, T ) t ≤ T < τ Vì v(t, T ) thỏa mãn (3.57) với độ biến động σ(t, τ ) thay σ(t, T ) nên theo quy tắc chia Ito ta có: dvT (t, τ ) = µT (t)dt + [σ(t, τ ) − σ(t, T )] dz ∗ , vT (t, τ ) ≤ t ≤ T, µT (t) ≡ −σ(t, T )(σ(t, τ ) − σ(t, T )) Để trình {vT (t, τ )} martingale P T µT (t)dt + [σ(t, τ ) − σ(t, T )] dz ∗ = [σ(t, τ ) − σ(t, T )] dz T , {z T (t)} chuyển động Brown tiêu chuẩn P T Khi đó: dvT (t, τ ) = [σ(t, τ ) − σ(t, T )] dz T , vT (t, τ ) 97 ≤ t ≤ T (3.58) Vì v(T, τ ) = vT (T, τ ) nên xác định phân phối v(T, τ ) P T từ phương trình (3.58) Ví dụ 3.2.6 (Mơ hình affine) Xét mơ hình affine (3.50) Từ (3.54) ta có vT (t, τ ) = v(t, τ ) = eaτ (t)−aT (t)+(bτ (t)−bT (t))r(t) v(t, T ) Ngoài ra, ta có: dvT (t, τ ) = (bτ (t) − bT (t)) σ(t, r(t)) {−bT (t)σ(t, r(t))dt + dz ∗ } vT (t, τ ) Biến đổi độ đo cho −bT (t)σ(t, r(t))dt + dz ∗ = dz T , dvT (t, τ ) = (bτ (t) − bT (t)) σ(t, r(t))dz T , vT (t, τ ) ≤ t ≤ T Nói riêng, trường hợp hệ số khuếch tán σ(t) hàm tất định t, β1 (t) = σ (t) β2 (t) = Khi đó, từ (3.55) ta có: τ bτ (t) − bT (t) = − e s t α2 (u)du ds T Do dvT (t, τ ) = θ(t)dz T , vT (t, τ ) ≤ t ≤ T, τ θ(t) = −σ(t) e s t α2 (u)du ds T T hàm tất định t Đặt σF2 θ2 (t)dt Theo mệnh đề 3.2.3 ta có: = E T {vT (T, τ ) − K}+ |Ft = vT (t, τ )Φ(d) − KΦ(d − σF ) với d= ln[vT (t, τ )/K] σF + σF Vì vT (T, τ ) = v(T, τ ) vT (t, τ ) = v(t, τ )/v(t, T ) nên phí quyền chọn mua C(t) = v(t, τ )Φ(d) − Kv(t, T )Φ(d − σF ), 98 t ≤ T < τ KẾT LUẬN Luận văn giải cơng việc sau: • Chỉ ứng dụng số kết lý thuyết trình ngẫu nhiên mơ hình thị trường chứng khốn với thời gian rời rạc liên tục • Trình bày mơ hình nhị thức dựa sở lý thuyết du động ngẫu nhiên • Xây dựng cơng thức Black-Scholes để tính giá quyền chọn mua kiểu châu Âu • Trình bày phương pháp trung hòa rủi ro phương pháp trung hịa định trước để tính giá chứng khốn phái sinh • Định giá trái phiếu chiết khấu phái sinh lãi suất Tuy nhiên, thời gian thực luận văn khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để luận văn hồn chỉnh 99 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Vương Qn Hồng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn tốn học tài chính, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [3] Trần Hùng Thao (2013), Tốn tài bản, Nhà xuất Văn hóa Thơng tin [4] Đặng Hùng Thắng (2006), Q trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Đặng Hùng Thắng (2012), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Duy Tiến (2001), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [7] Elliott R.J., Kopp P.E (2005), Mathematics of financial markets, 2nd edition, Springer [8] Hull J.C (2012), Options, Futures, and Other Derivatives, 8th edition, Pearson Education [9] Kijima M (2003), Stochastic processes with applications to finance, Chapman & Hall/CRC 100 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRỊNH THỊ TRANG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ, TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học... tài chính, q trình Poisson phù hợp với việc mô tả biến cố vỡ nợ, du động ngẫu nhiên sở mơ hình nhị thức Mục đích luận văn tìm hiểu số trình ngẫu nhiên ứng dụng chúng kinh tế, tài Luận văn trình. .. tính kinh tế thị trường tài Lý thuyết q trình ngẫu nhiên cơng cụ tốn học để mơ hình hóa thị trường tài Ví dụ, phương trình vi phân ngẫu nhiên thường dùng để mơ hình hóa cho dao động giá tài sản tài