Bài toán biên thứ hai đối với phương trình monge ampere elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bïi văn toan Bài toán biên thứ hai phơng tr×nh monge-ampere elliptic Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI - 2012 Học viên : Bùi Văn Toan -1- K19 Toán Giải Tích Mc lc Trang M u Chãơng Bài tốn biên thứ hai phương trình det(uij ) 1.1 Một số kiến thức bổ trợ  g(x) R(Du) 1.1 Nón lồi, đa diện lồi 1.1 Siêu mặt lồi hàm lồi 1.13 Nón tiệm cận 1.1.4 Ánh xạ chuẩn tắc độ cong R hàm lồi -9 1.1.5 Phương trình Monge-Ampere 1.2 Bài toán biên thứ hai phương trình 14 det(uij )  g(x) - 17 R(Du) 1.2.1 Các nghiệm yếu nghiệm suy rộng 17 1.2.2 toán biên thứ hai Bài 17 1.2.3 Bài toán biên thứ hai lớp đa diện lồi -20 Chãơng Bi toỏn biờn th hai phương trình tổng quát - 26 2.1 Phát biểu định lý tồn nghiệm 26 2.1.1 ững giả thiết Nh 26 nh lý tồn nghiệm Đị 25 2.1.2 2.2 Xây dựng không gian nghiệm 28 Chứng minh Định lý 33 2.3 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Mở đầu n Phương trình Monge-Ampere loại elliptic khơng gian R có dạng: det(uij )  x   x , x , , x f (x,u, Du) , (*)  Rn , u  u x ẩn hàm, u  u n ij f x,u, Du hàm xi xj số nhận giá trị dương cho trước Nghiệm cổ điển phương trình (*) hàm lồi u(x), thuộc lớp C Nhưng việc tìm lớp nghiệm cổ điển vấn đề khó Luận văn nghiên cứu lớp nghiệm suy rộng cho toán biên thứ hai n phương trình (*) mà xét tồn khơng gian R dáng điệu nghiệm vô hạn cho trước Nghiệm dựa ứng dụng nguyên lý điểm bất động không gian hàm không tầm thường Luận văn chủ yếu dựa vào tài liệu Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation tác giả Ilya J.Bakelman Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Bài toán biên thứ hai phương trình det( uij )  g( x ) R( Du ) Chương 2: Bài toán biên thứ hai cho phương trình tổng quát Trong chương ta xây dựng định lý tồn nghiệm toán tập g(x) det(uij ) biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere R(Du)  nghiệm suy rộng lồi Điều kiện định lý điều kiện cần đủ Những kết thực có ý nghĩa dùng cho việc nghiên cứu tính giải toán biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij )  f (x,u, Du) Chương nghiên cứu tỉ mỉ tốn biên thứ hai cho phương trình Monge-Ampere tổng quát lớp nghiệm suy rộng lồi, cụ thể định lý tồn nghiệm tốn Trong phần trình bày có đưa số giả thiết nón lồi chấp nhận được, cơng thức ước lượng…Bên cạnh đó, ta xét với hàm lồi không bị chặn tồn khơng gian En nên ứng dụng ngun lý điểm bất động yêu cầu xây dựng khơng gian hàm đặc biệt mà tốn biên thứ hai nghiên cứu chi tiết Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Tốn-Cơ-Tin học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 Tốn giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 26 tháng 03 năm 2012 Tác giả Chương Bài tốn biên thứ hai phương trình det(u )  g(x) R(Du) ij 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Nón lồi, đa diện lồi Định nghĩa 1.1.1.1: Một tập K  gọi lồi L a,b K,t 0;1  xt  (1 t)a  tb K Định nghĩa 1.1.1.2: Một tập lồi chứa hợp tia với đỉnh chung gọi nón lồi Đỉnh chung tất tia gọi đỉnh nón Định nghĩa 1.1.1.3: Một thể lồi F En1 gọi (n+1)-khối đa diện lồi F giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nếu khối đa diện F tập bị chặn khối đa diện lồi đóng En1 biên F chúng gọi Nếu F khối đa diện lồi hữu hạn F gọi đa diện lồi hữu hạn Định lý 1.1.1.4 Mọi đa diện lồi bị chặn bao lồi đỉnh Hơn nữa, đa diện với đỉnh cho trước Định lý 1.1.1.5 Mọi khối đa diện lồi hữu hạn bao lồi đỉnh góc đa diện lồi tiệm cận đặt đỉnh Định lý 1.1.1.6 Cho M hệ hữu hạn điểm A , A , , A En1 Nếu có (n+2) điểm vị trí tổng qt M, diện lồi bị chặn, đỉnh P điểm m P  Co M (n+1)-khối đa A1 , A2 , , Am Điể m Ai , ( i=1, 2,…, m) gốc P Ai không thuộc vào bao lồi tất điểm khác M Định lý 1.1.1.7 Cho A , A , , A hệ điểm cho En1 Khi tồn m đa diện n-lồi đóng En1với đỉnh điểm A , A , , A vị trí tổng quát điểm m Ak không thuộc vào bao lồi điểm A1 , A2 , , Ak 1 , Ak 1 , , Am , (k=1,2,…,m) Hơn nữa, đa diện Định lý 1.1.1.8 Cho M hệ hữu hạn điểm En1 , thỏa mãn điều kiện sau : i) có k+1 điểm vị trí tổng qt M ii) khơng có k+2 điểm vị trí tổng quát M , k = 0, 1, 2,…, n+1 Khi P  Co M khối đa diện k-lồi bị chặn đỉnh P điểm thuộc tập M Một điểm AM gốc P A không thuộc bao lồi tất điểm khác tập M Định lý 1.1.1.9 Cho A , A , , Am hệ hữu hạn điểm, V góc đa diện (n+1)-lồi En1mà đỉnh điểm A , A , , A m Cho M  A1  A2   Am V Khi P  Co M khối đa diện vơ hạn (n+1) lồi En1 , V góc tiệm cận P đỉnh P điểm Ak ,  k  1, 2, , m A1 , A2 , , Am Hơn nữa, điểm gốc P Co  A1   Ak1  Ak1   Am V  1.1.2 Siêu mặt lồi hàm lồi Ak không thuộc vào Tập F gọi mặt lồi n-chiều (hoặc siêu mặt lồi) E n F miền gồm biên thể lồi (n+1)-chiều H mở, liên thông H tô pô H cảm sinh En1 nghĩa F tập En1 Tương tự, với miền G chứa biên thể lồi (k+1)-chiều H gọi mặt lồi k chiều Nếu k=1 G gọi đường cong lồi F gọi chóp lồi n-chiều F siêu mặt lồi thỏa mãn hai điều kiện: i) F nằm siêu phẳng P ii) F có phép chiếu trực giao 1-1 P Cho H tập lồi En1 En1 Q  H siêu mặt lồi hoàn toàn Ta cố định đường L kí hiệu U tập đường song song với L, qua tất L điểm H Các đường nằm UL thỏa mãn ba khả đây: Mọi đường cắt Q điểm Mọi đường cắt Q hai điểm phân biệt Khơng đường cắt Q Ta kí hiệu F tập tất điểm giao H với đường thẳng tập UL Trong trường hợp thứ F  Ta xét trường hợp thứ nhất: Cho L tia của đường L mà giao với Q Ta kí hiệu U tập gồm tia L hướng với L xuất phát từ điểm H Khi F chứa tất điểm giao H với tia tập U L Cho P siêu phẳng trực giao với L Khi hình chiếu F P miền lồi, mở G Rõ ràng G hình chiếu tập IntH siêu phẳng P Cho x ,x , ,x ,x  z tọa độ Đề En1 cho siêu phẳng P có phương trình n n1 z  Rõ ràng F đồ thị hàm f x1, ,xn xác định G Bây ta  chứng minh hàm Cho f  x1 , ,xn  liên tục G X o điểm G dãy điểm Xm  G hội tụ đến Xo Ta kí hiệu Yi i  điểm F mà chiếu lên Xi , thỏa mãn Yo  lim Ym Ta m  0,1,2,  thấy Ym bị chặn Do Ym  H , giới hạn dãy hội tụ dãy điểm Ym Hơn nữa, phải nằm tia tập thuộc vào H U Rõ ràng Yo điểm L thỏa mãn điều kiện Vì vậy, Yo  lim Y m G Do F đồ thị hàm liên tục hàm f x1, ,xn liên tục  f x1, ,xn xác định miền  lồi, mở G F  H , F siêu phẳng lồi Bây ta xét trường hợp thứ hai: Khi F phân tích thành hai thành phần Phần thứ gồm điểm giao H với tia tập UL , phần thứ hai gồm điểm giao H với tia xuất phát từ điểm H có hướng ngược với tia L Vì vậy, điểm siêu phẳng Cho W G  AH có lân cận U  H mà chiếu tương ứng 1-1 lên tập siêu phẳng lồi ứng 1-1 lên miền lồi, mở G  P Cho En1 mà chiếu trực giao tương x1 ,x2 , ,xn ,xn1  z tọa độ Đề En1 cho siêu phẳng P có phương trình z  Khi siêu phẳng lồi F W G xác định phương trình z  f  X  , X  x ,x , ,x G Ta kí hiệu  X ,z  x ,x , ,x ,z En1 Rõ ràng X hình n n chiếu trực giao (X,z) lên siêu phẳng P Cho  X , f  X là điểm F Khi tồn siêu phẳng tựa Q qua điểm đó, X  x1,x2 , ,xn G Nếu  X ,z  x1,x2 , ,xn ,zQ , z  f  X   f x1,x2 , ,xn  z  f  X   f x1,x2 với , ,xn  f x1,x2 X G Trong trường hợp thứ nhất, hàm , ,xn  gọi lồi, trường hợp thứ hai lõm Với Xo , X1 hai điểm miền lồi G Khi đó, với t 0,1 điểm Xt  1 t  Xo  tX1 cho zt  1 t f Xo  tf X1 Ta thu kết       G luận sau: a) Nếu f  X hàm lồi G, với  f 1 t  Xo  tX1  b) Nếu 0,1 bất đẳng thức : f  Xt   zt  1 t  f  Xo   tf  X1  với f  X hàm lõm G, với  f 1 t  Xo  tX1  t t 0,1 bất đẳng thức : f  Xt   zt  1 t  f  Xo   tf  X1  với 1.1.3 Nón tiệm cận Xo , X  G Xo , X  G  B  u  x A  d0   u  m   m x m  const   1 m2 m   x  tập hợp biểu diễn sở u  x  Từ ước lượng Cho u cuối dẫn đến tồn dãy hàm lồi u  mà dãy xq u  x  Um : hội tụ đến hàm lồi u0 x hình cầu x  m Rõ ràng u0    K nón tiệm cận u0   Như vậy: lim Nếu thiết lập q  u Tk u  x   u  x q 0 A Khi phần chứng minh Bổ đề 2.2.3 hoàn thành Cho   số cho Ta cố định số nguyên dương m0   mm0  1 m  diam K *  Khi u  u0 m0 1 u u q A  m 1   m1 q u  u0  m 2 m  1 u  u0 q  mm0  m m2  diam K *  m mm0 m1   m0 1 u  u   m q Từ lim u  u0 m  , có số dương Q0 cho q m0 với q  q0 Vì u q u0   1 u u q  m  , với q  q0 ,   số cho trước 2.3 Chứng minh định lý Bây ta trở lại phần chứng minh Định lý 2.1.2.1, mà định lý tồn chương Cho  phần tử tập Tk xét tập hợp hàm lồi u(x) biểu diễn sở  Ta ua  x   u  x   a, a  ,   Hàm Fu  x   f  x,ua  x  , Dua  x   f  x,ua  x   a, Du  x   , a khơng âm với Khi x  En Cho z = k(x) phương trình nón K ua  x   u  x   a  k  x   a, với x  En Từ Giả thiết 2.1.1.3 suy Fu  xa  k  x,u  x   a   k  x,k  x   a  , với x  En giá trị thực a Từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 ta suy :  E F ua  x  dx   En k  x, k  x   a dx   , với a  ak ,bk  Từ Giả thiết 2.1.1.3 thiết lập bất đẳng thức : F x  inf  x, x,   a với ua K * E Từ   x  với x  R k Bây ta giới thệu hàm   x    n Fua x n E  x  dx , với a  ak ,bk  f  x,u  x   a, Du  xdx , với a  ak ,bk   Khi từ Giả thiết 2.1.1.2, 2.1.1.3 từ điều kiện Định lý 2.1.2.1 suy   a  liên tục,  '  a  tồn ak ,bk  có bất đẳng thức   ak   k  x, k  x   a  dx  meas K * ,  inf b   *   b x,  x,   dx  meas K n k K*  En Từ :  '  a    n E k (2.6) (2.7) k f  x,u  x   a, Du  x  dx  0, u Khi , từ (2.6), (2.7) suy tồn số  a*   F n a* ak ,bk  cho  x dx  meas K * Bây với nón tiệm cận cho trước K ta xét tốn biên thứ hai phương trình: det  zij   Fu x a*  (2.8) Từ tất điều kiện Định lý 2.1.2.1 thoả mãn, tốn biên có nghiệm suy rộng lồi z(x) thoả mãn điều kiện nón tiệm cận đồ thị Cho u  x   ua*  x   a * phần tử  x , u u z    a * có K z  x  z  x  z biểu diễn sở    phần tử tập lồi compact Tk Rõ x ràng toán biên thứ hai phương trình (2.8) nón lồi chấp nhận cho trước K sinh toán tử : G : Tk  Tk cho x  G u  Trong phần cuối tiểu mục thiết lập tính liên tục tính compact tốn tử G tập lồi K Những điều cho phép áp dụng định lý Schauder điểm bất động với toán tử G: Tk  Tk Sự tồn Định lý 2.1.2.1 kết cuối nghiên cứu Bổ đề 2.3.1 Hàm a*: Tk  R hàm liên tục Chứng minh : Cho  phần tử Tk u  x   A1  A biểu diễn sở  Khi u(x) hàm lồi mà đồ thị chúng có K nón tiệm cận chúng, u    Số thực a*  a nghiệm phương trình * u  En f  x,u  x  a, Du  x   dx  meas K * (2.9) Ở chứng minh phương trình có nghiệm a*  a *  u   ak ,bk  Bây ta phải chứng minh a *  uq hội tụ tới a *  u  nếu:   u ,u Tk q lim u  u  q  E n f A q Từ (2.9) suy rằng:  x,u  x   a *  u  , Du  x   dx   E n     f x,uq  x   a * uq , Duq  x  dx  meas K * Như :   E n  u  x   u  q  f     x    a *  u   a *  uq     v dx  u t  1 n q  x    u  x  u , . dt dx En  f x x ui i i i1  vt       vt  x   1 t  uq  x   tu  x   1 t  a * uq  ta *  u  , ,  t  ,i  1, 2, , n uq  x  vt  x  u và  x  1  t  t xi Từ a *u xi xi a *  uq không phụ thuộc vào x, từ (2.10) ta thu :  u  x   u  x  f    u   dt dx a * u   a * u q  q En     fu dt  E n  vt     vt dx  u  x  uq  x    n   x  x    E u    i  f  0 u   vt   f  dt dx   (2.10)  En Từ vt dt dx  f dương liên tục n E  R  R  K * ( xem Giả thiết 2.1.1.2) ,đối với u tập compact Q En  R  K * có số h(Q) > cho: f  x,u, p u  hQ  Với mục đích ta thế, ta cần xét tập compact U1 hình cầu đơn vị Q0  U1  1,   K * , x 1 En số 1 ,  xác định điều kiện 1  v1  x  2 Giá trị hữu hạn 1 ,  phụ thuộc vào u  x A , số ak , bk cho uq  x   u  x Nếu x U1 A N1   q  N1  v  x  ,v  x  1,   K t t với t 0,1, * vt  x   1 t u  x   tuq  x   K * Ở ta phải nói đến thu bất đẳng thức: u x uq  x điểm tập lồi K* Do ta   f E 0 uv dt dx  h Q0  meas Q0  ,  n t với q  N1 Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức :  f u C0  x n2 , (2.11) với x  E n , với x  m0 , u  p  K * ,   const  R, m0  const  1; số nguyên dương Không tính tổng qt ta giả sử m0 1 1 lớn  1     u  x  Cho I  u 2  En x q   dt dx , :   0 u v     x  01  u v t dt   u dx  q x  m0     f  u  x   x  01 dt  dx u v t   u q x  m0  C2  sup Cho f t I1   x m0 f u  x f   u 2.12 (2.13) vt Rõ ràng C2 phụ thuộc vào u  x m , K* số ak , bk Từ u  x  uq  x  biểu diễn sở phần tử tập Tk , u    uq   0 và: , u  x  u q  x  x diam K * ; x (2.14) diam K * (2.15) Từ (2.12-2.15) suy C I1  C2 u  x   u  x   q m  n1 2 x Từ u  x   m0 mm0 uq m20 2  m  1   2 x m0   , 1 mm  , với 22  1 ,    x q , (2.16) A 1 m0   21 1  ,  số nguyên thoả mã bất đẳng thức C2 số C0 Cho I    không phụ thuộc vào q   Rõ ràng m  1 2 A 1 2   , C    I  C m2  n1 u  x u    m m1   Sn1  m  1 m 2  x u x  uq    u  x  uq diện tích mặt cầu đơn vị n1     En uq  x u  x n  i1  xi  u   n x  I2     R n i1   xi  xi   0  f ui   vt dt dx ,     u q  x    f dt  dx   xi  ui v   t (2.17) Theo Giả thiết 2.1.1.2 ta có bất đẳng thức : f  C1 ui n x với x  En , với Hàm ug  , i  1, 2, , n , (2.18) x  m0 , u  p  K * R, hội tụ đến hàm x u  x xi xi x  K *, ta uq  x   K*, có: hầu khắp nơi E n với u  x   K * , (2.19) Từ (2.17-19) suy n I2  1  f ui dt   v    m  i m   2C1n diam K *  m t dx x  x n m  m0 số nguyên dương tuỳ ý Từ : dx  x m x x u  x  uq  x   xi dx xi ,  n1 ,  m  n Ta tìm m*  cho với số nguyên m  maxm0,m* ta có bất đẳng thức : 2C1n diam K * n1   ,  m 0 số dương tuỳ ý cho trước Ta cố định số nguyên m maxm0,m* Khi sup  : x m ( i = 1,2, … ,n ), số Cm f u f dt  Cm   , ui vt diam K * Thực phụ thuộc vào m, ak , bk f hàm liên tục theo Giả thiết 2.1.1.2 xét supermum ui i tập compact :  m, ak  x diam K*  u  bk  x x diam K * uq  x  xi pK* q Từ u  x  uq  x  hàm lồi, lim  m dx  u  x x  xi Do ta tìm số N2 cho với q  N :     i n  Như , với f ui vt  dt     u  xi x m  xuq  xdx  xi (2.20)  q  N2 : I2   (2.21) Bây từ (2.11) , (2.16) , (2.21) ta suy lim a *  uq   a * uq  u A 0 u  Bổ đề chứng minh Bổ đề 2.3.2 Toán tử G: Tk  Tk liên tục Chứng minh Cho dãy q Tk hội tụ tới phần tử 0 Tk Ta chứng minh li m q 0 q    2  G  q Từ Tk B 0, (2.22)  G   tập compact B ( xem Bổ đề 2.2.3) , có dãy  hội tụ tới phần tử   B , nghĩa lim qi  Từ Tk khơng gian B j tập đóng B , B q 0 j  Tk Thật may mắn biết hàm tập  , v q , e  hội tụ yếu tới hàm tập   ,v,e j En , vq  x v x j biểu diễn đại diện  q j  thoả mãn điều kiện :  vqi    a * uqi v    a * u0  Mặt khác tất hàm , Fu  a*x q j  không âm thoả mãn bất đẳng thức Fu j q  a* x      f x,uq  a * uq ,uq , j j j  k  x, k  x   bk  , với x  En , z = k(x) phương trình nón lồi chấp nhận K cho trước với hàm uq  x  j Chú ý ta có điều sau: a) lim u q  u0 j j A  0; b) uq  x   K với j * u c) j q xj hội tụ đến u0 xj d)   x, k  x   b M x En số nguyên q j ; hầu khắp nơi En , ( i = 1,2,…, n );  hàm khả tích khơng âm En ; k e) Đánh giá ( 2.11 ) với hàm uq ,u0 Bây ta sử dụng định lý Lebesgue thu   ,v,e   lim  ,uq ,e  lim F  x  dx   j q j    q j  e F   uq j a* uq j u0 a* u0   x  dx e e tập Borel E n Chú ý ta sử dụng tính liên tục hàm a*: Tk  R đẳng thức xuất phát Vì v  x  nghiệm suy rộng lồi phương trình det  v   Fu a*u   x   x x   i j 0 hàm v0 x nghiệm suy rộng lồi phương trình  2v  det  0  F   x  ixj  Từ v  0  v0    a *  u0   x u0 a*u0  nón lồi chấp nhận K nón tiệm cận hai hàm v  x  v0  x  , ta có v  x  v0 = x với x  E n Như (2.22 ) Bây ta kết thúc phần chứng minh Định lý 2.1.2.1 Từ Tk tập compact B, G(Tk ) compact B Hơn , Tk = G(Tk ) Do tốn tử G có điểm bất động  Tk Nhưng hàm u  x   a * u  x  biểu diễn đại diện với hai  G  Do u(x) nghiệm mong muốn tốn biên thứ hai phương trình det(uij )  f (x,u, Du) KẾT LUẬN Luận văn trình bày hợp lý kết đạt Trong luận văn tìm điều kiện cần đủ cho tồn nghiệm suy rộng lồi cho tốn biên thứ hai cho phương trình det(uij )  g(x) R(Du) Hơn luận văn chủ yếu tìm điều kiện đủ vế phải phương trình tổng quát det(uij )  f (x,u, Du) để nghiệm tốn biên thứ hai tồn tồn khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Đức Vân (2008) , Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Ilya J.Bakelman (1994), Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equation, Springer-Verlag Berlin New York [3] Rokafeler R.T (1970), Convex Analysis, Princeton, N.J [4] Pogorelov A.V (1964), Monge-Ampere equations of elliptic type, Groningen, Noordhoff, Groningen ... Phương trình Monge- Ampere 1.2 Bài tốn biên thứ hai phương trình 14 det(uij )  g(x) - 17 R(Du) 1.2.1 Các nghiệm yếu nghiệm suy rộng 17 1.2.2 toán biên thứ hai Bài. .. x,x G Với z1  x   z2 x  ,x G 1.1.5 Phương trình Monge- Ampere 1.1.5.1 Các phương trình Monge- Ampere cổ điển (n=2) Các phương trình Monge- Ampere cổ điển có liên quan đến hàm với hai biến... nghiên cứu tính giải tốn biên thứ hai cho phương trình Monge – Ampere tổng quát : det(uij )  f (x,u, Du) Chương nghiên cứu tỉ mỉ tốn biên thứ hai cho phương trình Monge- Ampere tổng quát lớp nghiệm