Luận văn thạc sĩ phép biến đổi laplace rời rạc với phương trình sai phân

„I HÅC QC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N PhÔm Minh Tián PHP BIN ấI LAPLACE RI RC VẻI PHìèNG TRNH SAI PHN LUN VN THC S Chuyản ng nh: PHìèNG PHP TON Sè CP M số: 60.46.0113 Ngữới hữợng dăn khoa hồc PGS.TS NGUYN THếY THANH H€ NËI- 2014 Mưc lưc Mð ¦u Líi c£m ìn CC KHI NI›M BÊ TRÑ 1.1 KhĂi niằm sai phƠn hỳu hÔn 1.1.1 nh nghắa v vẵ dử 1.1.2 Mởt số tẵnh chĐt cừa sai phƠn 1.2 C¡c khĂi niằm cỡ bÊn và phữỡng trẳnh sai phƠn v nghi»m cõa nâ 1.2.1 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh vợi hằ số hơng v dÔng biu diạn 1.2.2 CĂc nh nghắa v cĂc khĂi niằm liản quan án phữỡng trẳnh sai phƠn 11 1.3 Ph÷ìng ph¡p to¡n tû 12 1.3.1 Mët sè ki¸n thùc v· ph²p bi¸n ời Laplace rới rÔc 12 1.3.2 CĂc nh lỵ v cỉng thùc th÷íng dịng 14 1.3.3 Tẳm gốc tữỡng ựng vợi Ênh cho trữợc 15 1.4 Phử lưc ch÷ìng I 21 1.4.1 B£ng èi chi¸u gèc £nh: 21 1.4.2 B i têp chữỡng I 25 PH×ÌNG PHP GIƒI PH×ÌNG TRœNH SAI PHN27 2.1 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 27 2.1.1 ành ngh¾a 27 2.1.2 Gi£i ph÷ìng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp thuƯn nhĐt 28 2.1.3 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt 28 2.1.4 Phữỡng phĂp bián thiản hơng số tẳm nghiằm riảng f (n) 28 2.1.5 Ph÷ìng ph¡p chån ( Ph÷ìng phĂp hằ số bĐt nh ) 32 2.2 Phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp 38 2.2.1 ành ngh¾a 38 2.2.2 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai thuƯn nhĐt 39 2.2.3 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai khổng thuƯn nhĐt 41 2.2.4 CĂc phữỡng phĂp tẳm nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp hai khổng thuƯn nhĐt 41 2.3 KhĂi quĂt và phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao 48 2.3.1 nh ngh¾a 48 2.3.2 C¡ch gi£i 49 2.4 GiÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh bơng ph÷ìng ph¡p to¡n tû 51 2.4.1 CĂc nh lỵ v cổng thùc th÷íng dịng 51 2.4.2 Lữủc ỗ giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn bơng phữỡng ph¡p to¡n tû 54 2.4.3 C¡c v½ dư 55 MËT SÈ ÙNG DÖNG CÕA SAI PH…N V€ PH’P BI˜N ÊI LAPLACE RÍI R„C TRONG GIƒI TON PHấ THặNG 63 3.1 Tẳm số hÔng tờng quĂt cừa d¢y sè 63 3.2 T½nh têng cừa n số hÔng Ưu mởt dÂy số 66 3.3 Sai phƠn vợi viằc xĂc nh a thực hoc giÊi phữỡng trẳnh h m: 69 3.4 B i tªp 72 Kát luên 73 T i li»u tham kh£o 74 Mð ¦u Câ nhi·u b i to¡n v· d¢y sè ho°c h m sè m gi£ thi¸t ho°c líi gi£i cõa chúng cõ tẵnh chĐt truy hỗi nhữ: tẳm cổng thực số hÔng tờng quĂt cừa mởt dÂy số cho bơng cổng thực truy hỗi, tẵnh tờng n số hÔng Ưu cừa mởt dÂy số, giÊi phữỡng trẳnh h m Nhỳng b i toĂn õ dăn tợi viằc phÊi giÊi cĂc phữỡng trẳnh sai phƠn CĂch thổng thữớng giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn l dỹa trản viằc giÊi phữỡng trẳnh c trững v tẳm nghiằm riảng Mội phữỡng trẳnh sai phƠn khĂc lÔi cõ cĂch chồn nghiằm riảng khĂc Ta biát rơng viằc giÊi phữỡng trẳnh c trững tứ bêc ba tr lản gp khổng ẵt khõ khôn Mt khĂc, náu coi mội dÂy số nhữ giĂ tr cừa mởt h m số tÔi cĂc ối số nguyản thẳ viằc giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn cõ th düa tr¶n c¡c ph²p to¡n cõa h m sè To¡n tỷ Laplace rới rÔc l mởt nhỳng cổng cử giúp giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn cõ hiằu quÊ Sỹ kh¡c bi»t ta sû döng to¡n tû Laplace l ta khổng cƯn giÊi phữỡng trẳnh c trững cõ th tõm tt cĂch giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn theo c¡ch thỉng th÷íng v bê sung ph÷ìng ph¡p to¡n tû Laplace rới rÔc , thƯy hữợng dăn l PGS.TS Nguyạn Thõy Thanh giao cho tæi · t i " Ph²p bián ời Laplace rới rÔc vợi phữỡng trẳnh sai phƠn " Luên vôn ữủc chia l m ba chữỡng Chữỡng I.CĂc khĂi niằm bờ trủ Nởi dung chẵnh cừa chữỡng n y l cung c§p c¡c kh¡i ni»m cì b£n và sai phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh, nh nghắa v mởt số tẵnh chĐt cừa php bián ời Laplace rới rÔc Chữỡng II Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Nởi dung chẵnh cừa chữỡng n y l trẳnh bƯy cĂch giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt, cĐp hai, cĂc phữỡng phĂp chồn nghiằm riảng tũy theo dÔng cừa vá phÊi Cuối chuỡng n y giợi thiằu và phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn bơng cĂch chuyn qua bián ời Laplace rới rÔc Chữỡng III Mởt số ựng dửng cừa sai phƠn v php bián ời Laplace rới rÔc giÊi toĂn phờ thổng Nởi dung chẵnh cừa chữỡng n y l ữa mởt số ựng dửng cừa sai phƠn gi£i to¡n phê thỉng nh÷ x¡c ành cỉng thùc số hÔng tờng quĂt cừa dÂy số, tẵnh tờng cừa n số hÔng Ưu cừa mởt dÂy số, ựng dửng sai ph¥n x¡c ành a thùc, ùng dưng sai phƠn giÊi phữỡng trẳnh h m Do thới gian thỹc hiằn luên vôn khổng nhiÃu, kián thực cỏn hÔn chá nản l m luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v sai sõt TĂc giÊ mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ v nhỳng ỵ kián phÊn biằn cừa quỵ thƯy cổ v bÔn ồc Lới cÊm ỡn Ho n th nh ữủc luên vôn n y, ngo i sỹ nộ lỹc cừa bÊn thƠn, tổi  nhên ữủc sỹ ch bÊo, giúp ù tứ nhiÃu phẵa cừa cĂc thƯy, cổ giĂo, gia ẳnh v bÔn b Tổi xin b y tọ lỏng biát ỡn sƠu sc tợi ngữới thƯy kẵnh mán PGS.TS Nguyạn Thừy Thanh, ngữới  trỹc tiáp truyÃn thử kián thực, quyát nh hữợng nghiản cựu v tên tẳnh hữợng dăn cho tổi ho n th nh bÊn luên vôn Tổi xin chƠn th nh c£m ìn c¡c th¦y, cỉ gi¡o khoa To¡n - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc tỹ nhiản - Ôi hồc Quốc gia H Nởi, nhỳng ngữới  trỹc tiáp giÊng dÔy v giúp ù tổi quĂ trẳnh hồc têp tÔi trữớng to n th bÔn b v ngữới thƠn  õng gõp ỵ kián, giúp ù, ởng viản tổi quĂ trẳnh hồc têp, nghiản cựu v ho n th nh luên vôn n y Do thới gian thỹc hiằn luên vôn khổng nhiÃu, kián thực cỏn hÔn chá nản l m luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá v sai sõt Kẵnh mong nhên ữủc ỵ kián õng gõp cừa cĂc thƯy cổ v bÔn b ỗng nghiằp bÊn luên vôn ữủc ho n chnh hỡn Xin chƠn th nh c£m ìn H Nëi, ng y 20 th¡ng 11 n«m 2014 Hồc viản PhÔm Minh Tián Chữỡng CC KHI NI›M BÊ TRĐ 1.1 Kh¡i ni»m sai ph¥n húu hÔn 1.1.1 nh nghắa v vẵ dử Vợi hơng số h ƒ= 0, h m sè y = f (x) cõ giĂ tr tÔi cĂc im x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, , xn = x0 + nh, (n ∈ N) t÷ìng ùng l y0, y1, , yn, ngh¾a l y0 =f (x0) = f0; y 1) = f (x0 + h) = 1f1=f ; y2(x =f (x2) = f (x1 + h) = f2 ; yn =f (xn ) = f (xn−1 + h) = fn ; K½ hi»u ∆y = f (x + h) − f (x) = f (x) l sai phƠn cĐp mởt cừa h m số f (x) tÔi im x Vêy y0 = ∆f (x0) = y1 − y0; ∆y1 = ∆f (x1) = f (x1 + h) − f (x1) = y2 − y 1; ∆yn−1 = ∆f (xn−1) = yn − yn−1 ∆yn = yn+1 − yn Ta thữớng xt h = phũ hủp vợi viằc nghiản cựu dÂy số vẳ mội số hÔng dÂy sè ÷đc coi l gi¡ trà cõa mët h m số n o õ tÔi cĂc ối số nguyản nh ngh¾a 1.1 Gi£ sû h m sè y xk = x0 + k, k ∈ N Khi â = f (x) ữủc cho tÔi cĂc im yk = fk = f (xk+1) − f (xk) Suy + tan k tan(k − 1) tan + tan tan k tan(k − 1) = tan k − tan(k − 1) = ∆tan(k − 1) ∆tan(k − 1) V¼ vªy tan k tan(k 1) = − Σtan − Σ Do tan k tan(k − 1) tan n − tan 0− ∆tan(k − 1) n = tan tan = n â n Σk =0 Σk=0 n tan k Vª Σ y k= tan(k − 1) = tan n − n tan V½ dư 3.9 T½nh têng Sn = 13 + 23 + + n3 Gi£i Câ Sn+1 − Sn = (n + 1)3 nản ta xt phữỡng trẳnh sai phƠn tữỡng ựng l f (n + 1) f (n) = (n + 1)3, f (0) = tr¼nh c trững tữỡng ựng cõ nghiằm = nản Phữỡng phữỡng trẳnh thuƯn sai phƠn cõ dÔng f (n) = n(an3 + bn2 + cn + d), (a, b, c, d ∈ R) Thay nh§t câ nghi»m f (n) = C vợi C l hơng số, nghiằm riảng cừa phữỡng trẳnh f (n) v o phữỡng trẳnh sai phƠn ta ÷đc (n + 1)(a(n + 1)3 + b(n + 1)2 + c(n + 1))−n(an3 + bn2 + cn + d) = (n + 1)3 1 So s¡nh hằ số hai vá ta ữủc a = , b = , c = , d = 4 Vẳ vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh sai phƠn cõ dÔng f (n) = C + n (n + Vẳ f (0) = nản C = suy Σ2 Sn = n2(n + 1) V½ dư 3.10 T½nh têng 1) sau Σ2 n−1 Σ ke Gi£i k k=0 p döng ành lỵ và Ênh cừa tờng vợi lữu ỵ l ne : Vẳ vêy k n k= Mt khĂc e p+1 k n ep+1 (ep : − e) (ep − e)2 (ep − ep+1 Σ e ep (ep=− e)2(ep − 1) ep (e − 1)2 e−1 ep − + e − p+1 ep − Σ e e (ep − e)2 v theo c¡c cæng thùc (1), (8), (9) b£ng èi chi¸u gèc £nh ta câ n− k k= ke Σ e = Σ n 1−e + (e − 1)2 e− e nen Σ = (e − − en)1)+2 e(1 (e − 1)nen V½ dư 3.11 T½nh têng Gi£i S = n Ta câ + F (p) k : k4 vỵi ∗ ep k=0 v theo nh lỵ và Ênh cõa têng th¼ ∗ k= n4 n1 − Σ S n = 14 + 24 + + n n− Σ (p) l £nh qua bi¸n êi Laplace cõa n4 Theo cỉng thùc thù (5) b£ng èi chi¸u gèc £nh 2p p ep(e3p +1)11e + (ep −+1)11e n4 : suy raΣ k n−1 ep(e3p + 11e2p + 11ep + 1) (ep − 1)6 k=0 °t ep = z ta câ h m t÷ìng ùng z + 11z + 11z + z G(z) = H m G(z) câ cüc iºm z = c§p (z − 1) n¶n Σ Σ Σ d n+3 Res G(z)z n−1 ; = lim z + 11z n+2 + 11z n+1 + z n 15! z→1 (dz)5 = (6n5 − 15n4 + 10n2 n) 30 Do â n−1 n S =n Σ k= +0 30 30 n k = n + (6n −15n +10n −n) = (6n4 +15n3 +10n−1) 4 3.3 Sai phƠn vợi viằc xĂc nh a thực hoc giÊi phữỡng trẳnh h m: Ta  biát rơng: sai phƠn cừa hơng số bơng 0, sai phƠn cừa a thực bêc k l mởt a thực bêc (k-1) nản mởt sè tr÷íng hđp cư thº, vi»c x¡c ành a thùc cõ th sỷ dửng sai phƠn suy luên và bêc cừa a thực Vẵ dử 3.12 XĂc nh a thùcf (x) ∈ R[x] thäa m¢n f (x + 1) − 3f (x) = 2x + ∀x ∈ R Gi£i Ta t¼m a thùc g(x) = ax + b (cũng bêc vợi 2x + ) cho g(x + 1) − g(x) = 2x + 5∀x ∈ R Ta câ a(x + 1) + b − 3(ax + b) = 2x + ∀x ∈ R ⇔ −2ax + a − 2b = 2x + ∀x ∈ R ⇔ a = −1, b = −3 hay g(x) = −x − â (f (x + 1) − g(x + 1)) − 3(f (x) − g(x)) = ∀x ∈ R Câ ∆(f (x) − g(x)) = 2(f (x) − g(x)) ∀x ∈ R suy raf (x) − g(x) ≡ Vªy f (x) = g(x) = x Vẵ dử 3.13 XĂc nh tĐt c£ c¡c a thùc P (x) ∈ R[x] thäa m¢n P (x) − 1) = P (x + 1) + P (x Gi£i ∀x ∈ R Tø gi£ thi¸t ta suy P (x + 1) − P (x) = P (x) − P (x − 1) hay ∆P (x) = ∆P (x − 1) ∀x ∈ R ∀x ∈ R suy ∆2P (x) ∀x ∈ R P (x) ph£i l =0 i·u n y chùng tä mët a thực bêc nhọ hỡn hoc bơng mởt t P (x) = ax + b(a, b R) Thỷ lÔi ta th§y a thùc P (x) = ax + b thọa mÂn iÃu kiằn b i toĂn Vẵ dử 3.14 Tẳm tĐt cÊ cĂc h m f f (f (x)) = 3f (x) − 2x, : R −→ R thäa m¢n ∀x ∈ R Gi£i Thay x bði f (x) ta ÷đc f (f (f (x))) = 3f (f (x)) − 2f (x), ∀x ∈ R Ta coi f3(x) = f (f (f (x))), f2(x) = f (f (x)), f0(x) = x v fn(x) = f ( f (x)) ( n lƯn) Lp lÔi quĂ trẳnh thay bián x bơng f (x) n lƯn phữỡng trẳnh cừa à b i ta ữủc t fn+2(x) = 3fn+1(x) − 2fn(x), (n ≥ 0) xn = fn(x), (n 0) ta ữủc phữỡng trẳnh sai phƠn xn+2 3xn+1 + 2xn = Phữỡng trẳnh c tr÷ng λ2 − 3λ + = câ nghi»m = hoc = nản phữỡng trẳnh sai phƠn  cho cõ nghiằm xn = c1 + c 2 n Khi n = ta câ c1 + c2 = f0 = x, n = ta câ c1 + 2c2 = f (x) v¼ vêy c1 + 2c2 2c2 = x nản f (x) = x + c2 vẳ vêy f (x) = 2x c1 Tõm lÔi, phữỡng trẳnh h m  cho câ nghi»m 2x = 2c1 + 2c2 = c1 + (c1 + 2c2) = c1 + f (x) ho°cf (x) = 2x c1 Vẵ dử 3.15 Tẳm tĐt c£ c¡c h m f : N −→ N thäa m¢n f (x) = x + c2 2f (n)f (k + n) − 2f (k − n) = 3f (n)f (k), k ≥ n, f (1) = Gi£i Cho k = n = ta ÷đc [f (0)]2 − 2f (0) = [f (0)]2 suy f (0) = ho°c f (0) = −2 N¸u f (0) = , chån n = ta −2f (k) = â f (k) = ∀k, chån k = ta ÷đc f (1) = mƠu thuăn vợi giÊ thiát f (1) = f (0) = −2 Chån n = ÷đc 2f (1)f (k + 1) − 2f (k − 1) = 3f (1)f (k) ∀k ↔ 2f (k + 1) − 2f (k − 1) = 3f (k) k °t xk = f (k) ta cõ phữỡng trẳnh sai phƠn Vêy 2xk+1 3xk 2xk1 = Phữỡng trẳnh c trững 2λ2 − 3λ − = câ nghi»m λ = hoc = Phữỡng trẳnh sai ph¥n câ = 2n + −1 Σn nghiằm dÔng xn c1 c2 Vẳ f (0) = −2, f (1) = n¶n c1 = v c2 = −2 Do â nghi»m cõa Σ ph÷ìng trẳnh sai phƠn l xn = n1 2 Vêy h m số cƯn tẳm l f (n) = −2 −1 Σn 3.4 B i tªp B i têp 3.1 ( HSG toĂn lợp 12 tnh HÊi Duỡng nôm 2010) Cho dÂy số u n u1 = thäa m un+1= + n (n = 1; 2; ¢n : 2010 u ) u u2 X²t d¢y =1 + (n = 1; 2; ) Chùng minh d + + u u un−1 sè ¢y un un số cõ giợi hÔn hỳu hÔn v tẳm giợi hÔn õ n B Olympic 70) Cho k tá 19 an i têp 3.2 ; v (d¢y sè bn : To¡n 1q.auèc √ k= bn = − k ≤ a0 ≤ a1 ≤ a ≤ Chùng minh r¬ng ≤ bn < 2∀n ∈ N∗ B i tªp 3.3 (Olympic To¡n Trung Quèc 1964) Cho d¢y sè an: Chùng an < an > 0; a2 n ≤ an − an+1 minh r¬ng1 ((∀n ∈ N∗ ) n (∀n ∈ N∗) B i tªp 3.4 (Olympic To¡n Bungari 1978) Cho d¢y sè an:  2a + a2  a1a2 a ; a2 Z ∈ +a ∈ Z; an ƒ= 0∀n ∈ N∗  = an+2 a2n+1 + aan (∀n ∈ N∗) (nguy¶n a l sè cho trữợc) Chựng minh rơng dÂy số  cho gỗm to n sè B i tªp 3.5 (Olympic To¡n Bungari 1999) Cho dÂy cĂc số nguyản an thọa mÂn: (n 1)an+1 = (n + 1)an − 2(n − 1) (∀n N) Biát a1999 chia hát cho 2000 Tẳm số n nhọ nhĐt cho an chia hát cho 2000 ( n ≥ 2) B i tªp 3.6 (Dü tuyºn IMO 1992) Cho a, b > T¼m f : [0; +∞) −→ [0; +∞) thäa m¢n: f (f (x)) + a.f (x) = b.(a + b).x ∀x ∈ [0; +) Kát luên Sau thới gian hồc têp tÔi Khoa ToĂn - Cỡ - Tin hồc, Trữớng Ôi hồc Khoa hồc Tỹ nhiản, Ôi hồc Quốc gia H Nởi ữủc cĂc thƯy cổ trỹc tiáp giÊng dÔy v hữợng dăn c biằt l PGS TS Nguyạn Thừy Thanh, tổi  ho n th nh luên vôn vợi à t i "Php bián ời Laplace rới rÔc vợi phữỡng trẳnh sai phƠn" Luên vôn  tõm tt cĂch giÊi v ữa vẵ dử và phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp mởt, cĐp hai, khĂi quĂt cĂch giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh cĐp cao Luên vôn  giợi thiằu cĂch giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh bơng phữỡng phĂp toĂn tỷ Luên vôn  ữa mởt số ựng dửng cừa sai phƠn v php bián ời Laplace rới rÔc giÊi toĂn phờ thổng CĂc vẵ dử luên vôn ữủc trẵch dăn tứ nhỳng sĂch ữủc liằt kả mửc T i liằu tham khÊo Mởt số vẵ dử tĂc giÊ sữu tƯm tø c¡c · thi håc sinh giäi bªc trung håc phờ thổng Tuy nhiản thới gian thỹc hiằn luên vôn khổng nhiÃu, cỏn cõ nhỳng sai sõt, em rĐt mong nhên ữủc sỹ gõp ỵ cừa quỵ thƯy cổ v bÔn ồc T i liằu tham khÊo [1] Nguyạn Thừy Thanh, H m bián phực vợi php bián ời Laplace, NXB HQGHN, 2010 [2]Nguyạn Thừy Thanh , Hữợng dăn giÊi b i têp h m bián phực, NXB HQGHN, 2011 [3]Nguyạn Vôn Mêu, TrƯn Nam Dụng, Nguyạn Minh TuĐn, Chuyản à chồn lồc dÂy số v Ăp dửng, NXBGD, 2008 [4]Lả ẳnh nh, B i têp phữỡng trẳnh sai phƠn, NXB HQGHN, 2011 [5]Nguyạn Vôn Mêu, Nguyạn Vôn Tián, Mởt số chuyản à Ôi số bỗi dữùng hồc sinh giäi trung håc phê thæng, NXBGD, 2010 ... phữỡng trẳnh sai phƠn cõ th dỹa trản cĂc php toĂn cừa h m số ToĂn tỷ Laplace rới rÔc l mởt nhỳng cổng cử giúp giÊi phữỡng trẳnh sai ph¥n câ hi»u qu£ Sü kh¡c bi»t ta sû dưng to¡n tû Laplace l ta... trẳnh sai phƠn theo cĂch thổng thữớng v bờ sung phữỡng phĂp toĂn tỷ Laplace rới rÔc , thƯy hữợng dăn l PGS.TS Nguyạn Thừy Thanh giao cho tỉi · t i " Ph²p bi¸n êi Laplace ríi rÔc vợi phữỡng trẳnh sai. .. cĂc khĂi niằm cỡ bÊn và sai phƠn, phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh, nh nghắa v mởt số tẵnh chĐt cừa php bián ời Laplace rới rÔc Chữỡng II Phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh sai phƠn tuyán tẵnh Nởi