Mục lục Mở đầu Chơng Bài toán Cauchy cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên 1.1 12 Trờng hợp hạng hệ số lµ h»ng 13 1.1.1 Kh¸i niƯm chØ sè 13 1.1.2 Bài toán Cauchy 21 Bài toán khởi tạo giá trị ban đầu 28 Trờng hợp hệ số có hạng thay ®æi 33 1.1.3 1.2 Chơng Bài toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn với hệ số biến thiên 41 2.1 Khái niệm toán qui 42 2.2 2.3 Sù tån t¹i nghiệm toán qui 49 Tính giải đợc toán không chÝnh qui 58 Ch−¬ng Phơng trình sai phân ẩn số phơng trình vi phân đại số số 3.1 76 Lợc đồ sai phân Euler cho toán Cauchy phơng trình vi phân đại số số 77 3.1.1 Tính tơng thích khái niệm số phơng trình vi phân đại số phơng trình sai ph©n Èn 77 3.1.2 3.2 Sù héi tơ lợc đồ Euler 82 Lợc đồ sai phân Euler cho toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân ®¹i sè chØ sè 91 i 3.2.1 Mối liên hệ tính qui toán liên tục 3.2.2 rời rạc 93 Sự hội tụ lợc đồ Euler 99 KÕt luËn chung 111 Danh mục công trình đà công bố liên quan đến luận án 113 Tài liệu tham khảo 114 N- tập số tự nhiên bảng ký hiệu Nk = {n ∈ N : n ≥ k}, N0 = N ∪ {0} k = n1, n2- k ∈ {n : n ∈ N0 vµ n1 n n2}, ë n1, n2 N0 R, Rm, Rmìm- trục số thực, không gian véc tơ thực m-chiều, không gian ma trËn vu«ng thùc cÊp m C(J, Rm), C1(J, Rm)- không gian hàm véc tơ liên tục (khả vi liên tục) đoạn J := [t0,T ] kxk- chuẩn Euclid cđa vÐc t¬ x AT , A−1, kAk- chun vị, nghịch đảo, chuẩn ma trận A (tơng thích với chuẩn Euclid véc tơ) I- ma trận đơn vị cấp m O- ma trận vuông không cấp m (C , , CN ) ∈ Rm×m(N+1)- ma trận có cột cột ma trận C0, , CN Rmìm kerA- nhân ma trËn A rankA- h¹ng cđa ma trËn A ImA- ¶nh cđa ma trËn A dimX- sè chiỊu cđa kh«ng gian X span{v1, , vn}- kh«ng gian sinh bëi véc tơ v1, , An = UnnV n T - khai triển kì dị ma trận An diag(M, N )- ma trËn ®−êng chÐo khèi e ker(D, CN QN1)/R- không gian thơng e CN QN1)+- nghịch ®¶o suy réng theo Moore-Penrose cđa (D, CN QN−1) (D, De = PN C nX n- ma trËn b¾n cđa toán biên nhiều n= Mở đầu Phơng trình sai phân thờng xuất ngời ta mô tả tợng tiến hoá quan sát đợc tự nhiên Chẳng hạn, xét trình phát triển dân số năm một quốc gia hay vùng Nếu gọi xn+1 số dân thời điểm năm n + xn+1 hàm số dân xn thời điểm năm trớc Sự liên hệ đợc mô tả hệ thức: xn+1 = f (xn, n), n Nn0 Phơng trình sai phân theo biến độc lập n hàm phải tìm un phơng trình hàm có dạng F (un+1, u n , , un−k, n) = 0, Nn0 , (0.1) n k số nguyên không âm, F hàm theo biến un+1, u n , , u n−k,n vµ n0 số nguyên dơng đà cho Trong trờng hợp k hữu hạn, (0.1) đợc gọi phơng trình sai phân cấp k + Tơng tự nh phơng trình vi phân, phơng trình sai phân cấp k +1 đa đợc hệ phơng trình sai phân cÊp d¹ng f (xn+1, xn, n) = 0, , (0.2) n Nn0 xn (n Nn0 ) f véc tơ hàm véc tơ Vì xét phơng trình sai phân có cấp hữu hạn không gian Rm ta cần đề cập đến phơng trình sai phân cấp dạng (0.2) Một hớng tiếp cận quan trọng khác coi phơng trình sai phân nh kết việc rời rạc hoá phơng trình vi phân, tích phân, vi-tích phân đạo hàm riêng Vấn đề đợc trình bày kĩ phần sau Lý thuyết phơng trình sai phân tìm đợc nhiều ứng dụng lÜnh vùc cđa to¸n häc cịng nh− c¸c khoa häc khác, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lợng tử, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học xà hội học, Vì vậy, việc nghiên cứu phơng trình sai phân vấn đề thời toán học đợc nhiều nhà khoa học quan tâm Trong thời gian gần đà có nhiều tài liệu chuyên khảo viết phơng trình sai phân (xem [1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]) Ngoài ra, có hàng ngàn báo khoa học phơng trình sai phân ứng dụng Có tạp chí quốc tế (Journal of Difference Equations and Applications) chuyên đăng tải vấn ®Ị nµy Ta biÕt r»ng nÕu kerf (y, x, t) = {0} (0.2) đa dạng y xn+1 = g(xn, n),n ∈ Nn0 Nh−ng nÕu f xn+ (0.3) (xn+1 , xn , n) suy biÕn, tøc lµ ker f (y, x, t) 6={0} nói y chung (0.2) không đa đợc dạng (0.3) Trong trờng hợp này, (0.2) đợc gọi phơng trình sai phân ẩn Khi ấy, kết phơng trình sai phân thờng (0.3) nói chung không Hiện tợng xảy giống nh ta xét phơng trình vi phân đại số f (x0 , x, t) = 0, := [t0 , T ], (0.4) tJ ma trận fx0 (x0, x, t) không khả nghịch với giá trị biến Hiện nay, hớng phát triển mạnh lý thuyết phơng trình vi phân nghiên cứu phơng trình vi phân suy biến (0.4) Đây lĩnh vực đợc nhiều nhà khoa học quan tâm nhiều toán thực tế dẫn đến phơng trình vi phân đại số (0.4) Các ví dụ toán suy biến đa đến nghiên cứu phơng trình vi phân đại số toán điều khiển tối u, toán nhiễu kì dị, toán nửa rời rạc sai phân hoá phơng trình đạo hàm riêng phơng pháp đờng thẳng, toán mô hình mạng điện (xem [16], [14], [13]) Phơng trình vi phân đại số đà đợc Gantmacher nghiên cứu từ lâu (xem [19]) Nhng mÃi đến năm 80, phơng trình vi phân đại số đợc đặc biệt quan tâm Đà xuất hàng loạt công trình nghiên cứu vấn đề (xem [16], [14], [15]) Bằng cách sử dụng biến đổi Kronecker cho cặp ma trận, ngời ta nhận đợc công thức nghiệm phơng trình vi phân đại số tuyến tính ôtônôm Ax0 (t) + Bx(t) = q(t), (0.5) t ∈ J, víi A lµ ma trËn suy biÕn Cho ®Õn cuèi thËp kû 80, mét loạt kết phơng trình tuyến tính A(t)x0 (t) + B(t)x(t) = q(t), t ∈ J, (0.6) ë ®©y ma trËn A(t) suy biÕn víi mäi t ∈ J , đà đợc công bố viết thành tài liệu chuyên khảo (xem [21], [23], [13]) Có nhiều cách đa khái niệm số cho phơng trình (0.6), khái niệm để đo khoảng cách phơng trình vi phân đại số phơng trình vi phân thờng Phơng trình vi phân đại số có số lớn độ phức tạp để xử lý chúng cao đây, ta đề cập đến khái niệm số phơng trình (0.6) theo nghĩa Griepentrog Marz Khái niệm số lớn theo nghĩa Griepentrog Marz c¸c kh¸i niƯm chØ sè theo c¸ch kh¸c cã thĨ tìm đợc [20] Theo Griepentrog Marz (0.6) đợc gọi có số tồn phép chiếu trơn Q(t) lên kerA(t) cho ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với t J Đà chứng minh đợc rằng, toán Cauchy với (0.6) có số điều kiện ban đầu P (t0)(x(t0) x0) = 0, (0.7) với P (t) := I Q(t), giải đợc nghiệm Hơn nữa, công thức nghiệm (0.6) (0.7) có dạng x(t) = u(t)+ Q(t)G1(t)(q(t) B(t)u(t)), u(t) nghiệm toán giá trị ban đầu u0 (t) = P (t)G1 (t)(q(t) B(t)u(t)), J, u(t0) = u0 := P (t0)x0 t Khác với toán Cauchy cho phơng trình vi phân thờng, điều kiện ban đầu thờng đợc viết dới dạng x(t0) = x0, toán giá trị ban đầu phơng trình vi phân đại số đòi hỏi P (t0)(x(t0) x0) = Không phải giá trị x0 sử dụng để khởi tạo x(t) Bài toán biên hai điểm cho phơng trình vi phân đại số (0.6) với điều kiƯn biªn C x(t )+ CT x(T ) = (0.8) đà đợc Griepentrog Marz nghiên cứu (xem [21]) Bài toán (0.6) (0.8) giải đợc nghiệm ma trận b¾n D := C X(t )+ CT X(T ) thoả mÃn điều kiện kerD=kerA(t0) ImD=Im(C0, CT ) Các kết sâu sắc toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số tìm đợc báo Lentini Marz (xem [29]) P K Anh (xem [3]) Lý thuyết định tính phơng trình vi phân đại số nh tính ổn định nghiệm, bán kính ổn định phơng trình đặc biệt phơng pháp số để giải toán phơng trình vi phân đại số đợc nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34], [36], [38], [39], [41]) Cũng giống nh phơng trình vi phân đại số, thực tế có nhiều toán dẫn nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn Có hai mô hình thực tế tiêu biểu vấn đề mô hình dân số Leslie (xem [16], [14]) mô hình kinh tế Leontief (xem [14], [17]) Mô hình dân số Leslie đợc mô tả phơng trình sai phân xn+1 = Tnxn, b1 (n) b2 (n) bm−1 (n) bm (n) p1(n) Tn = p2(n) 0 pm1(n) Đặt t đơn vị thời gian, mt tuổi thọ tối đa cá thể vµ A1 := (0, ∆t], A2 := (∆t, 2∆t], , Am := ((m1)t, mt] Trong pk(n) khả cho phụ nữ có độ tuổi thuộc Ak thêi gian n∆t sÏ cã ®é ti thc Ak+1 thêi gian (n + 1)∆t Nãi c¸ch kh¸c, pk(n) tỷ lệ sống sót bà mẹ độ tuổi Ak vào thời gian nt Còn bk(n) số trẻ sơ sinh nữ đợc sinh thời gian (n + 1)t bà mẹ có ®é ti thc Ak, tøc lµ bk(n) lµ tû lƯ sinh Ta th−êng gäi ma trËn Tn lµ ma trËn Leslie Trong thực tế, nghiên cứu phát triển dân số vùng nhiều ta biết phân bố số dân theo độ tuổi vùng thời điểm xn 0= x0 ta cần tìm phân bố số dân theo độ tuổi vùng thời điểm trớc xn0k, tức ta cần giải to¸n xn+1 (0.10) = Tn xn , n = n 0x− k, n0 − 1, n = Điều không may mắn ma trận Leslie thờng suy biến Chẳng hạn ta xét t = (năm) m = 20, tức ta cã A1 = (0, 5], , A20 = (95, 100] Chóng ta cã thĨ cho r»ng tån t¹i k0 cho b20(n) = · · · = b20k0 (n) = với n, điều có nghÜa lµ b1 (n) b2(n p1 (n) Tn = bm−k −1( n) bm−k0 (n) 0 0 0 0 pm−k0 (n) p2(n ) 0 pm−k −1( n) 0 ) 0 pm−k +1( n) 0 0 0 0 0 Víi phÐp ®ỉi biÕn ui = xn0 −i (i = 0, k) phép đặt Mi = Tn0 i (i = 0, k), toán (0.10) trở thành Mi ui+1 = ui , i (0.100 ) = 0, k − 1, u0 = x Râ rµng (0.10) toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn Mô hình kinh tế Leontief đợc mô tả hệ suy biến xn = Axn + B(xn+1 xn)+ dn, hay N đợc x0 = e−(1+τ ) §Ĩ ý τ = hai 1+(1+τ)N N điểm (3.62), (3.63) , ta nhận đợc nghiệm toán biên e(1+N1 )N 1+(1+ )N e−(1+ ) − 1+(1+ N)N x0 = N N , x = n N e+1 1+(1+N1 )N e+1 − 1+(1+ ) N N ((1 + +t N n (1 + )N e+1 = N n − N +1 (1 + )n + n )N )tn −1 −1 N N 1+(1+ )N e + n N tn , n = 1,N, − 1+(1+ )N ((1 + N ) ) ®ã tn = nτ = n − 2tn + N Mặt khác, x(tn ) = etn + tn t , x(t) nghiệm toán biên hai e n 2tn + điểm (1.2), (3.32) với liệu cho (3.61) Vì rõ ràng 0, tức N → +∞ ta cã xn → x(tn), n N Điều chứng tỏ lợc đồ sai phân xét ví dụ hội tụ kết luận Trong ba lợc đồ sai phân thờng dùng lợc đồ sai phân lùi áp dụng cho phơng trình vi phân đại số số cho phơng trình sai phân thờng (xem [21], [13]), hai lợc đồ sai phân lại dẫn đến phơng trình sai phân ẩn Do cha có kết phơng trình sai phân ẩn không dừng, nên cha thấy tài liệu đề cập đến việc rời rạc phơng trình vi phân đại số phơng pháp Euler hay phơng pháp sai phân trung tâm Kết nhận đợc Chơng tơng thích khái niệm số phơng trình vi phân đại số phơng trình sai phân ẩn khẳng định tính hợp lý khái niệm số phơng trình sai phân ẩn đợc đa từ đầu luận án Đối tợng nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn, không sâu nghiên cứu việc giải số phơng trình vi phân đại số Về vấn đề độc giả quan tâm tìm thấy nhiều tài liệu, chẳng hạn nh [21], [23], [8], [13], Đó lý không đa so sánh phơng pháp Euler đà biết với phơng pháp số khác Qua chứng minh hội tụ phơng pháp Euler cho toán Cauchy phơng trình vi phân đại số số 1, ta thấy chất trình rời rạc liên quan đến phần khả vi, tức phần P (t)x(t) nghiệm x(t) Để chứng minh đợc hội tụ này, đà khéo léo tách phần Pn1xn P (t)x(t) hai toán rời rạc liên tục để phần Pn1xn nghiệm rời rạc hội tụ đến nghiệm un với un nhận đợc phơng pháp Euler toán giá trị ban đầu cho phơng trình vi phân thờng u(t) := P (t)x(t) Đối với toán biên nhiều điểm tơng thích tính qui hai toán rời rạc liên tục không Một kết hay đà nhận đợc chơng nghiệm toán rời rạc mở rộng, cách thêm vào phơng trình (3.42), hội tụ nghiệm toán liên tục Kết cho thấy điều kiện qui toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn số 1, mà đà nhận đợc Chơng 2, khác hẳn với điều kiện qui toán biên nhiều điểm cho phơng trình vi phân đại số Kết luận chung Luận án nghiên cứu toán giá trị ban đầu toán biên nhiều điểm cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng Đồng thời, đa mối liên hệ phơng trình sai phân ẩn tuyến tính phơng trình vi phân đại số Những kết luận án là: Đa khái niệm số phơng trình sai phân ẩn tuyến tÝnh kh«ng dõng ThiÕt lËp c«ng thøc nghiƯm t−êng minh toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn số Trình bày số kết toán khởi tạo giá trị ban đầu Xây dựng công thức nghiệm cho toán Cauchy phơng trình sai phân ẩn hệ số có hạng thay đổi Nhận đợc điều kiện cần đủ tính giải đợc nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình sai phân ẩn số Thiết lập điều kiện cần đủ tính giải đợc đa công thức nghiệm tổng quát tờng minh để tìm nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình sai phân ẩn số trờng hợp toán không giải đợc nghiệm Chứng tỏ áp dụng phơng pháp Euler cho phơng trình vi phân đại số số ta nhận đợc phơng trình sai phân ẩn số Hơn nghiệm toán giá trị ban đầu phơng trình sai phân ẩn số hội tụ đến nghiệm toán giá trị ban đầu phơng trình vi phân đại số số tơng ứng Chỉ không tơng thích tính nghiệm toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số số toán tơng ứng cho phơng trình sai phân ẩn số nhận đợc rời rạc toán liên tục phơng pháp Euler Chứng minh hội tụ lợc đồ Euler cho toán biên nhiều điểm phơng trình vi phân đại số số 111 112 Về phơng pháp, luận án đà trình bày hớng tiếp cận hiệu cho đối tợng khó nghiên cứu, hệ tuyến tính suy biến không dừng Với phơng pháp tiếp cận này, luận án đà giải đợc lớp rộng toán suy biến thờng gặp thực tế Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm bán kính ổn định phơng trình sai phân ẩn tuyến tính số Đa khái niệm số cao cho phơng trình sai phân ẩn tuyến tính Tiếp tục nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn phi tuyến Tìm mô hình thực tế đa nghiên cứu phơng trình sai phân ẩn tuyến tính số Danh mục công trình đà công bố liên quan đến luận án P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 P K Anh, L C Loi (2001), On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations, Vietnam J Math 29 (3): 281286 L C Loi, N H Du, P K Anh (2002), On linear implicit non-autonomous systems of difference equations, J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 113 Tài liệu tham khảo [1] R P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Inc [2] R P Agarwal, D O’Regan (2001), Infinite Interval Problems for Differential, Difference and Integral Equations, Kluwer Academic Publishers [3] P K Anh (1997), ”Multipoint boundary-value problems for transferable differential-algebraic equations I-Linear case”, Vietnam J Math 25 (4): 347358 [4] P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), ”Connections between implicit differ- ence equations and differential-algebraic equations”, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 [5] P K Anh, L C Loi (2001), ”On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations”, Vietnam J Math 29 (3): 281286 [6] C Are´valo, G Soderlind (1995), ”Convergence of multistep discretizations of DAEs”, BIT 35 (1): 143-168 [7] U M Ascher, R M M Mattheij, R D Russell (1988), Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Prentice Hall [8] U Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia [9] M F Bondarenko, A G Rutkas (1998), ”On a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 7: 11-15 114 115 [10] M F Bondarenko, L A Vlasenko, A G Rutkas (1999), ”Periodic solutions of a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 1: 9-14 [11] M F Bondarenko, A G Rutkas (2001), ”Criteria for the determinacy of implicit discrete nonautonomous systems”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 2: 7-11 [12] M Bracke (2000), On Stability Radii of Parametrized, Linear DifferentialAlgebraic Systems with Applications to Electrical Networks , Ph D thesis, Vom Fachbereich Mathematik der Universitaăt Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades [13] K E Brenan, S L Campell, L R Petzold (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations, North-Holland, New York [14] S L Campbell (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman Advanced Publishing Program [15] S L Campbell (1982), Singular Systems of Differential Equations II, Pitman Advanced Publishing Program [16] S L Campbell, C D Meyer (1978), Generalized Inverses of Linear Transformations, Pitman [17] L Dai (1989), Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences 118, Springer-Verlag [18] S N Elaydi (1995), An Introduction to Difference Equations, Springer-Verlag [19] F R Gantmacher (1959), Theory of Matrices, Vol 1, 2, Chelsea, NewYork [20] E Griepentrog, M Hanke, R Marz (1992), Berliner Seminar on DifferentialAlgebraic Equations Seminar Notes, Berlin [21] E Griepentrog , R Marz (1986), Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner-Text Math., Vol 88, Teubner, Leipzig [22] G H Golub, C F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press [23] E Hairer, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag [24] E Isaacson, H B Keller (1966), Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, Inc [25] T Kato (1966), Perturbation Theory for Linear Operator, Springer-Verlag, New York [26] R K Kittappa (1993), ”A representation of the solution of the nth order linear difference equation with variable coefficients”, Linear Algebra Appl 193: 211-222 [27] P Kunkel, V Mehrmann (1996), ”A new class of discretization methods for the solution of linear differential-algebraic equations with variable coefficients”, SIAM J Numer Anal 33 (5): 1941-1961 [28] V Lakshmikantham, D Trigiante (1988), Theory of Difference Equations Numerical Methods and Applications, Academic Press, Inc [29] M Lentini, R Marz (1990), ”The condition of boundary value problems in transferable differential-algebraic equations”, SIAM J Numer Anal 27: 1001-1015 [30] Y Li, X Zhang, Y Liu (2000), ”Basic theory of linear singular discrete systems with delay”, Appl Math Comput 108: 33-46 [31] H Liu, Y Song (2003), ”Stability of numerical methods for solving linear index-3 DAEs”, Appl Numer Math 134: 35-50 [32] L C Loi, N H Du, P K Anh (2002), ”On linear implicit non-autonomous systems of difference equations”, J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 [33] R K Mallik (1997), ”On the solution of a second order linear homogeneous difference equation with variable coefficients”, J Math Anal Appl., 215: 3247 [34] R Marz (1995), ”On linear differential-algebraic equations and linearizations”, Appl Numer Math 18: 267-292 [35] E Navarro, M V Ferrer, L Jo´dar (1994), ”Closed form general solution of nonhomogeneous implicit higher order difference systems”, Appl Math Comput 60: 113-123 [36] H Pasic (1999), ”Multipoint boundary-value problems”, J Optim Theory Appl 100 (2): 397-416 [37] C Qian (2002), ”Convergence of a difference equation and its applications”, J Diff Eq Appl (2): 163-175 [38] P J Rabier, W C Rheinboldt (1996), ”Classical and generalized solution of time-dependent linear differential-algebraic equations”, Linear Algebra Appl 245: 259-293 [39] A Rachid (1993), ”A remark on the discretization of singular systems”, Automatica 31 (2): 347-348 [40] J Sreedhar, P V Dooren (1999), ”Periodic descriptor systems: Solvability and Conditionability”, IEEE Trans Automatic Control 44 (2): 310-313 [41] R Stover (2001), ”Collocation methods for solving linear differentialalgebraic boundary value problems”, Numer Math 88: 771-795 [42] C-J Wang (1999), ”Controllability and observability of linear time-varying singular systems”, IEEE Trans Automatic Control 44 (10): 1901-1905 [43] S Xu, C Yang, Y Niu, J Lam (2001), ”Robust stabilization for uncertain discrete singular systems”, Automatica 37: 769-774 [44] X Yan (1997), ”Singularly perturbed differential-algebraic equations I: Asymptotic expansion of outer solutions”, J Math Anal Appl 207: 326-344 ... ? ?1 ? ?1 Pen? ?1 Gn? ?1 Bn? ?1 Pen−2 = Pen? ?1 Gn? ?1 Bn? ?1 (I − Qn−2 Vn−2 Vn? ?1 Gn? ?1 Bn? ?1 ) T ? ?1 = Pn−1Gn−1Bn? ?1 − − − e Gn1 Pn1 Bn1Qn2Vn2V n1Gn1Bn1 Đẳng thức (1. 8) đợc ethiết lập ta chứng minh đợc Pen1 G ? ?1. .. phân ẩn số phơng trình vi phân đại số số Khái niệm số phơng trình sai phân ẩn đa thể độ suy biến phơng trình sai phân ẩn Nói cách khác, đo khoảng cách phơng trình sai phân ẩn phơng trình sai phân. .. P n? ?1 1 n− Q∗V T n− = O, − suy Pen? ?11 Gn−1Gbn? ?1 = Pen? ?1 Pn? ?1 Hơn nữa, Pen1 Pn1 = Pen1 (I Vì ta cã ? ?1 ? ?1 = Pen Gn− , hay Pen Gn− Gn− = G1b−− , tøc lµ hƯ thøc n 1 b1 Pen? ?1 Pen? ?1 ? ?1 e ? ?1 (1. 10)