Phương trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng chỉ số 1

MỤC LỤC 3.2.1 Mối liên hệ tính qui toán liên tục BẢNG Ký HIỆU N- tập số tự nhiên N = {n E N : n > k}, N0 = N u {0} k = n ,n - k E {n : n E N n n n }, n , n E N 1 2 R, R , R - trục số thực, không gian véc tơ thực m-chiều, không gian ma m mxm trận vuông thực cấp m C(J, R ), C (J, R )- không gian hàm véc tơ liên tục (khả vi liên tục) m m đoạn J := [t ,T] ||x||- chuẩn Euclid véc tơ x A , A , ||A||- chuyển vị, nghịch đảo, chuẩn ma trận A (tương thích với T -1 chuẩn Euclid véc tơ) I- ma trận đơn vị cấp m O- ma trận vuông không cấp m (Co, ,C ) E R N mxm(N 1) + - ma trận có cột cột ma trận C0, ,CN E R mxm kerA- nhân ma trận A rankA- hạng ma trận A ImA- ảnh ma trận A dimX - số chiều không gian X span{v , , v }- không gian sinh véc tơ v , , v n n A = UnXnViT- khai triển kì dị ma trận A n n diag(M, N)- ma trận đường chéo khối ker(D,C QN )/R- không gian thương N -1 (D, C QN )+- nghịch đảo suy rộng theo Moore-Penrose (D, C QN ) N N -1 N D = P C X - ma trận bắn toán biên nhiều điểm n=0 n n -1 MỞ ĐẦU Phương trình sai phân thường xuất người ta mơ tả tượng tiến hố quan sát tự nhiên Chẳng hạn, xét trình phát triển dân số năm một quốc gia hay vùng Nếu gọi x +1 số dân n thời điểm năm n + x hàm số dân x thời điểm năm n+1 n trước Sự liên hệ mô tả hệ thức: Xn+1 = f (xn,n), n E Nno Phương trình sai phân theo biến độc lập n hàm phải tìm u phương n trình hàm có dạng F (Un+1,Un, ,Un-k, n) = 0, n E Nno , (0.1) k số ngun khơng âm, F hàm theo biến u , u , , u , n n+1 n n-k n số nguyên dương cho Trong trường hợp k hữu hạn, (0.1) gọi phương trình sai phân cấp k + Tương tự phương trình vi phân, phương trình sai phân cấp k + đưa hệ phương trình sai phân cấp dạng f (x +1,x ,n) =0, n E Nno, n (0.2) n x (n E N 0) f véc tơ hàm véc tơ Vì xét phương n n trình sai phân có cấp hữu hạn khơng gian R ta cần đề cập đến phương m trình sai phân cấp dạng (0.2) Một hướng tiếp cận quan trọng khác coi phương trình sai phân kết việc rời rạc hố phương trình vi phân, tích phân, vi-tích phân đạo hàm riêng Vấn đề trình bày kĩ phần sau Lý hợp, lĩnh thuyết vực phương trình sai tìm nhiều ứng dụng số, lý toán thuyết học khoa họcviệc khác, chẳng hạn giải tích điều tổ khiển, lý thuyết trị chơi, lývậy, thuyết số, lý thuyết xác giải tích khoa kinh tế học học, máy tính, lýhọc, thuyết lý thuyết lượng tử, disuất, truyền học, tâm phân lý học xã hội phân Vìmạch, nghiên cứu phương trình sai vẩn đề thời toán học nhiều nhà khoa học quan tâm Trong thời gian gần có nhiều tài liệu chuyên khảo viết phương trình sai phân (xem [1], [2], [18], [28], [22], [26], [37]) Ngồi ra, cịn có hàng ngàn báo khoa học phương trình sai phân ứng dụng Có tạp chí quốc tế (Journal of Difference Equations and Applications) chuyên đăng tải vẩn đề Ta biết ker f (y, x, t) = {0} (0.2) đưa dạng Xn+1 = g(xn,n), n E Nno Nhưng fX n+1 (x n+1 (0.3) ,x , n) suy biến, tức ker f°y(y,x,t) = {0} nói chung n (0.2) khơng đưa dạng (0.3) Trong trường hợp này, (0.2) gọi phương trình sai phân ẩn Khi ẩy, kết phương trình sai phân thường (0.3) nói chung khơng cịn Hiện tượng xảy giống ta xét phương trình vi phân đại số f (x',x,t)=0, t E J :=\tữ,T], (0.4) ma trận f'x' (x', x, t) không khả nghịch với giá trị biến Hiện nay, hướng phát triển mạnh lý thuyết phương trình vi phân nghiên cứu phương trình vi phân suy biến (0.4) Đây lĩnh vực nhiều nhà khoa học quan tâm rẩt nhiều tốn thực tế dẫn đến phương trình vi phân đại số (0.4) Các ví dụ tốn suy biến đưa đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số tốn điều khiển tối ưu, tốn nhiễu kì dị, tốn nửa rời rạc sai phân hố phương trình đạo hàm riêng phương pháp đường thẳng, toán mơ hình mạng điện (xem [16], [14], [13]) Phương trình vi phân đại số Gantmacher nghiên cứu từ lâu (xem [19]) Nhưng đến năm 80, phương trình vi phân đại số đặc biệt quan tâm Đã xuẩt hàng loạt cơng trình nghiên cứu vẩn đề (xem [16], [14], [15]) Bằng cách sử dụng biến đổi Kronecker cho cặp ma trận, người ta nhận công thức nghiệm phương trình vi phân đại số tuyến tính ơtơnơm với A ma trận suy biến Cho đến cuối thập kỷ 80, loạt kết phuong trình tuyến tính A(t)x'(t) + B(t)x(t) = q(t), t J, (0.6) ma trận A(t) suy biến với t E J, đuợc công bố viết thành tài liệu chuyên khảo (xem [21], [23], [13]) Có nhiều cách đua khái niệm số cho phuơng trình (0.6), khái niệm để đo ”khoảng cách” phuơng trình vi phân đại số phuơng trình vi phân thuờng Phuơng trình vi phân đại số có số lớn độ phức tạp để xử lý chúng cao Ở đây, ta đề cập đến khái niệm số phuơng trình (0.6) theo nghĩa Griepentrog Mar/ Khái niệm số lớn theo nghĩa Griepentrog Mar/ khái niệm số theo cách khác tìm đuợc [20] Theo Griepentrog Mar/ (0.6) đuợc gọi có số tổn phép chiếu trơn Q(t) lên kerA(t) cho ma trận G(t) := A(t) + B(t)Q(t) khả nghịch với t E J Đã chứng minh đuợc rằng, toán Cauchy với (0.6) có số điều kiện ban đầu P(to)(x(to) - x )=0, (0.7) o với P(t) := I — Q(t), giải đuợc nghiệm Hơn nữa, cơng thức nghiệm (0.6) (0.7) có dạng x(t) = u(t) + Q(t)G (t)(q(t) — B(t)u(t)), u(t) -1 nghiệm tốn giá trị ban đầu u'(t) = P(t)G (t)(q(t) — B(t)u(t)), t E J, -1 u(t ) = u := P(t )x 0 0 Khác với toán Cauchy cho phuơng trình vi phân thuờng, điều kiện ban đầu thuờng đuợc viết duới dạng x(t ) = x , toán giá trị ban đầu 0 phuơng trình vi phân đại số đòi hỏi P(t )(x(t ) — x ) = Không phải giá trị 0 x sử dụng để khởi tạo x(t) Bài tốn biên hai điểm cho phuơng trình vi phân đại số (0.6) với điều biên kiện Griepentrog Marz nghiên cứu (xem [21]) Bài toán (0.6) (0.8) giải nghiệm ma trận bắn D := C X(to) + C X(T) T thoả mãn điều kiện kerD=kerA(t ) ImD=Im(C , C ) Các kết sâu sắc T toán biên nhiều điểm phương trình vi phân đại số tìm báo Lentini Marz (xem [29]) P K Anh (xem [3]) Lý thuyết định tính phương trình vi phân đại số tính ổn định nghiệm, bán kính ổn định phương trình đặc biệt phương pháp số để giải tốn phương trình vi phân đại số nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (xem [21], [13], [7], [12], [31], [43], [44], [6], [27], [34], [36], [38], [39], [41]) Cũng giống phương trình vi phân đại số, thực tế có nhiều tốn dẫn nghiên cứu phương trình sai phân ẩn Có hai mơ hình thực tế tiêu biểu vấn đề mơ hình dân số Leslie (xem [16], [14]) mơ hình kinh tế Leontief (xem [14], [17]) Mơ hình dân số Leslie mơ tả phương trình sai phân Đặt At đơn vị thời gian, mAt tuổi thọ Ttối x đa cá thể A := (0, At] ,A := x n+1 n n, (At, 2At], ,A := ((m — 1)At,mAt] Trong p (n) khả cho m k ^bi(n ) pi(n) = T= n b2(n) bm-i(n) 0 P2(n) l0 bm (n) 0 / Pm-1(n) phụ nữ có tuổi thuộc A thời gian nAt có tuổi thuộc A thời gian (n + 1)At Nói cách khác, p (n) tỷ lệ sống sót bà mẹ độ tuổi A vào thời gian nAt Còn b (n) số trẻ sơ sinh nữ sinh thời gian (n + 1)At bà mẹ có độ tuổi thuộc A , tức b (n) tỷ lệ sinh Ta thường gọi ma trận T ma trận Leslie Trong thực tế, nghiên cứu 0 k k+1 k k k k k n Bxn+1 = (I + B — A)xn — dn (0.11) 8 phát triển dân số vùng nhiều ta biết phân bố số dân theo độ tuổi vùng thời điểm x = x ta cần tìm phân no bố số dân theo độ tuổi vùng thời điểm trước x , tức n k ta cần giải toán n = n — k, n — 1, T x n n, 0 (0.10) =x Điều không may mắn ma trận Leslie thường suy biến Chẳng hạn ta xét At = (năm) m = 20, tức ta có A = (0,5], , A = (95,100] Chúng ta cho tổn k cho b (n) = • • • = b _ (n) = với n, điều 20 20 có nghĩa ^1(n) b2(n) T= = n P1(n) P2 (n) 0 0 i m-ko — (n) b m—k0 0 (n) 0 Pm—ko — 1(n) l0 Với phép đổi biến u = x (0.10) trở thành b 20 ko 0 0 0 0 0 Pm—ko (n) 0 Pm—k o+1(n) 0 no—i (i = 0, k) phép đặt M = T i ỈM u = Uj, i no—i Pm—1(n) (i = 0, k), toán / i = 0, k — 1, i+1 U0 (0.100) =x Rõ ràng (0.10’) toán giá trị ban đầu phương trình sai phân ẩn Mơ hình kinh tế Leontief mô tả hệ suy biến x n Ax + B (x n n+1 x n ) + dn, Bxn+1 = (I + B — A)xn — dn (0.11) hayTrong đó, kinh tế chia thành m lĩnh vực sản xuất, x véc tơ gồm m thành phần mà thành phần thứ i giá trị sản xuất hàng hoá lĩnh vực sản xuất thứ i thời điểm n, A ma trận sản xuất, Ax phần tiêu hao sản xuất, B ma trận đầu tư, B (x — x ) giá trị lợi nhuận sinh d véc tơ tiêu dùng Ma trận đầu tư B = (bjj) R gồm thành phần bjj số hàng hoá lĩnh vực sản xuất thứ i mà lĩnh vực sản xuất thứ j cần để sản xuất đơn vị hàng hoá lĩnh vực Vì vậy, thực tế ma trận B thường suy biến, chẳng hạn lĩnh vực sản xuất thứ i khơng sản xuất hàng hố hàng thứ i ma trận B Vậy (0.11) thường phương trình sai phân ẩn Mặt khác, nhiều phương trình sai phân ẩn kết việc rời rạc n n n+1 n mxm n hoá phương trình vi phân đại số (0.6) Ascher, Brenan, Campbell Petzold (xem [13], [8]) xét lược đồ sai phân ẩn , xn — xn_ „ -—— An + Bnxn = qn, n = 1,N, T hay (An + TBn)xn = Anxn-1 + T qn, n = 1,N Khi với giả thiết (0.6) có số với bước lưới rời rạc T đủ bé ta nhận ma trận A + TB khả nghịch, nói cách khác phương trình phương n n trình sai phân thường Bây giờ, áp dụng lược đồ sai phân Euler cho (0.6), ta nhận An x n+1 Xn + Bnxn = Tqn, n = 0, N — 1, hay Anxn+1 = (An — TBn)xn + Tqn, n = 0, N — Rõ ràng, phương trình sai phân phương trình sai phân ẩn Tương tự, ta nhận phương trình sai phân ẩn sử dụng lược đồ sai phân trung tâm cho phương trình vi phân đại số (0.6) Ngồisai phương phân có rấtẩn nhiều tốn điều khiển kĩ thuật liên quan đến trình Bxn+1 = (I + B — A)xn — dn (0.11) 10 Những mơ hình thực tế, việc rời rạc hố phương trình vi phân đại số cho ta thấy việc nghiên cứu phương trình sai phân ẩn vấn đề thời nhiều người quan tâm Trong thực tế, phương trình sai phân ẩn thời đề cập đến nghiên cứu phương trình vi phân đại số Campbell, Meyer (xem [16]) dùng biến đổi Kronecker giống sử dụng phương trình vi phân đại số (0.5) để đưa phương trình sai phân ẩn tuyến tính ơtơnơm Ax = Bx + q , n E Nno, n+1 n n A ma trận suy biến, hệ gổm phương trình sai phân thường phương trình sai phân ẩn dạng đặc biệt Các kết nhận phương trình sai phân ẩn dạng Campbell (xem [14]), Dai (xem [17]) áp dụng cho toán điều khiển dạng Ax + Bu Ex Ỉ n+1 n n, n ^ Nno, Cx n, y n ma trận E suy biến Gần Navarro, Ferrer Jodar (xem [35]) đưa công thức nghiệm nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính ơtơnơm bậc cao B x k n+k + Bk-1xn+k-1 + • • • + B0xn = f(n), B ma trận suy biến Sự tổn nghiệm phương trình k sai phân ẩn có với ma trận A suy biến, Li, Zhang Liu (xem [30]) nghiên cứu Ax = Bx + Cx n+1 n n-no + f (n), chậm điều chứng tỏ phương trình vi phân đại số (1.2) với liệu cho (3.61) có số Ta biết ma trận nghiệm (1.2) X(t) = P (t)Y(t)P(0) (xem [21], [29], [3]), Y(t) ma trận nghiệm s Y (t) = (P0(t)Ps(t) - P(t)G (t)B(t))Y(t), Y(0) = I -1 Tính toán ta nhận Y (t) = e+ e+ et - e 5 suy et + e+ t e [0,1], X (t) = Do ma trận bắn 2e + e+1 D = CoX (0) + CT X (1) = 2e + e+1 Lúc điều kiện qui (3.35) tốn thoả mãn kerD = span{(1, —2) } = kerA(0) ImD = span{(1,1) } = Im(Co, C ) T T T Vì tốn biên hai điểm xét có nghiệm Ta biết nghiệm tốn cho cơng thức sau (xem [21], [29], [3]): x(t) = X (t)x + X(t) í‘ Y (s)P (s)h(s)ds + Q(t)G 1(t)q(t), (X(1) / Dx = Y — CoQ(0)G (0)q(0) — CT -1 Bằng tính tốn đơn giản ta tìm x = Y (s)P (s)h(s)ds + Q(1)G (1)q(1)) -1 -1 , với a số thực bất kì, h(t) := P(t)(I + P0(t))G 1(t)q(t), x véc tơ thoả mãn ta nhận nghiệm tốn x(t) íe+t—1 y e* — 2t + Ta có tốn mở rộng (3.43), (3.44) tương ứng với toán liên tục 1\ °Ị Xn+1 - Xn 2^ T Í3 Xo + l' n = 0,N, Xn (3.62) nT \ J 2^ X N (3.63) Q* = Khi xét có dạng Do (2 1\ ,n =ÕN, 2T 5T1 phương trình sai phân ẩn (3.62) vừa nhận có số Áp dụng cơng thức (1.18) tính tốn ta nhận nghiệm (3.62) cho V ^——1 Xo = P-1Xữ - V-1Q*V0Go (T)qo(T) = V — P JM(n\ (p^o I d ÌMn.M I P X (M (T )X + n= n-1 n-1 p- M(n\ ÍT-1 d1 2^ M n-2-k (T )G (T)q (T k k + ) G (T )q n-1 (T)) n-1 + nT — \ „ " , n = 1,N, In — 2nT + n Vn-1 Q' V G ' q- ' = k=0 X = G \ ítlííií' rr.0 e (1 +T) -LA A n( T R Thay hệ thức X , X vào (3.63) ta tìm )= An + Bn(T )Vn-1Q*V = ị1_T (n = 0,N) T N - ýo T'lị'lƠT'1 TI rrịn ì A m í‘l’l d llịì đ—ợc X1 — 1+(1+T)N ý T — N, ta nhận nghiệm Uài toán Uiên hai điểm (3.62), (3.63) ịnciì ( e-(1+11 )N \ Xn xo = -) e-(1+N- I ’ N 1+(1+ \ - / 1+(1+1) (1 + ) + n - \ N (1 + 1+(1+ ) N) 'N1I n —e+1— v N' _e+1 I ,,(1 (1 X ) —2 n +1 + + N) N ' '/ + =( ■«1 ■ >2 + t” - \ , n = 1N, \-Ĩ+ĨÍX)Ĩ((1 + h) )*" - 2tn + 1/ t = nT = N ■ n 1+(1+-1 )N N N n - z X Ị + tn - \ z.x Mặt khác, x(t ) = , x(t) nghiệm toán biên hai \—etn — 2t + 11 điểm (1.2), (3.32) với liệu cho (3.61) Vì rõ ràng T ^ 0, tức etn n n N ^ +TO ta có x ^ x(t ), n N Điều chứng tỏ lược đổ sai phân xét ví dụ hội tụ n n KẾT lUẬN Trong ba lược đổ sai phân thường dùng lược đổ sai phân lùi áp dụng cho phương trình vi phân đại số số cho phương trình sai phân thường (xem [21], [13]), hai lược đổ sai phân lại dẫn đến phương trình sai phân ẩn Do chưa có kết phương trình sai phân ẩn khơng dừng, nên chưa thấy tài liệu đề cập đến việc rời rạc phương trình vi phân đại số phương pháp Euler hay phương pháp sai phân trung tâm Kết nhận Chương tương thích khái niệm số phương trình vi phân đại số phương trình sai phân ẩn khẳng định tính hợp lý khái niệm số phương trình sai phân ẩn đưa từ đầu luận án Đối tượng nghiên cứu phương trình sai phân ẩn, chúng tơi khơng sâu nghiên cứu việc giải số phương trình vi phân đại số Về vấn đề độc giả quan tâm tìm thấy nhiều tài liệu, chẳng hạn [21], [23], [8], [13], Đó lý không đưa so sánh phương pháp Euler biết với phương pháp số khác Qua chứng minh hội tụ phương pháp Euler cho toán Cauchy phương trình vi phân đại số số 1, ta thấy chất trình rời rạcchỉ liên quan đến phần khả vi, tức phần P(t)x(t) nghiệm x(t) Để chứng minh hội tụ này, khéo léo tách phần P x P(t)x(t) n-1 n hai toán rời rạc liên tục để phần P x nghiệm rời rạc hội tụ đến n-1 n nghiệm ũ với ũ nhận phưong pháp Euler toán giá n n trị ban đầu cho phưong trình vi phân thường ũ(t) := P(t)x(t) Đối với toán biên nhiều điểm tương thích tính qui hai tốn rời rạc liên tục khơng Một kết hay nhận chương nghiệm toán rời rạc mở rộng, cách thêm vào phương trình (3.42), hội tụ nghiệm toán liên tục Kết cho thấy điều kiện qui tốn biên nhiều điểm cho phương trình sai phân ẩn số 1, mà nhận Chương 2, khác hẳn với điều kiện qui tốn biên nhiều điểm cho phương trình vi phân đại số KẾT LUẬN CHUNG Luận án nghiên cứu toán giá trị ban đầu toán biên nhiều điểm cho phuơng trình sai phân ẩn tuyến tính không dừng Đổng thời, đưa mối liên hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính phương trình vi phân đại số Những kết luận án là: Đưa khái niệm số phương trình sai phân ẩn tuyến tính khơng dừng Thiết lập công thức nghiệm tường minh tốn giá trị ban đầu phương trình sai phân ẩn số Trình bày số kết toán khởi tạo giá trị ban đầu Xây dựng cơng thức nghiệm cho tốn Cauchy phương trình sai phân ẩn hệ số có hạng thay đổi Nhận điều kiện cần đủ tính giải nghiệm toán biên nhiều điểm phương trình sai phân ẩn số Thiết lập điều kiện cần đủ tính giải đưa công thức nghiệm tổng quát tường minh để tìm nghiệm tốn biên nhiều điểm phương trình sai phân ẩn số trường hợp tốn khơng giải nghiệm Chứng tỏ áp dụng phương pháp Euler cho phương trình vi phân đại số số ta nhận phương trình sai phân ẩn số Hơn nghiệm toán giá trị ban đầu phương trình sai phân ẩn số hội tụ đến nghiệm toán giá trị ban đầu phương trình vi phân đại số số tương ứng Chỉ không tương thích tính nghiệm tốn biên nhiều điểm phương trình vi phân đại số số toán tương ứng cho phương trình sai phân ẩn số nhận rời rạc toán liên tục phương pháp Euler Chứng minh hội tụ lược đổ Euler cho toán biên nhiều điểm phương trình vi phân đại số số Về phương pháp, luận án trình bày hướng tiếp cận hiệu cho đối tượng khó nghiên cứu, hệ tuyến tính suy biến khơng dừng Với phương pháp tiếp cận này, luận án giải lớp rộng toán suy biến thường gặp thực tế Luận án mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm bán kính ổn định phương trình sai phân ẩn tuyến tính số Đưa khái niệm số cao cho phương trình sai phân ẩn tuyến tính Tiếp tục nghiên cứu phương trình sai phân ẩn phi tuyến Tìmtuyến ẩn mơ hình thực tế đưa nghiên cứu phương trình sai phân tính số DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG Bố LIÊN QUAN ĐÊN LUẬN ÁN P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 P K Anh, L C Loi (2001), On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations, Vietnam J Math 29 (3): 281-286 autonomous L C Loi, of N difference H Du, P K.equations, Anh (2002), On Eq linear implicit nonsystems J Diff Appl (12): 1085-1105 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R P Agarwal (2000), Difference Equations and Inequalities Theory, Methods, and Applications, Marcel Dekker Inc [2] R P Agarwal, D O’Regan (2001), ỉnfinite Interval Problems for Differential, Difference and Integral Equations, Kluwer Academic Publishers [3] P K Anh (1997), ”Multipoint boundary-value problems for transferable differential-algebraic equations I-Linear case”, Vietnam J Math 25 (4): 347-358 [4] P K Anh, N H Du, L C Loi (2004), ”Connections between implicit difference equations and differential-algebraic equations”, Acta Math Vietnamica 29 (1): 23-39 [5] P K Anh, L C Loi (2001), ”On multipoint BPVs for linear implicit nonautonomous systems of difference equations”, Vietnam J Math 29 (3): 281-286 [6] C Arevalo, G Soderlind (1995), ”Convergence of multistep discretizations of DAEs”, BIT 35 (1): 143-168 [7] U M Ascher, R M M Mattheij, R D Russell (1988), Numerical Solution of Boundary Value Problems for Ordinary Differential Equations, Prentice Hall [8] U Ascher, L R Petzold (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, Philadelphia [9] M F Bondarenko, A G Rutkas (1998), ”On a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 7: 11-15 13 [10] M F Bondarenko, L A Vlasenko, A G Rutkas (1999), ”Periodic Solutions of a class of implicit difference equations”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 1: 9-14 [11] M F Bondarenko, A G Rutkas (2001), ”Criteria for the determinacy of implicit discrete nonautonomous systems”, Dopov Nats Akad Nauk Ukr Mat Prirodozn Tekh Nauki 2: 7-11 [12] M Bracke (2000), On Stability Radii of Parametrized, Linear Differential- Algebraic Systems with Applications to Electrical Networks , Ph D thesis, Vom Fachbereich Mathematik der Universitat Kaiserslautern zur Verleihung des akademischen Grades [13] K E Brenan, S L Campell, L R Petzold (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations , North-Holland, New York [14] S L Campbell (1980), Singular Systems of Diferential Equations, Pitman Advanced Publishing Program [15] S L Campbell (1982), Singular Systems of Diferential Equations II, Pitman Advanced Publishing Program [16] S L Campbell, C D Meyer (1978), Generalized Inverses of Linear Transformations, Pitman [17] L Dai (1989), Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences 118, Springer-Verlag [18] S N Elaydi (1995), An Introduction to Difference Equations, Springer- 13 Verlag [19] F R Gantmacher (1959), Theory of Matrices, Vol 1, 2, Chelsea, NewYork [20] E Griepentrog, M Hanke, R Marz (1992), Berliner Seminar on DifferentialAlgebraic Equations Seminar Notes, Berlin 13 [21] E Griepentrog , R Marz (1986), Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Teubner-Text Math., Vol 88, Teubner, Leipzig [22] G H Golub, C F Van Loan (1996), Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press [23] E Hairer, G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag [24] E Isaacson, H B Keller (1966), Analysis of Numerical Methods, John Wiley & Sons, Inc [25] T Kato (1966), Perturbation Theory for Linear Operator, Springer-Verlag, New York [26] R K Kittappa (1993), ”A representation of the solution of the nth order linear difference equation with variable coefficients”, Linear Algebra Appl 193: 211-222 [27] P Kunkel, V Mehrmann (1996), ”A new class of discretization methods for the solution of linear differential-algebraic equations with variable coefficients”, SIAMJ Numer Anal 33 (5): 1941-1961 [28] V Lakshmikantham, D Trigiante (1988), Theory of Difference Equations Numerical Methods and Applications, Academic Press, Inc [29] M Lentini, R Marz (1990), ”The condition of boundary value problems in transferable differential-algebraic equations”, SIAM J Numer Anal 27: 1001-1015 [30] Y Li, X Zhang, Y Liu (2000), ”Basic theory of linear singular discrete 13 systems with delay”, Appl Math Comput 108: 33-46 [31] H Liu, Y Song (2003), ”Stability of numerical methods for solving linear index-3 DAEs”, Appl Numer Math 134: 35-50 13 [32] L C Loi, N H Du, P K Anh (2002), ”On linear implicit non- autonomous systems of difference equations”, J Diff Eq Appl (12): 1085-1105 [33] R K Mallik (1997), ”On the solution of a second order linear homogeneous difference equation with variable coefficients”, J Math Anal Appl, 215: 32-47 [34] R Marz (1995), ”On linear differential-algebraic equations and lineariza- tions”, Appl Numer Math 18: 267-292 [35] E Navarro, M V Ferrer, L Jodar (1994), ”Closed form general solution of nonhomogeneous implicit higher order difference systems”, Appl Math Comput 60: 113-123 [36] H Pasic (1999), ”Multipoint boundary-value problems”, J Optim Theory Appl 100 (2): 397-416 [37] C Qian (2002), ”Convergence of a difference equation and its applications”, J Diff Eq Appl [38] (2): 163-175 P J Rabier, W C Rheinboldt (1996), ”Classical and generalized solution of time-dependent linear differential-algebraic equations”, Linear Algebra Appl 245: 259-293 [39] A Rachid (1993), ”A remark on the discretization of singular systems”, Automatica 31 (2): 347-348 [40] J Sreedhar, P V Dooren (1999), ”Periodic descriptor systems: Solvability and Conditionability”, IEEE Trans Automatic Control 44 (2): 310-313 13 [41] R Stover (2001), ”Collocation methods for solving linear differential- algebraic boundary value problems”, Numer Math 88: 771-795 [42] C-J Wang (1999), ”Controllability and observability of linear time- varying singular systems”, IEEE Trans Automatic Control 44 (10): 1901-1905 14 [43] S Xu, C Yang, Y Niu, J Lam (2001), ”Robust stabilization for uncertain discrete singular systems”, Automatica 37: 769-774 [44] X Yan (1997), ”Singularly perturbed differential-algebraic equations I: Asymptotic expansion of outer solutions”, J Math Anal Appl 207: 326-344 ... hệ phương trình sai phân ẩn số phương trình vi phân đại số số 12 Khái niệm số phương trình sai phân ẩn đưa thể độ suy biến phương trình sai phân ẩn Nói cách khác, đo ”khoảng cách” phương trình. .. ràng, phương trình sai phân phương trình sai phân ẩn Tương tự, ta nhận phương trình sai phân ẩn sử dụng lược đồ sai phân trung tâm cho phương trình vi phân đại số (0.6) Ngồisai phương phân có rấtẩn... dụ 1. 4 Xét tốn Cauchy (1. 11) với điều kiện đầu ^1 (X0 — x ) — 11 / Từ kết tính tốn đuợc Ví dụ 1. 1, ta suy (1. 11) phuơng trình (1. 27) 31 có số (2 — n +n n £ NQ -1 n —n +1 n —n +1 2 _ n-r? ?1 Pn -1 —