Luận văn thạc sĩ phép biến đổi mellin của hàm hermite và ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Pham Nam Giang PHÉP BIEN ĐOI MELLIN CUA HÀM HERMITE VÀ ÚNG DUNG LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i 2012 Pham Nam Giang PHÉP BIEN ĐOI MELLIN CUA HÀM HERMITE VÀ ÚNG DUNG Chuyên ngành: Tốn HQC tính tốn Mã so: 60.46.30 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS.TS NGUYEN MINH TUAN Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna PGS.TS Nguyen Minh Tuan Tơi xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen thay, ngưịi đưa đe tài t¾n tình hưóng dan tơi suot q trình nghiên cúu Đong thịi chân thành cam ơn thay cô khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai hQc Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia H Nđi, ó tao MQI ieu kiắn cho tụi ve tài li¾u thn tuc hành đe tơi hồn thành lu¾n văn Qua đây, tơi gui lịi cam ơn đen gia đình, ban bè đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Do thịi gian trình đ cũn han che, chac chan luắn khụng the tránh khoi nhung thieu sót, tơi rat mong nh¾n đưoc sn chi bao t¾n tình cna thay ban bè đong nghi¾p, xin chân thành cam ơn! Hà N®i, năm 2012 HQc viên Pham Nam Giang i Mnc lnc iii Bang ký hi¾u Lài ma đau v 1Phép bien đoi tích phân Mellin 1.1Đ%nh nghĩa tính chat ban cna phép bien đői Mellin 1.2Phép bien đői Mellin ngưoc 1.3Tính chat toán tu cna phép bien đői Mellin 1.4Tích ch¾p cna phép bien đői Mellin 1 11 13 Tích chắp suy rđng cua phộp bien oi Mellin 2.1 Hm anh cna hàm Hermite, hàm dang Hermite qua phép bien đői Mellin 2.1.1 Bien đői Mellin cna hàm Hermite m®t bien 2.1.2 Bien đői Mellin cna hàm dang Hermite 2.2 Tớch chắp suy rđng cna phộp bien đői Mellin 2.3 Úng dung 2.3.1 Phương trình đao hàm riêng 2.3.2 Phương trình tích phân vói nhân hàm dang Hermite 2.3.3 Phương trình tích phân có chúa hàm exp(x) 16 Ket 38 Tài li¾u tham khao 39 ii 16 17 18 22 28 28 29 32 Bang ký hi¾u Hn(x): Đa thúc Hermite b¾c n φn(x): Hàm Hermite [x]: Hàm phan nguyên [x] = max {n ∈ Z|n ≤ x} Mf, M(f ), M[f ], M{f }: Bien đői Mellin cna hàm f Ff Bien đői Fourier cna hàm f LBf Bien đői Laplace cna hàm f ∫∞ Γ(x): Hàm Gamma Γ(x) = tx−1e−tdt, vói Re x > ∫ x−1 y−1 B(x, y): Hàm Beta B(x, y) 0= t t dt, vói Re x > 0, Re y > cosh(x): Hàm Cos hypebolic cosh(x) = e x +e −x sinh(x): Hàm Sin hypebolic sinh(x) = ex−e−x 0,neu x < H(x): Hàm Heaviside H(x) =    1,neu x ≥ St(a, b) := {s ∈ C : Re s ∈ (a, b)} (a, b): có the (a, b) ho¾c [a, b] ho¾c [a, b) ho¾c (a, b] H(St(a, b)) : không gian hàm giai tích St(a, b) ψn(x) := φn(ln x), x ∈ R+ ∫ L1 (R+ ) := f : R+ → C, ǁf ǁ = ∞|f (x)|dx < +∞Σ iii MUC LUC L1 (R) = f : R+ → C, ǁf ǁ = ∫ ∞ |f (x)|dx < +∞ −∞ Σ L1 ({c} × iR) := {f : {c} × iR → C, f (c + i·) ∈ L1 (R)} L1 (St(a, b)) := {f : St(a, b) → C, f ∈ L1 ({c}) × iR), ∀c ∈ (a, b)} Kn,c : = +∞ ∫ |xc− φn(x)|dx > 0, c > Mn,c := +∞ ∫ |xc− ψn(x)|dx > 0, c ∈ R ǁfǁc := Kn,c +∞ ∫ ǁfǁ1,c := Mn,c |xc− f (x)|dx, vói x +∞ ∫ c− f (x) ∈ (R+) L1 c− |xc− f (x)|dx, vói x iv f (x) ∈ (R+) L1 Lài ma đau Phép bien đői Mellin lan đau tiên xuat hi¾n Riemann su dung đe nghiên cúu hàm Zeta női tieng Tuy nhiên, ngưòi đau tiên a mđt cỏch cú hắ thong ve phộp bien đői nhà Tốn HQc ngưịi Phan Lan R.H Mellin (1854-1933) Nghiên cúu lý thuyet ve nhung hàm đ¾c bi¾t, ơng phát trien úng dung ve vi¾c tìm nghi¾m cna phương trình vi phân siêu hình HQc phép lay tích phân cna khai trien tiắm cắn úng gúp cna Mellin chiem mđt v% trí quan TRQNG lý thuyet ve hàm giai tích, chn yeu dna đ%nh lí Cauchy phương pháp th¾ng dư [11] M¾c dù có moi liên h¾ m¾t thiet vói bien đői Fourier Laplace, có nhieu úng dung can phai dùng bien đői Mellin m®t cách trnc tiep, đ¾c bi¾t lý thuyet hàm phúc (ti¾m c¾n cna nhung hàm liên quan đen hàm Gamma), lý thuyet so (h¾ so cna chuoi Dirichlet [9], [10]), tốn úng dung (ưóc lưong ti¾m c¾n cna tích phân) Bên canh nhung úng dung tốn HQc, phép bien đői Mellin cịn có nhieu úng dung khác v¾t lý kĩ thu¾t Úng dung női tieng nhat có le vi¾c tính tốn nghi¾m cna tốn the mien có dang hình chêm, hàm can tìm thoa mãn phương trình Laplace vói đieu ki¾n biên cho trưóc [4] Phép bien đői Mellin cịn đưoc dùng đe giai phương trình vi phân tuyen tính ky thu¾t đi¾n bang thu¾t tốn tương tn bien đői Laplace Đa thúc Hermite m®t dãy đa thúc trnc giao cő đien phő bien mang tên nhà toán hQc női tieng ngưòi Pháp Charles Hermite (1822 - 1901) Sn đòi phát trien bat nguon tù nhung úng dung quan TRQNG lĩnh vnc khác điem đ¾c bi¾t cna đa thúc Hơn nua, tù dãy đa thúc Hermite x Hn(x), ta có dãy hàm so trnc giao, dãy hàm Hermite φn(x) = e− Hn(x) Dãy hàm Hermite t¾p hàm giá tr% riêng cna bien đői Fourier đưoc đe c¾p [1] Vói muc đích tìm hieu ve phép bien đői Mellin, hàm anh cna hàm Hermite qua phép bien đői Mellin, úng dung cna phép bien đői này, chúng tơi lna cHQN đe tài lu¾n văn "Phép bien đői Mellin cua hàm Hermite úng dnng" Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương v Chương Trình bày kien thúc ban ve phép bien đői Mellin bao gom v i Lèi Me đAu đ%nh nghĩa, tính chat, phép bien đői ngưoc, moi liên h¾ vói phép bien đői Fourier, Laplace Chương Chương gom ket qua nghiên cúu cna lu¾n văn: hàm anh cna hàm Hermite, hàm dang Hermite qua phộp bien i Mellin, xõy dnng mđt vi tớch chắp suy r®ng cna phép bien đői Mellin vói hàm TRQNG hàm anh vùa tìm đưoc, giai m®t lóp phương trình tích phân dna nhung tích ch¾p vùa xây dnng đưoc M¾c dù het súc co gang quỏ trỡnh thnc hiắn nhng trỡnh đ đieu ki¾n thịi gian có han nên lu¾n văn khơng tránh khoi thieu sót Rat mong đưoc sn đóng góp ý kien cna thay ban Hà N®i, năm 2012 HQc viên Pham Nam Giang vi Chương Phép bien đoi tích phân Mellin Trong chương này, lu¾n văn se trình bày nhung kien thúc ban ve phép bien đői Mellin bao gom: đ%nh nghĩa cna phép bien đői Mellin, moi quan h¾ vói phép bien đői Fourier, Laplace, tính chat liên tuc, tính giai tích, phép bien đői Mellin ngưoc, tính chat tốn tu 1.1 Đ%nh nghĩa tính chat ban cua phép bien đoi Mellin Như biet, bien đői Fourier phúc đưoc đ%nh nghĩa tài li¾u [4] sau (F g)(k) = G(k) = 2π +∞ ∫ e−iktg(t)dt (1.1.1) −∞ Neu dùng phép đői bien et = x ik = c − s, c m®t hang so, dx dt = , k = is − ic, ds = −idk x Tù (1.1.1) ta thu đưoc G(is− ic) =√ 2π +∞ ∫ xs−c−1g(ln x)dx Bang cách đ¾t (1.1.2) −∞ est e− t dt +∞ ∫ 1√ √ − √t √3s 3s ∫+∞ Σ2 − u − = e 3e −∞ e √ 3s dt = 2e −∞ du = √ 3s 2πe Suy √ 2πe + (Mp)(s) = Do √ s2 2πe = 2πe (1 +e 3s s2 2 s 2 ) ∈ (St(−∞, +∞)) L1 √ M p A Σ (s) = Vỡ vắy s 1 à0(s) = √ e ∈ L (St(−∞, +∞)) π Mp M−1 Σ Σ (x) = M−1(µ A π 0)(x) = − (ln x) e 12 2∈ X √ (−∞,+∞) Áp dung Đ%nh lý (2.3.2), ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình (2.3.9) Mp − (ln x) f (x) = M−1 Σ Σ (x) = e 2∈ X √ (−∞,+∞) A 2.3.3 Phương trình tích phân có chÉa hàm exp(x) • Phương trình thÉ nhat Xét phương trình tích phân dt g(t) = p(x) t x ∫+∞ x Σ e− λg(x) + + Σ ht eh t k (2.3.10) đó, λ ∈ C, k, p ∈ X(a,b) g hàm can tìm Trong phương trình (2.3.10), hàm Σ K(x, t) = k Σ x x + k e− ht eht (2.3.11) đưoc GQi nhân cna phương trình Đ¾t B(s) := λ + (ehs + e−hs)(Mh)(s) Đ%nh lý 2.3.4 Gia su B(s) ƒ= vái MQI s ∈ St(a, b), (Mp), B L1 (St(a, b)) Khi đó, phương trình (2.3.10) có nghi¾m X (a,b ) Σ Σ Mp chs M−1 Σ ∈ Mp Σ∈ B X(a,b) Trong trưàng hap này, nghi¾m cua phương trình đưac xác đ%nh Mp g(x) = M−1 Σ Σ (x) B (2.3.12) Chúng minh Đieu ki¾n can Gia su phương trình (2.3.10) có nghi¾m g ∈ X(a,b) Phương trình (2.3.10) có the viet dưói dang λg + (k ∗σh g) + (k ∗σ−h g) = p Tác đ®ng M vào hai ve cna phương trình, đong thòi su dung Đ%nh lý (2.2.3) ta đưoc hs −hs λ(Mg)(s) + (e + λ3e )(Mh)(s)(Mg)(s) = (Mp)(s) Suy B(s)(Mg)(s) = (Mp)(s) Mp Do B(s) ƒ= 0, nên (Mg)(s) = Σ (s) B Mp Vì ∈ L (St(a, b)), nên theo Đ%nh lý Mellin ngưoc ta đưoc B (a,b) −1 Mp g(x) = M Σ Σ (x) B ∈X Đieu ki¾n đu Xét hàm g(x) = M −1 Σ Mp , nên Σ Theo gia thiet g ∈ X B (Mg)(s) = Σ Mp (a,b ) Σ (s) Đieu tương đương vói B(s)(Mg)(s) = (Mp)(s) Su B dung Đ%nh lý (2.2.3) ta suy xΣ x M dt +∞ + − g(t)  (s) = (Mp)(s) ∫  e  λg(x) + e ht k ht Σ Σ Σ t Do g, h ∈ X(a,b) Mp ∈ L1(St(a, b)), nên dt x Σ ∫+∞ x Σ Σ g(t) ∈ X(a,b) e− λg(x) t + h Σ + e ht k t g( dt ∫+∞ x Σ x M  (s) ∈ L1 (St(a, b)) Σ t) + e− Σ λg(x) + e k ht ht Σ t 0 Theo Đ%nh lý Mellin ngưoc, ta đưoc x Σ g(t)dt ∫+∞ x Σ Σ = e− λg(x) + p(x) t + Σ ht eh t k V¾y hàm g thoa mãn phương trình (2.3.10) Ví dn 2.3.5 Giai phương trình tích phân sau ∫+∞e Σ − (ln − ) g(x) + 2π (ln ex ) −(ln x) − (ln x) Σ dt e x et +e g(t) = (1 + x)e t t + 2xe , (2.3.13) g hàm can tìm Lài giai So sánh phương trình (2.3.10) phương trình (2.3.13) ta thay λ = 1, k = 1, k(x) = ψ0(x) = e−2 ∈ X (−∞,+∞), (ln x) 2 p(x) = (1 + x)e− + 2xe (ln x) −(ln ∈ X(−∞,+∞) x) Suy B(s) = + √ e (es + e−s) 2πe s2 ) = + e (s+1)2 + e (s−1)2 ƒ= 0, 2 2 π ∀s ∈ C Su dung đ%nh nghĩa bien đői Mellin, ta thu đưoc x) M Σ Σ e− ∫+ +∞ ∫ 2 ∞ (ln (s) = s−1 − x) x e (ln dx = este− t dt −∞ ∫+∞ = es √ − (t−2s) e du =2 −∞ πes2 Theo Tính chat t%nh tien ta đưoc Σ Σ √ − (ln x) M xe (s) = πe(s+1) Σ Σ √ −(ln x) (s+1) M 2xe (s) = πe 2 2 Suy √ (s−1) (Mp)(s) = πe2 (s+1)2 (1 2+ e (s+1) 2+ e ) ∈ L1(St(−∞, +∞)) Do Mp √ Σ (s) = πe B Vì v¾y M−1 Σ (s+1) Mp B ∈ L1 (St(−∞, +∞)) Σ (x) = 2xe− (ln x) 2∈ X (−∞,+∞) Áp dung Đ%nh lý (2.3.4) ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình (2.3.13) Mp (ln x) g(x) = M−1 Σ Σ (x) = 2xe− 2∈ X B (−∞,+∞) • Phương trình thÉ hai Xét phương trình tích phân λϕ(x) + +∞ ∫ x + Σ k1 eh1 Σ k2 t dt x Σ Σ ϕ(t) = p(x) h e t t (2.3.14) đó, λ ∈ C, k, p ∈ X(a,b) ϕ hàm can tìm Đ¾t C(s) := λ + eh1s(Mk1)(s) + eh2s(Mk2)(s) Đ%nh lý 2.3.6 Gia su C(s) =ƒ L1 (St(a, b)) vái MQI s ∈ St(a, b), (Mp), C Khi đó, phương trình (2.3.14) có nghi¾m X (a,b ) chs M−1 Σ Mp Mp ∈ Σ∈ C X(a,b) Trong trưàng hap này, nghi¾m cua phương trình đưac xác đ%nh Mp ϕ(x) = M−1 Σ Σ (x) (2.3.15) C Chúng minh Đieu ki¾n can Gia su phương trình (2.3.14) có nghi¾m ϕ ∈ X(a,b) Phương trình (2.3.14) có the viet dưói dang λϕ + (k1 ∗σh1 g) + (k2 ∗σh2 ϕ) = p Tác đ®ng M vào hai ve cna phương trình, đong thịi su dung Đ%nh lý (2.2.3), ta đưoc h 1s h2s λ(Mϕ)(s) + (e (Mk1)(s) + e (Mk2)(s))(Mϕ)(s) = (Mp)(s) Suy C(s)(Mϕ)(s) = (Mp)(s) Mp Do C(s) ƒ= 0, nên (Mϕ)(s) = Σ (s) C Mp Vì ∈ L (St(a, b)), nên theo đ%nh lý Mellin ngưoc ta đưoc C ϕ(x) = M X −1 Σ Mp C Σ (x) ∈ (a,b) Đieu ki¾n đu Xét hàm ϕ(x) = M −1 Σ Mp , nên Σ Theo gia thiet ϕ ∈ X C (Mϕ)(s) = Σ (a,b ) Mp Σ (s) Đieu tương đương vói C(s)(Mϕ)(s) = (Mp)(s) Su C dung Đ%nh lý (2.2.3) ta suy x x M dt +∞ ∫ h1 + h2 ϕ(t)  (s) = (Mp)(s) e e   λϕ(x) + Σ k t Σ k2 t Σ Σ t Do ϕ, k1, k2 ∈ X(a,b) Mp ∈ L1(St(a, b)), nên dt Σ +∞ ∫ xh + xh Σ ϕ(t) ∈ X , 1Σ (a,b) e k2 λϕ(x) Σ k1 e t t t + +∞ M + ∫ x k2 λϕ(x) + Σ k1 eh Σ t ϕ(t dt x  (s) ∈ L1 (St(a, b)) ) h e Σ t Σ t Theo đ%nh lý Mellin ngưoc, ta đưoc λϕ(x) + +∞ ∫ xh1 + Σ k1 e Σ k2 t x Σ ϕ(t)dt = Σ p(x) t eh2 t V¾y hàm ϕ thoa mãn phương trình (2.3.14) Ví dn 2.3.7 Giai phương trình tích phân sau ∫+∞Σ √ − (ln 1 e ϕ(x)+ 4π √ e2 t − (ln Σ + d t e 2π et ϕ(t) t x − (ln x)2 x = √ e + e √ 4π e 8π − (ln x) x e− +√ 8eπ (ln x) , ϕ hàm can tìm Lài giai So sánh phương trình (2.3.14) phương trình ta thay 2 (ln x) (ln x) 1 λ = 1, k1(x) =e − , k2(x) = − ∈ X(−∞,+∞), √ √ e 4π 2π 2 (ln x) (ln x) (ln x) x x x − p(x) =√ + + ∈ X(−∞,+∞) − − e e √ e √ 4π e 8π 6eπ Suy (s+1) 1 (s+1) C(s) = + ) ƒ= 0, ∀s ∈ C √ e + e e e 2 Su dung đ%nh nghĩa bien đői Mellin ta thu đưoc Σ 4π M √ Σ M √ − (ln x) s Σ (s) = e2 e − ( (s) Σ= ln x) 2s ee e 8π Σ (ln x) 1 − Σ M √ (s) =2 √ e e e Theo Tính chat t%nh tien, ta đưoc (s+1) 1 (s+1) (Mp)(s) = (1 + +√ e e e (s+1)2 2 s2 ∈ L (St(−∞, +∞)) ) Vì v¾y Do C Mp M−1 Σ Σ Σ (s) = e(s+1)2 ∈ L1 (St(−∞, +∞)) x Mp (x) =√ e C 4π − (ln x) 2 ∈ X(−∞,+∞) Áp dung Đ%nh lý (2.3.6) ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình ϕ(x) = M −1 Σ Mp Σ C (x) = x √ e 4π − (ln x) 2 ∈ X(−∞,+∞) Ket lu¾n Lu¾n văn nghiên cúu khái ni¾m ban ve phép bien đői Mellin, phép bien đői Mellin ngưoc, tính liên tuc, tính giai tích, nhung tính chat tốn tu ban cna phép bien đői Mellin Ngồi ra, lu¾n văn xây dnng hàm anh cna hàm Hermite, hàm dang Hermite qua phép bien i Mellin, cỏc tớch chắp suy rđng múi v su dung cỏc tớch chắp suy rđng múi ú e giai mđt so phng trỡnh tớch phõn dang chắp NhEng ket qua cua lu¾n văn đat đưac Xây dnng hàm anh cna hàm Hermite qua phép bien đői Mellin Xây dnng hàm anh cna hàm dang Hermite qua phép bien đői Mellin Xây dnng tích ch¾p suy r®ng cna phép bien đői Mellin vói hàm TRQNG hàm anh cna hàm Hermite qua phép bien đői Mellin Xõy dnng tớch chắp suy rđng cna phộp bien đői Mellin vói hàm TRQNG hàm anh cna hàm dang Hermite qua phép bien đői Mellin Xây dnng tớch chắp suy rđng cna phộp bien i Mellin vói hàm TRQNG hàm mũ Úng dung tích ch¾p có TRQNG vào tốn giai phương tình tích phân vói nhân hàm dang Hermite hàm mũ NhEng han che hưáng pháp trien: Do hàm anh cna hm Hermite l mđt hm siờu viắt, nờn viắc úng dung tích ch¾p vói TRQNG hàm anh cna hàm Hermite cịn g¾p nhieu han che Trong đ%nh hưóng nghiên cúu tiep theo, dn kien xác đ%nh hàm riêng cna phép bien đői Mellin, xây dnng tớch chắp suy rđng múi cna mđt phộp bien đői tích phân Mellin vói m®t phép bien đői tích phân mói, nghiên cúu úng dung tích ch¾p suy r®ng mói vào tốn giai phương trình vi tích phân phương trình đao hàm riêng 38 Tài li¾u tham khao [1] E C Titchmarsh(1996), Introduction to the theory of Fourier integrals, Chelsea, New York [2] Paul L Butzer, Stefan Jansche (1997), "A Direct Approach to the Mellin transform", The Journal of Fourier Analysis and Application, Volume 3, Number 4, pp 325-376 [3] Magnus W., Orberhettingger F., Soni R.P (1966), Formulas and Theorems for the Special Functions of Mathematical Physics, Grundlehren Math Wiss 52, Springer, Berlin [4] Lokenath D., Dambaru B.(2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis Group, New York [5] Sveshnikov A.G., Tikhonov A.N (2005), The theory of functions of a complex variable, PHYSMATLIT, Moscow.( in Russian) [6] Butzer, Jansche (1996), Mellin transform theory and the role of its differential and integral operators, Proc Con On Transform Methods and Special Functions, Varna [7] Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums [8] W Rudin (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, New York [9] Apostol T.M (1976), Introduction to Analytic Namber Theory, Springer, New York [10] Apostol T.M (1992), Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Springer, New York [11] G.Elfving (1981), The History of Mathematics in Finland 1828-1918, Frenckell, Helsinki (ISBN 951-653-098-2) 39 ... oi Mellin Trong chương này, lu¾n văn trình bày ket qua ve hàm anh cna hàm Hermite, hàm dang Hermite qua phộp bien i Mellin, tớch chắp suy rđng cna phép bien đői Mellin 2.1 Hàm anh cua hàm Hermite, ... giao, dãy hàm Hermite φn(x) = e− Hn(x) Dãy hàm Hermite t¾p hàm giá tr% riêng cna bien đői Fourier đưoc đe c¾p [1] Vói muc đích tìm hieu ve phép bien đői Mellin, hàm anh cna hàm Hermite qua phép bien... 1.4Tích ch¾p cna phép bien đői Mellin 1 11 13 Tớch chắp suy rđng cua phộp bien đoi Mellin 2.1 Hàm anh cna hàm Hermite, hàm dang Hermite qua phép bien đői Mellin