Luận Văn thạc sĩ PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Phạm Chí Chơn (2015)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Chơn PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Chơn PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến: - TS Đoàn Hữu Hải, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn đồng thời động viên vượt qua khó khăn sống gia đình - PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Thị Như Hương, TS Nguyễn Chí Thành, TS Nguyễn Thị Nga trực tiếp giảng dạy, giải đáp thắc mắc ngày làm quen với Didactic toán Mặc dù cố gắng để hoàn thành luận văn không tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp bạn bè quý thầy cô để luận văn hoàn chỉnh Một lần em chân thành cảm ơn quí thầy cô Phạm Chí Chơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Đặt vấn đề Khung lý thuyết tham chiếu 2.1 Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức 2.2 Quan hệ thể chế đối tượng tri thức O .3 2.3 Tổ chức toán học 3 Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 Tổ chức luận văn .5 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH .6 1.1 Quan điểm số nhà toán học kỷ 15-19 phép biến hình 1.2.Ý kiến số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán Việt Nam .9 Chương QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN 17 2.1 Phép biến hình SGK lớp giai đoạn hành 17 2.1.1 Đối xứng trục 18 2.1.2 Khái niệm đối xứng tâm .21 2.2 Phép biến hình SGK 10 giai đoạn CLHN 23 2.2.1 Phép đối xứng trục 24 2.2.2 Phép đối xứng tâm 26 2.2.3 Phép tịnh tiến 27 2.2.4 Phép dời hình 28 2.2.5 Phép vị tự 28 2.2.6 Phép đồng dạng .29 2.2.7 Kết luận 36 2.3 Phép biến hình SGK 11 giai đoạn hành 36 2.3.1 Phép tịnh tiến 38 2.3.2 Phép quay 39 2.3.3 Phép dời hình 40 2.3.4 Phép vị tự 41 2.3.5 Phép đồng dạng .41 2.4 Sự khác biệt hai SGK CLHN, SGK hành .47 2.5 Kết luận rút từ phân tích thể chế I2 với PBH công cụ giải toán 48 Thực tế giảng dạy phép biến hình trường phổ thông .49 2.6.1 Quá trình khảo sát 49 2.6.2 Phân tích câu hỏi 51 2.6.3 Kết khảo sát 52 Chương 3: THỰC NGHIỆM 56 3.1 Giới thiệu thực nghiệm 56 3.1.1 Hình thức thực nghiệm 56 3.1.2 Câu hỏi thực nghiệm .57 3.2 Phân tích apriori toán .59 3.2.1 Bài toán 59 3.2.2 Bài toán số 60 3.2.3 Bài toán số 61 3.3 Phân tích aposteriori toán 63 3.3.1 Phân tích aposteriori thực nghiệm .63 3.3.2 Phân tích aposteriori thực nghiệm .66 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Tên đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh KNV Kiểu nhiệm vụ PBH Phép biến hình PDH Phép dời hình PĐD Phép đồng dạng SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Khái niệm “phép biến hình” (PBH) giảng dạy chương trình thức nhiều quốc gia giới, đáng ý nước có giáo dục tiên tiến Trong chương trình toán học phổ thông Việt Nam nay, khái niệm PBH xuất đầu lớp 11 Tuy nhiên, trước thức trình bày chương trình toán lớp 11 khái niệm giới thiệu sơ lược thông qua tình cụ thể bậc trung học sở Là giáo viên toán sau gần 10 năm trực tiếp tham gia giảng dạy bậc trung học phổ thông, nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận khái niệm phép biến hình: từ việc hiểu chất khái niệm đến việc vận dụng khái niệm; đặc biệt, việc khai thác sử dụng PBH công cụ để giải toán xuất Điều tượng dị biệt, không bình thường, trước thực tế khác, ý kiến, kinh nghiệm nhiều nhà giáo, nhà nghiên cứu cho PBH công cụ hữu hiệu việc giải dạng toán khác chương trình toán bậc phổ thông Có thể giải thích tượng nào? Đây câu hỏi làm trăn trở nhiều năm gần đây, không dừng lại thử thực trắc nghiệm nhỏ cách yêu cầu học sinh lớp 12 giải toán sau: Cho góc xOy, Oz tia phân giác Trên tia Ox lấy điểm A, B Gọi A’ B’ hai điểm đối xứng với A, B qua Oz Chứng minh (Hình 0.1) x B A z O A' B' Hình 0.1 y Khi nêu toán này, chủ động tạo điều kiện thuận lợi cho việc chọn phương án sử dụng PBH để giải cách bổ sung gợi ý: thứ dùng ngôn ngữ BH để phát biểu nội dung toán thứ hai, khuyến khích học sinh giải cách khác Kết nhận thật bất ngờ: số 41 học sinh tham gia có 12 em không cho lời giải; 28 em dùng phương pháp tổng hợp để giải cho kết đúng; có 01 học sinh sử dụng công cụ PBH để giải toán Kết này, mặt giúp củng cố thêm nhận định nêu thực trạng học sinh vận dụng PBH để giải toán chương trình phổ thông mặt khác lại đặt vấn đề “tại công cụ tiềm năng” lại không phát huy tác dụng trình dạy học toán nói chung, đặc biệt việc giải toán? Liệu có phải tượng diễn phổ biến hay phạm vi cục bộ, có tính địa phương? Mong muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi dẫn đến lựa chọn định thực nghiên cứu “phép biến hình với vai trò công cụ giải toán trường phổ thông” Thực nghiên cứu này, dự kiến đặt tìm hướng giải câu hỏi sau đây: Q1’: Vai trò công cụ PBH việc giải toán thể công trình nghiên cứu trước đây? Q2’: Trong chương trình sách giáo khoa toán bậc phổ thông Việt Nam, khái niệm PBH đưa vào nào? Mức độ quan tâm đến việc khai thác vai trò công cụ giải toán PBH? Q3’: Công cụ PBH học sinh vận dụng để giải toán nào? Khung lý thuyết tham chiếu Đi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nêu Chúng đặt nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết Didactic toán, đó: Những khái niệm lý thuyết nhân học dạy học Quan hệ thể chế, Quan hệ cá nhân đối tượng trí thức hay Tổ chức toán học vận dụng Ngoài ra, để triển khai nghiên cứu thực nghiệm, vận dụng khái niệm Phân tích apriori, Phân tích aposteriori, Biến didactic, Biến tình v.v Dưới trình bày tóm tắt khái niệm cố gắng làm rõ tính thỏa đáng lựa chọn phạm vi lý thuyết phục vụ nghiên cứu 2.1 Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức Một đối tượng tri thức O tồn tại, cá nhân Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O R(X,O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O nào, thao tác O Trong nghiên cứu này, đối tượng tri thức O khái niệm Phép biến hình xét phương diện công cụ giải toán chương trình phồ thông 2.2 Quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Một cá nhân tồn lơ lửng mà phải thể chế Từ đó, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ cá nhân R(X,O) phải đặt thể chế I mà có tồn X Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O) để tập hợp ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O Đồng thời, quan hệ thể chế R(I, O) cho biết O xuất nào, đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trò I Trong luận văn mình, mặt làm rõ mối quan hệ R(I,O) R(X,O) đồng thời làm rõ quan hệ R(I,O) R(X,O) Để làm rõ quan hệ này, lại cần đến công cụ khác, Tổ chức toán học 2.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm này, Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chevallard, praxeologie gồm thành phần (T, kiểu nhiệm vụ, kỹ thuật cho phép giải T, lý thuyết giải thích cho công nghệ ), T công nghệ giải thích cho kỹ thuật , Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, phát biểu lại câu hỏi ban đầu sau: Q1: Vai trò công cụ PBH việc giải toán thể công trình nghiên cứu trước đây? Q2: Khái PBH trình bày SGK phổ thông nào? Mối quan hệ thể chế với khái niệm xây dựng tiến triển từ phương diện giải toán? Những tổ chức toán học gắn liền với nó? Q3: Mối quan hệ thể chế có ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm PBH với vai trò công cụ giải toán chương trình phổ thông? Mục đích nghiên cứu đề tài tìm câu trả lời cho câu hỏi Phương pháp nghiên cứu Để đáp ứng câu hỏi Q1 tìm hiểu đặc trưng công cụ giải toán PBH giai đoạn lịch sử qua quan điểm nhà toán học để lại Bên cạnh đó, tổng hợp nhận định tác giả giáo trình bậc Đại học ưu điểm bậc vận dụng vào việc giải toán chương trình phổ thông Với câu hỏi Q2 tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV, SBT liên quan đến PBH để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng PBH, đặc biệt phương diện công cụ giải toán Ngoài ra, tiến hành vấn số đồng nghiệp chủ đề nghiên cứu Trên sở đó, hình thành phát biểu giả thuyết nghiên cứu cho đề tài 56 Chương 3: THỰC NGHIỆM Những phân tích chương cho phép hình thành nên giả thuyết nghiên cứu sau: Sau học xong nội dung phép biến hình lớp, khả thói quen sử dụng công cụ biến hình vào việc giải dạng toán khác chương trình toán bậc phổ thông chưa hình thành rõ rệt học sinh: Đứng trước toán đề không yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh, không nghĩ tới việc khai thác công cụ này; đề yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh gặp nhiều khó khăn không vận dụng vận dụng sai Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính xác đáng giả thuyết trên, để đánh giá khả vận dụng PBH để giải toán 3.1 Giới thiệu thực nghiệm 3.1.1 Hình thức thực nghiệm Đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành với học sinh học xong chương phép biến hình Cách thức thực nghiệm - Một câu hỏi gồm toán soạn phiếu dành cho học sinh với thời gian 30 phút - Thực nghiệm tiến hành với trường THPT Nguyễn Hùng Sơn – THPT An Minh, THPT Nguyễn Trung Trực tỉnh Kiên Giang 57 3.1.2 Câu hỏi thực nghiệm Các em thân mến, phiếu đánh giá lực em mà tìm hiểu suy nghĩ em vấn đề chương trình học Rất mong hợp tác em Chân thành cảm ơn em! Phiếu số (Thực nghiệm 20 phút) Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Lấy M cạnh AD, N cạnh BC cho O trung điểm MN Chứng minh hai tam giác ABM CDN Giải A M D O B C N -Bài Cho hình vuông ABCD có tâm O Gọi E, F trung điểm hai cạnh BC CD Chứng minh Giải A D F O - B E C 58 Phiếu số (Thực nghiệm 10 phút) đường thẳng d: Bài 3: Cho Parabol (P) Hãy xác định parabol (P’) ảnh (P) qua phép đối xứng trục d y = 5x2+4x-1 x=1 2 Lời giải - 59 3.2 Phân tích apriori toán Hai toán phiếu số mà chọn tương đối nhẹ nhàng với học sinh, tất em làm được, ngôn ngữ tổng hợp liều lượng tăng dần mức độ khó phương pháp tổng hợp để tạo điều kiện phương pháp biến hình xuất Một phiếu số vừa sức với học sinh ngôn ngữ biến hình, giải phương pháp biến hình Bài toán này, có độ nhiễu cao, lựa chọn phương pháp khác khó khăn hơn, dùng PBH phải hiểu rõ vấn đề Lưu ý rằng, với mục đích đề tài nên không chọn toán khó, đặc biệt học sinh mà khảo sát trường chuyên mà học sinh đại trà 3.2.1 Bài toán Biến V1.1: Tính đối xứng hình, biến nhận hai giá trị V1.1.1: Tính chất đối xứng hình V1.1.2: Tính chất không đối xứng hình Tam giác, hình bình hành hình học sinh gặp nhiều chương trình lớp Việc chứng minh hai tam giác có cạnh hay góc cạnh góc hình bình hành tạo điều kiện cho chiến lược xuất hiện, chọn giá trị V11 để học sinh sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai cạnh đối, hình bình hành Những chiến lược lời giải dự đoán A M D S1 (tam giác nhau): Học sinh sử dụng O tính chất đối đỉnh, so le góc, cặp cạnh đối hình bình hành để chứng minh cặp tam giác có cạnh hay góc liên quan đến ABM, CND Từ áp dụng B N C trường hợp tam giác để suy hai tam giác ABM CND 60 S2 (công cụ PBH): Phép đối xứng tâm biến A  C, B D, M N suy hai tam giác ABM CDN Nếu chọn việc dựng hai tam giác có tính chất theo cách khác: hình cho hình bình hành (biến V12) phương pháp tổng hợp đặt lên hàng đầu tức chiến lượt S1 có hội xuất chiến lượt S2 Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trên cạnh AD lấy M, D M A tia đối tia OM lấy điểm N cho đoạn O ON = OM Dựng tia Nx song song với AD cắt N AC E, tia Ay song song với DE cắt BD E F F Chứng minh rằng: C B Ví dụ cho thấy học sinh sử dụng chiến lược S1 nhiều tính chất đối xứng có với M, N gây cản trở cho chiến lược S2 Muốn sử dụng S2 học sinh phải chứng minh tứ giác AFED hình bình hành, cách làm có phần S1 Cho nên cho hình bình hành để chiến lược S2 dễ xuất 3.2.2 Bài toán số Biến V3.1(các điểm đặc biệt): biến nhận hai giá trị V3.1.1: cho trước tâm O vị trí điểm E, F trung điểm cạnh BC CD V3.1.2: không cho trước tâm O điểm E, F là trung điểm cạnh BC CD Các chiến lược S1 (tam giác nhau): Học sinh sử tìm cách chứng A D minh hai tam giác AFD với tam giác DEC suy AE = F O B E C 61 DF, sau sử dụng tính chất tổng hai góc tam giác góc thứ ba S2 (công cụ PBH): Dùng phép quay tâm O góc quay 60o biến A  D, F E suy S3 (phương pháp tọa độ hóa): Chọn hệ trục tọa độ vuông góc với B góc tọa độ Ta có tọa độ A(0;x), D(x; x), E(x/2; 0), F(x; x/2) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) Ta có S4 (phương pháp vectơ): ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ √ Vậy Để cho chiến lược S2 ưu tiên xuất chọn biến V3.1.1 Ở mức độ nhận biết học sinh thấy Tuy nhiên nghĩ học sinh không lựa chọn chiến lược mà thay vào chiến lược S1 xuất nhiều Hơn chiến lược S3 hoàn toàn không lựa chọn 3.2.3 Bài toán số Biến V3.1: Biến nhận hai giá trị V3.1.1: Lưới tọa độ (P), d có sẵn V3.1.2: Không có sẵn lưới tọa độ (P), d Với xuất lưới tọa độ giúp cho học sinh vẽ điểm hình dễ dàng Biến V2.2: Cách cho hàm số y = f(x) Có thể thấy, đồ thị hàm số qua giao điểm lưới tọa độ tạo điều kiện cho học sinh xác định điểm đồ thị dễ dàng, dẫn đến thiết lập parabol (P’) phương pháp đại số dễ dàng mà không cần sử dụng đến phương pháp biến hình 62 V3.3: Cách cho đường thẳng d Biến quan trọng việc hướng học sinh việc sử dụng phương pháp Chúng cố gắng tạo điều kiện thuận lợi để học sinh sử dụng công cụ PBH để giải toán, nhiên hiểu PBH vận dụng không thành thạo dẫn đến nhằm lẫn d không song song với trục tung Các chiến lược S1(Phương pháp tọa độ có vận dụng PBH làm công cụ): C1: Học sinh lấy M(x;y), ảnh M đối xứng qua d M’ Khi M’(2-x; y), Nên (P’) : y =5 (2-x)2+4(2-x)-1= 5x2 - 24x +27 C2: Học sinh dùng phép tịnh tiến ngang phải trục hoành 14/5 đơn vị, từ biểu thức tọa độ phép tịnh tiến suy (P) y = 5x2 - 24x +27 S2 (Cho điểm đặc biệt): Dựa vào đồ thị (P) qua điểm đặc biệt, lấy đối xứng điểm qua d, ta điểm thuộc (P’) Dùng phương pháp đại số xác định a, b, c parabol y = ax2+bx+c ta y = 5x2 - 24x +27 S3 (Đối xứng qua trục Oy): Học sinh lấy M(x;y), ảnh M đối xứng qua d M’ Khi M’(-x; y), Nên (P’) : y = 5x2 -4x -1 Nếu chọn biến V3.1.1 chiến lược S2 (điểm đặc biệt), S3 (Đối xứng qua Oy) xảy ra, chiến lược S2 gặp khó khăn xác định điểm thứ ba mà đồ thị không qua giao điểm lưới tọa độ Với d: x = gây nhằm lẫn với trục Oy Chiến lược S1 không phụ thuộc nhiều vào hình vẽ nên xảy Nếu chọn biến V3.1.2 chiến lược S2 không xuất Với mục đích thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết: “Ngay đề yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh gặp nhiều khó khăn không vận dụng vận dụng sai” cho ba biến xuất hiện, để chiến lược đồng khả xảy ra, nhằm đánh giá ý thức vận dụng PBH để giải toán vận dụng thành thạo chưa 63 3.3 Phân tích aposteriori toán Thực nghiệm thực trường THPT: THPT An Minh, THPT Nguyễn Hùng Sơn, THPT Nguyễn Trung Trực - tỉnh Kiên Giang, triển khai với hai khối 11, khối 12 Hình thức thực nghiệm: Trong thực nghiệm phát cho học sinh phiếu học tập, học sinh làm việc cá nhân với tổng thời gian 25 phút quan sát GV đứng lớp 3.3.1 Phân tích aposteriori thực nghiệm Chúng triển khai thực nghiệm với 112 học sinh lớp 11 trường có kết sau Chiến lược Câu Câu Số câu trả lời Tỉ lệ % Số câu trả lời Tỉ lệ % S1 87 78% 72 64% S2 6,2% 8,4% S3 0% S4 0% Bảng thống kê kết chiến lược giải lớp 11 Chúng triển khai thực nghiệm với 108 học sinh lớp 12 trường có kết sau Chiến lược Câu Câu Số câu trả lời Tỉ lệ % Số câu trả lời Tỉ lệ % S1 97 89,8% 101 93% S2 0,9% 0% 0% S3 64 S4 0% Bảng thống kê kết chiến lược giải lớp 12 Điều quan tâm học sinh lớp 11 sau học xong chương PBH đại đa số em chọn phương pháp tổng hợp để giải, tạo tình thuận lợi cho sử dụng PBH làm công cụ, đặc biệt toán số dùng liều lượng mạnh kết không khả quan toán số Còn em học sinh lớp 12, hoàn toàn không dùng PBH để giải Có lẽ phần em lơ mơ PBH, phần lớn môi trường sinh thái PBH không phát triển thể chế Mặc dù sử dụng ngôn ngữ biến hình, hầu hết học sinh không vận dụng PBH làm công cụ giải toán, thay vào sử dụng phương pháp tổng hợp quen thuộc lớp để chứng minh hai tam giác Học sinh sử dụng tính chất đối đỉnh, so le góc, cặp cạnh đối hình bình hành để chứng minh hai tam giác ABM CDN Như dự đoán ban đầu đại đa số học sinh trình bày sau: * Đối với toán số Xét hai tam giác suy có OM=ON, OA=OC, ̂ AM = CN Xét hai tam giác cần chứng minh: ̂ ̂ đối đỉnh, ̂ có AM = CN, AB = CD, Có trường hợp có em học sinh sử dụng phép đối xứng tâm để chứng minh, cho kết lại “xóa bỏ” có lẽ em nhận không hợp thức cách giải này, đối xứng tâm không giảng dạy không chấp nhận 65 * Đối với toán số Chúng tạo thuận lợi cho phép quay xuất cách cho tâm quay nằm tâm hình vuông góc quay 90o nằm ngang với cạnh CD, có em 220 em đạt 0,45%, sử dụng làm công cụ Một số khiêm tốn so với 178 em chiếm 89% sử dụng tính chất tam giác vuông định lý Pitago, trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đường thẳng AE, DF cắt góc 90o Cách giải em sau: Xét hai tam giác vuông DAF CDE có AD = CD, DF = CE, ̂ ̂ , suy Một cách chứng minh khác em dùng định lý Pitago: √ √ (do AD=DC, DE = CF) Gọi I giao điểm AF DE, ta có ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ Vậy Chúng phát học sinh dùng chiến lược S4 để chứng minh , sau em lại chuyển sang chiến lược S1 Chắc có lẽ, chiến lược S4 gây khó khăn cho em, lẽ phân tích hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ thành vectơ để tích vô hướng 66 Kết luận Như vậy, với thực nghiệm phiếu số 220 học sinh để kiểm chứng giả thuyết “Đứng trước toán đề không yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh, không nghĩ tới việc khai thác công cụ này” Đối với toán số 1, ghi nhận có 184 em (chiếm khoảng 83,6%) sử dụng phương pháp tổng hợp, em (chiếm khoảng 3,6%) sử dụng PBH làm công cụ, toán số có 178 em (chiếm 80,9%) sử dụng phương pháp tổng hợp, em (chiếm khoảng 0,4%) sử dụng PBH làm công cụ Từ kết phản ánh phần thể chế dạy học 3.3.2 Phân tích aposteriori thực nghiệm Tương tự, triển khai thực nghiệm với 112 học sinh lớp 11 108 học sinh lớp 12 trường có kết sau Chiến lược Số học sinh 11 Số học sinh 12 S1 (7,1%) (4,6%) S2 (3,5%) (5,5%) S3 29 (25,9%) (0,9%) Bảng thống kê kết chiến lược giải * Đối với câu Điều đáng ý, chiến lược S3 xuất nhiều lớp 11, học sinh làm quen biểu thức tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy mà không học đối xứng qua trục bất kỳ, dẫn đến kết sai rập khuôn máy móc Nhưng em lớp 12 chiến lược vắng mặt, có em (0,9%) Chắc có lẽ, em quên biểu thức tọa độ trục đối xứng qua truc Ox, Oy, thay vào chiến lược đại số xuất 67 * Kết luận phiếu số Đại đa số em chưa thành thạo chưa hiểu cách rõ rệt việc vận dụng PBH làm công cụ, dẫn đến em làm sai không cho lời giải Chỉ có 23 em 220 trả lời 68 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, trả lời câu hỏi đặt từ phần mở đầu, câu hỏi liên quan đến chủ đề nghiên cứu Chúng đúc kết vấn đề sau Trong chương 1, tìm hiểu xuất PBH giai đoạn lịch sử, việc hiểu PBH phân theo giai đoạn , giai đoạn “được xuất ngầm ẩn vấn đề dịch chuyển hình”, giai đoạn “ phép biến hình xem tập hợp điểm từ không gian lên nó” giai đoạn “phép biến hình đối tượng nghiên cứu toán học” giai đoạn “PBH phương pháp để nghiên cứu hình học” Bên cạnh đó, số tác giả khẳng định phép biến hình công cụ hữu dụng với dạng toán khác nhau, từ chủ đề khác nhau, cách nhận biết toán sử dụng nó, từ yếu tố toán lựa chọn PBH để áp dụng có hiệu Trong chương 2, nghiên cứu chương trình dạy – học phổ thông nhằm trả lời câu hỏi từ đầu mà đặt Qua trình phân tích SGK, SGV, SBT tìm hiểu ý kiến số GV trực tiếp giảng dạy nội dung để đưa giả thuyết kết học sinh sau học xong chương Cùng với kết thực nghiệm chương 3, đúc kết lại kết sau Thứ nhất, vận dụng PBH để giải toán mức độ khó, điều kiện cần đòi hỏi phải vận dụng thường xuyên, điều kiện đủ học sinh phải tư tốt Vì chương trình không yêu cầu đạt mức độ này, nên tác giả SGK biên soạn nội dung mang tính chất tham khảo, để dành thời lượng chủ yếu cho phần PBH mặt phẳng tọa độ Tức chuyển PBH sang phương diện số để đơn giản hóa trình dạy học chủ đề Bên cạnh thời lượng dành cho phần khiêm tốn dẫn việc học sinh hình thành rõ rệt PBH với vai trò công cụ điều không dễ đến Thứ hai, học sinh chưa hình thành rõ rệt PBH từ công cụ giải toán Đứng trước toán sử dụng PBH để giải, học sinh gặp nhiều khó khăn 69 Thứ ba, kỳ thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học 12 năm gần không xuất toán vận dụng PBH để giải Điều làm động lực ràng buộc cần thiết trình dạy học PBH với vai trò công cụ giải toán Thứ tư, Thời lượng dành cho chương PBH ít, khó hình thành học sinh có khả giải toán công cụ biến hình Những hạn chế luận văn - Luận văn đánh giá chung thực tiễn giảng dạy, chưa sâu nghiên cứu làm để phát toán sử dụng PBH để giải - Chưa khó khăn việc dạy – học PBH cấp THPT Hướng mở luận văn: Có thể xây dựng đồ án áp dụng phép biến hình để giải với lớp toán đó, qua môi trường phản hồi công nghệ thông tin 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu, 2004, Phương pháp dạy học hình học trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Phan Đứng Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SGV Toán 7, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, Toán 8, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SGV Toán 8, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, Toán 7, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, BT Toán 7, NxB giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (cb), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, Hình học 11, Nxb giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (cb), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, SBT hình học 11, Nxb giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, SGV hình học 11, Nxb giáo dục 10 Nguyễn Mộng Hy, 1997, Các phép biến hình mặt phẳng, Nxb giáo dục 11 Hùy Duy Linh, 2013, Phép đối xứng trục dạy học toán phổ thông 12 Nguyễn Đăng Phất, 2003, Phép biến hình mặt phẳng, Nxb ĐH sư phạm Hà Nội 13 Nguyễn Thị Bích Phượng, 2012, Vai trò phương pháp tọa độ mặt phẳng 14 Đào Tam, 2000, Giáo trình hình học sơ cấp, Nxb giáo dục 15 Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SBT Toán 7, Nxb giáo dục 16 Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SBT Toán 8, Nxb giáo dục [...]... phương diện công cụ Thực nghiệm 5 Tổ chức luận văn Luận văn này được cấu trúc gồm 3 chương ngoài phẩn Mở đầu và Kết luận Chương 1: Một số kết quả nghiên cứu về phép biến hình Chương 2: Quan hệ thể chế với phép biến hình với vai trò công cụ giải toán Chương 3: Thực nghiệm 6 Chương 1 MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH Mục đích chương này, là chúng tôi muốn tìm hiểu quan điểm của các nhà toán học... phép làm rõ vai trò, tầm quan trọng và đặc biệt là một số ưu thế của công cụ biến hình trong việc giải quyết các bài toán trong chương trình toán phổ thông Với tiềm năng là như vậy, liệu rằng trong thể chế dạy học môn toán ở trường phổ thông VN, vai trò và những ưu thế của công cụ biến hình có được quan tâm khai thác? Thực tế nó được vận hành như thế nào? Chúng ta sẽ tìm hiểu vấn đề này ở chương sau... nhà toán học, phép biến hình là công cụ giải toán hình học nhờ vào tính bất biến của một hình hay phép biến đổi hình phức tạp thành hình đơn giản hơn - Như vậy, có thể vận dụng tính chất của PBH một cách có hiệu quả vào giải quyết ba dạng toán trong hình học sơ cấp: chứng minh, dựng hình, quỹ tích Qua nhận định của các nhà toán học, nhà nghiên cứu đã làm nổi bật những tính chất đặc trưng của phép biến. .. đề này ở chương sau 17 Chương 2 QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI TRÒ CÔNG CỤ GIẢI TOÁN Mục đích của chương này là nhằm phân tích chương trình và sách giáo khoa để tìm câu trả lời cho câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra ở cuối chương 1: Trong thể chế dạy học môn toán ở trường phổ thông VN hiện nay, vai trò và những ưu thế của công cụ biến hình được quan tâm khai thác như thế nào? Chúng tôi... dụng phép biến hình vào mục đích nghiên cứu các đường cônic Vấn đề xác định một số quỹ đạo buộc Newton phải giải một lớp bài toán liên quan đến các đường cônic Khó khăn gặp phải khi giải nhiều bài toán cần giải quyết trên một hình đơn giản hơn nhận được từ hình ban đầu qua một phép biến hình Phép biến hình được ông sử dụng như một phương pháp để biến đổi các hình thành những hình đơn giản hơn thuộc hình. .. cũng có nghĩa là ở cấp độ này việc vận dụng biến hình để giải các bài toán chưa phải là mối quan tâm chính của cấp học, và vì vậy học sinh chưa thể có kỹ năng và thói quen khai thác công cụ biến hình để giải các bài toán 2.2 Phép biến hình trong SGK 10 giai đoạn CLHN Năm 2000, cùng với sự chỉnh lý chương trình, các trường phổ thông cả nước sử dụng chung bộ SGK cho cả nước do tác giả, Văn Như Cương (chủ... nhiên không phải bài toán nào cũng giải được bằng phương pháp biến hình Như vậy, trước tiên là nhận dạng có khả năng sử dụng nó, sau đó phân tích nội dung bài toán để tìm ra yếu tố nào trong đó có mối liên hệ đáng chú ý đến một PBH cụ thế nào đó Sau đó vận dụng tính chất của phép biến hình này để tìm ra lời giải của bài toán đang xét 14 Khi giải một bài toán bằng công cụ phép biến hình thì khâu khó... hình thuộc cùng loại với hình ban đầu nhưng đơn giản hơn Ở quy trình này, ông mô tả tường minh phép biến hình thông qua việc dựng từng điểm: với mỗi điểm G của hình thứ nhất dựng một điểm g tương ứng của nó Từ cách dựng điểm ảnh như thế, làm thế nào để sinh ra hình thái thứ hai Điều này có nghĩa phép biến hình được sử dụng như một phương pháp biến đổi hình này thành hình kia cùng loại Đây cũng là công. .. đặc trưng của phép biến hình trong những tình huống toán học khác nhau Đây có 1 PBH trở thành vị trí trung tâm của các nhà nghiên cứu trong việc xây dựng các lý thuyết hình học 9 thể coi là những cơ sở để hình thành các phương pháp mới cho phép giải các bài toán trong chương phổ thông bằng cách sử dụng công cụ phép biến hình 1.2 Ý kiến của một số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán VN Câu hỏi đặt ra... một số tác giả như thế nào, từ phương diện giải toán ở trường phổ thông? Để tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu thể chế chúng tôi chỉ tập trung nghiên cứu vai trò của PBH trong việc giải các bài toán sơ cấp trong mặt phẳng Nhằm để nghiên cứu cách vận dụng PBH làm công cụ hữu dụng trong giải toán ở hình học sơ cấp Do đó, chúng tôi tổng hợp một số công trình hiện có của một vài tác giả Bên ... ứng điểm đường tròn với điểm đường cônic hay tính chất bất biến phép chi u Tiếp theo, Passcal (1623 – 1662) sử dụng lại phép chi u Desargues để trình bày lại sách đường cônic ông Pascal kế thừa... thiết lập hai hình tương ứng “ điểm đường tròn chi u ảnh lên mặt phẳng tranh” Pascal tưởng tượng điểm đường cônic ảnh điểm thuộc đường tròn qua phép chi u Ta thấy từ gốc, phép biến hình xuất công... thành Poncelet nghiên cứu tính chất xạ ảnh hình, tức tính chất bảo toàn qua phép chi u, ông xem PBH tổng quát phép chi u Phép biến hình xuất tương ứng hai hình phẳng, biến điểm hình thứ thành điểm