Phép biến hình với vai trò công cụ giải toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Chơn PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRỊ CƠNG CỤ GIẢI TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Phạm Chí Chơn PHÉP BIẾN HÌNH VỚI VAI TRỊ CƠNG CỤ GIẢI TỐN Ở TRƯỜNG PHỔ THƠNG Chun ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh - 2015 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến: - TS Đồn Hữu Hải, người thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn đồng thời động viên tơi vượt qua khó khăn sống gia đình - PGS.TS Lê Thị Hồi Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Trần Lương Công Khanh, TS Vũ Thị Như Hương, TS Nguyễn Chí Thành, TS Nguyễn Thị Nga trực tiếp giảng dạy, giải đáp thắc mắc ngày làm quen với Didactic toán Mặc dù cố gắng để hồn thành luận văn khơng tránh khỏi sai sót Kính mong đóng góp bạn bè q thầy để luận văn hồn chỉnh Một lần em chân thành cảm ơn quí thầy Phạm Chí Chơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Đặt vấn đề Khung lý thuyết tham chiếu 2.1 Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức 2.2 Quan hệ thể chế đối tượng tri thức O .3 2.3 Tổ chức toán học 3 Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu 4 Phương pháp nghiên cứu .4 Tổ chức luận văn .5 Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ PHÉP BIẾN HÌNH .6 1.1 Quan điểm số nhà toán học kỷ 15-19 phép biến hình 1.2.Ý kiến số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán Việt Nam .9 Chương QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI TRỊ CƠNG CỤ GIẢI TỐN 17 2.1 Phép biến hình SGK lớp giai đoạn hành 17 2.1.1 Đối xứng trục 18 2.1.2 Khái niệm đối xứng tâm .21 2.2 Phép biến hình SGK 10 giai đoạn CLHN 23 2.2.1 Phép đối xứng trục 24 2.2.2 Phép đối xứng tâm 26 2.2.3 Phép tịnh tiến 27 2.2.4 Phép dời hình 28 2.2.5 Phép vị tự 28 2.2.6 Phép đồng dạng .29 2.2.7 Kết luận 36 2.3 Phép biến hình SGK 11 giai đoạn hành 36 2.3.1 Phép tịnh tiến 38 2.3.2 Phép quay 39 2.3.3 Phép dời hình 40 2.3.4 Phép vị tự 41 2.3.5 Phép đồng dạng .41 2.4 Sự khác biệt hai SGK CLHN, SGK hành .47 2.5 Kết luận rút từ phân tích thể chế I2 với PBH cơng cụ giải tốn 48 Thực tế giảng dạy phép biến hình trường phổ thơng .49 2.6.1 Quá trình khảo sát 49 2.6.2 Phân tích câu hỏi 51 2.6.3 Kết khảo sát 52 Chương 3: THỰC NGHIỆM 56 3.1 Giới thiệu thực nghiệm 56 3.1.1 Hình thức thực nghiệm 56 3.1.2 Câu hỏi thực nghiệm .57 3.2 Phân tích apriori tốn .59 3.2.1 Bài toán 59 3.2.2 Bài toán số 60 3.2.3 Bài toán số 61 3.3 Phân tích aposteriori tốn 63 3.3.1 Phân tích aposteriori thực nghiệm .63 3.3.2 Phân tích aposteriori thực nghiệm .66 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 DANH MỤC VIẾT TẮT Từ viết tắt Tên đầy đủ GV Giáo viên HS Học sinh KNV Kiểu nhiệm vụ PBH Phép biến hình PDH Phép dời hình PĐD Phép đồng dạng SBT Sách tập SGK Sách giáo khoa SGV Sách giáo viên MỞ ĐẦU Đặt vấn đề Khái niệm “phép biến hình” (PBH) giảng dạy chương trình thức nhiều quốc gia giới, đáng ý nước có giáo dục tiên tiến Trong chương trình tốn học phổ thơng Việt Nam nay, khái niệm PBH xuất đầu lớp 11 Tuy nhiên, trước thức trình bày chương trình tốn lớp 11 khái niệm giới thiệu sơ lược thơng qua tình cụ thể bậc trung học sở Là giáo viên toán sau gần 10 năm trực tiếp tham gia giảng dạy bậc trung học phổ thông, nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc tiếp cận khái niệm phép biến hình: từ việc hiểu chất khái niệm đến việc vận dụng khái niệm; đặc biệt, việc khai thác sử dụng PBH công cụ để giải tốn xuất Điều tượng dị biệt, khơng bình thường, trước thực tế khác, ý kiến, kinh nghiệm nhiều nhà giáo, nhà nghiên cứu cho PBH cơng cụ hữu hiệu việc giải dạng tốn khác chương trình tốn bậc phổ thơng Có thể giải thích tượng nào? Đây câu hỏi làm trăn trở nhiều năm gần đây, không dừng lại tơi thử thực trắc nghiệm nhỏ cách yêu cầu học sinh lớp 12 giải tốn sau: Cho góc xOy, Oz tia phân giác Trên tia Ox lấy điểm A, B Gọi A’ B’ hai điểm đối xứng với A, B qua Oz Chứng minh ∆𝐴𝐴′ 𝐵 = ∆𝐴′ 𝐴𝐴′ (Hình 0.1) x B A z O A' B' Hình 0.1 y Khi nêu tốn này, chúng tơi chủ động tạo điều kiện thuận lợi cho việc chọn phương án sử dụng PBH để giải cách bổ sung gợi ý: thứ dùng ngôn ngữ BH để phát biểu nội dung tốn thứ hai, khuyến khích học sinh giải cách khác Kết nhận thật bất ngờ: số 41 học sinh tham gia có 12 em khơng cho lời giải; 28 em dùng phương pháp tổng hợp để giải cho kết đúng; có 01 học sinh sử dụng cơng cụ PBH để giải toán Kết này, mặt giúp củng cố thêm nhận định nêu thực trạng học sinh vận dụng PBH để giải tốn chương trình phổ thông mặt khác lại đặt vấn đề “tại công cụ tiềm năng” lại không phát huy tác dụng q trình dạy học tốn nói chung, đặc biệt việc giải tốn? Liệu có phải tượng diễn phổ biến hay phạm vi cục bộ, có tính địa phương? Mong muốn tìm câu trả lời cho câu hỏi dẫn đến lựa chọn định thực nghiên cứu “phép biến hình với vai trị cơng cụ giải tốn trường phổ thơng” Thực nghiên cứu này, chúng tơi dự kiến đặt tìm hướng giải câu hỏi sau đây: Q1’: Vai trò cơng cụ PBH việc giải tốn thể cơng trình nghiên cứu trước đây? Q2’: Trong chương trình sách giáo khoa tốn bậc phổ thơng Việt Nam, khái niệm PBH đưa vào nào? Mức độ quan tâm đến việc khai thác vai trị cơng cụ giải tốn PBH? Q3’: Cơng cụ PBH học sinh vận dụng để giải toán nào? Khung lý thuyết tham chiếu Đi tìm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nêu Chúng tơi đặt nghiên cứu khn khổ lý thuyết Didactic tốn, đó: Những khái niệm lý thuyết nhân học dạy học Quan hệ thể chế, Quan hệ cá nhân đối tượng trí thức hay Tổ chức tốn học vận dụng Ngồi ra, để triển khai nghiên cứu thực nghiệm, vận dụng khái niệm Phân tích apriori, Phân tích aposteriori, Biến didactic, Biến tình v.v Dưới chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm cố gắng làm rõ tính thỏa đáng lựa chọn phạm vi lý thuyết phục vụ nghiên cứu 2.1 Quan hệ cá nhân đối tượng tri thức Một đối tượng tri thức O tồn tại, cá nhân Quan hệ cá nhân cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu R(X,O), tập hợp tác động qua lại mà X có với O R(X,O) cho biết X nghĩ O, X hiểu O nào, thao tác O Trong nghiên cứu này, đối tượng tri thức O khái niệm Phép biến hình xét phương diện cơng cụ giải tốn chương trình phồ thơng 2.2 Quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Một cá nhân tồn lơ lửng mà ln phải thể chế Từ đó, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ cá nhân R(X,O) phải đặt thể chế I mà có tồn X Chevallard dùng thuật ngữ quan hệ thể chế I với tri thức O, ký hiệu R(I,O) để tập hợp ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O Đồng thời, quan hệ thể chế R(I, O) cho biết O xuất nào, đâu, cách nào, tồn sao, đóng vai trị I Trong luận văn mình, chúng tơi mặt làm rõ mối quan hệ R(I,O) R(X,O) đồng thời làm rõ quan hệ R(I,O) R(X,O) Để làm rõ quan hệ này, lại cần đến cơng cụ khác, Tổ chức toán học 2.3 Tổ chức toán học Hoạt động toán học phận hoạt động xã hội Do đó, cần thiết xây dựng mơ hình cho phép mơ tả nghiên cứu thực tế Xuất phát từ quan điểm này, Chevallard (1998) đưa vào khái niệm praxeologie Theo Chevallard, praxeologie gồm thành phần (T, 𝜏, 𝜃, Θ), T kiểu nhiệm vụ, 𝜏 kỹ thuật cho phép giải T, 𝜃 cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật 𝜏, Θ lý thuyết giải thích cho công nghệ 𝜃 Một praxeologie mà thành phần mang chất toán học gọi tổ chức toán học Phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu chọn, phát biểu lại câu hỏi ban đầu sau: Q1: Vai trị cơng cụ PBH việc giải toán thể cơng trình nghiên cứu trước đây? Q2: Khái PBH trình bày SGK phổ thơng nào? Mối quan hệ thể chế với khái niệm xây dựng tiến triển từ phương diện giải toán? Những tổ chức toán học gắn liền với nó? Q3: Mối quan hệ thể chế có ảnh hưởng mối quan hệ cá nhân học sinh khái niệm PBH với vai trị cơng cụ giải tốn chương trình phổ thơng? Mục đích nghiên cứu đề tài tìm câu trả lời cho câu hỏi Phương pháp nghiên cứu Để đáp ứng câu hỏi Q1 chúng tơi tìm hiểu đặc trưng cơng cụ giải tốn PBH giai đoạn lịch sử qua quan điểm nhà toán học để lại Bên cạnh đó, chúng tơi tổng hợp nhận định tác giả giáo trình bậc Đại học ưu điểm bậc vận dụng vào việc giải tốn chương trình phổ thơng Với câu hỏi Q2 chúng tơi tiến hành phân tích chương trình, SGK, SGV, SBT liên quan đến PBH để làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng PBH, đặc biệt phương diện cơng cụ giải tốn Ngồi ra, chúng tơi tiến hành vấn số đồng nghiệp chủ đề nghiên cứu Trên sở đó, hình thành phát biểu giả thuyết nghiên cứu cho đề tài 56 Chương 3: THỰC NGHIỆM Những phân tích chương cho phép chúng tơi hình thành nên giả thuyết nghiên cứu sau: Sau học xong nội dung phép biến hình lớp, khả thói quen sử dụng cơng cụ biến hình vào việc giải dạng toán khác chương trình tốn bậc phổ thơng chưa hình thành rõ rệt học sinh: Đứng trước toán đề khơng u cầu sử dụng PBH để giải học sinh, khơng nghĩ tới việc khai thác công cụ này; đề yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh gặp nhiều khó khăn không vận dụng vận dụng sai Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính xác đáng giả thuyết trên, để đánh giá khả vận dụng PBH để giải tốn 3.1 Giới thiệu thực nghiệm 3.1.1 Hình thức thực nghiệm Đối tượng thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành với học sinh học xong chương phép biến hình Cách thức thực nghiệm - Một câu hỏi gồm toán soạn phiếu dành cho học sinh với thời gian 30 phút - Thực nghiệm tiến hành với trường THPT Nguyễn Hùng Sơn – THPT An Minh, THPT Nguyễn Trung Trực tỉnh Kiên Giang 57 3.1.2 Câu hỏi thực nghiệm Các em thân mến, phiếu đánh giá lực em mà tìm hiểu suy nghĩ em vấn đề chương trình học Rất mong hợp tác em Chân thành cảm ơn em! Phiếu số (Thực nghiệm 20 phút) Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Lấy M cạnh AD, N cạnh BC cho O trung điểm MN Chứng minh hai tam giác ABM CDN Giải A M D O B C N -Bài Cho hình vng ABCD có tâm O Gọi E, F trung điểm hai cạnh BC CD Chứng minh 𝐴𝐴 = 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 Giải A D F O - B E C 58 Phiếu số (Thực nghiệm 10 phút) Bài 3: Cho Parabol (P) 𝑦 = 5𝑥 + 4𝑥 − đường thẳng d: 𝑥 = Hãy xác định parabol (P’) ảnh (P) qua phép đối xứng trục d y = 5x2+4x-1 x=1 2 Lời giải - 59 3.2 Phân tích apriori toán Hai toán phiếu số mà chọn tương đối nhẹ nhàng với học sinh, tất em làm được, ngôn ngữ tổng hợp liều lượng tăng dần mức độ khó phương pháp tổng hợp để tạo điều kiện phương pháp biến hình xuất Một phiếu số vừa sức với học sinh ngơn ngữ biến hình, giải phương pháp biến hình Bài tốn này, có độ nhiễu cao, lựa chọn phương pháp khác khó khăn hơn, dùng PBH phải hiểu rõ vấn đề Lưu ý rằng, với mục đích đề tài nên chúng tơi khơng chọn tốn q khó, đặc biệt học sinh mà khảo sát trường chuyên mà học sinh đại trà 3.2.1 Bài toán Biến V 1.1 : Tính đối xứng hình, biến nhận hai giá trị V 1.1.1 : Tính chất đối xứng hình V 1.1.2 : Tính chất khơng đối xứng hình Tam giác, hình bình hành hình học sinh gặp nhiều chương trình lớp Việc chứng minh hai tam giác có cạnh hay góc cạnh góc hình bình hành tạo điều kiện cho chiến lược xuất hiện, chọn giá trị V 11 để học sinh sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh, hai cạnh đối, hình bình hành Những chiến lược lời giải dự đốn A M D S (tam giác nhau): Học sinh sử dụng tính chất đối đỉnh, so le góc, O cặp cạnh đối hình bình hành để chứng minh cặp tam giác có cạnh hay góc liên quan đến ABM, CND Từ áp dụng B N C trường hợp tam giác để suy hai tam giác ABM CND 60 S (công cụ PBH): Phép đối xứng tâm biến A  C, B D, M N suy hai tam giác ABM CDN Nếu chọn việc dựng hai tam giác có tính chất theo cách khác: hình cho khơng phải hình bình hành (biến V 12 ) phương pháp tổng hợp đặt lên hàng đầu tức chiến lượt S có hội xuất chiến lượt S Ví dụ: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Trên cạnh AD lấy M, tia đối tia OM lấy điểm N cho đoạn O ON = OM Dựng tia Nx song song với AD cắt N AC E, tia Ay song song với DE cắt BD F Chứng minh rằng: ∆𝐴𝐴𝐴 = ∆𝐸𝐸𝐸 D M A E F C B Ví dụ cho thấy học sinh sử dụng chiến lược S nhiều tính chất đối xứng có với M, N gây cản trở cho chiến lược S Muốn sử dụng S học sinh phải chứng minh tứ giác AFED hình bình hành, cách làm có phần S Cho nên chúng tơi cho hình bình hành để chiến lược S dễ xuất 3.2.2 Bài toán số Biến V 3.1 (các điểm đặc biệt): biến nhận hai giá trị V 3.1.1 : cho trước tâm O vị trí điểm E, F trung điểm cạnh BC CD V 3.1.2 : không cho trước tâm O điểm E, F là trung điểm cạnh BC CD Các chiến lược S (tam giác nhau): Học sinh sử tìm cách chứng A D minh hai tam giác AFD với tam giác DEC suy AE = F O B E C 61 DF, sau sử dụng tính chất tổng hai góc tam giác góc thứ ba 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 S (cơng cụ PBH): Dùng phép quay tâm O góc quay 60o biến A  D, F E suy 𝐴𝐴 = 𝐷𝐷, 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 S (phương pháp tọa độ hóa): Chọn hệ trục tọa độ vng góc với B góc tọa độ Ta có tọa độ A(0;x), D(x; x), E(x/2; 0), F(x; x/2) 2 𝑥 𝑥 �����⃗ �����⃗ = − 𝑥 + 𝑥 = nên 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 𝐴𝐴 �𝑥; − � ; �����⃗ 𝐷𝐷 �− ; −𝑥� Ta có 𝐴𝐴 = 𝐷𝐷, �����⃗ 𝐴𝐴 𝐷𝐷 2 2 �����⃗ − �����⃗ �����⃗ − 𝑂𝑂 ������⃗ � = 𝑂𝑂 �����⃗ 𝑂𝑂 �����⃗ − S (phương pháp vectơ): �����⃗ 𝐴𝐴 �����⃗ 𝐷𝐷 = �𝑂𝑂 𝑂𝑂� �𝑂𝑂 �����⃗ 𝑂𝑂 ������⃗ − �����⃗ ������⃗ = −𝑂𝑂 �����⃗ ������⃗ 𝑂𝑂 �����⃗ 𝑂𝑂 + �����⃗ 𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑂𝑂 − �����⃗ 𝑂𝑂 �����⃗ 𝑂𝑂 = −𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑐𝑐𝑐45𝑜 − 𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑐𝑐𝑐135𝑜 = − √2 𝑂𝑂 𝑂𝑂 + √2 𝑂𝑂 𝑂𝑂 = Vậy 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 Để cho chiến lược S ưu tiên xuất chọn biến V 3.1.1 Ở mức độ nhận biết học sinh thấy 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂, 𝑂𝑂 ⊥ 𝑂𝑂, 𝑂𝑂 = 𝑂𝑂, 𝑂𝑂 ⊥ 𝑂𝑂 Tuy nhiên nghĩ học sinh không lựa chọn chiến lược mà thay vào chiến lược S xuất nhiều Hơn chiến lược S hồn tồn khơng lựa chọn 3.2.3 Bài tốn số Biến V 3.1 : Biến nhận hai giá trị V 3.1.1 : Lưới tọa độ (P), d có sẵn V 3.1.2 : Khơng có sẵn lưới tọa độ (P), d Với xuất lưới tọa độ giúp cho học sinh vẽ điểm hình dễ dàng Biến V 2.2 : Cách cho hàm số y = f(x) Có thể thấy, đồ thị hàm số qua giao điểm lưới tọa độ tạo điều kiện cho học sinh xác định điểm đồ thị dễ dàng, dẫn đến thiết lập parabol (P’) phương pháp đại số dễ dàng mà không cần sử dụng đến phương pháp biến hình 62 V 3.3 : Cách cho đường thẳng d Biến quan trọng việc hướng học sinh việc sử dụng phương pháp Chúng cố gắng tạo điều kiện thuận lợi để học sinh sử dụng cơng cụ PBH để giải tốn, nhiên hiểu PBH vận dụng khơng thành thạo dẫn đến nhằm lẫn d khơng song song với trục tung Các chiến lược S (Phương pháp tọa độ có vận dụng PBH làm công cụ): C1: Học sinh lấy M(x;y), ảnh M đối xứng qua d M’ Khi M’(2-x; y), 𝑀 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑀′ ∈ 𝑃′ Nên (P’) : y =5 (2-x)2+4(2-x)-1= 5x2 - 24x +27 C2: Học sinh dùng phép tịnh tiến ngang phải trục hoành 14/5 đơn vị, từ biểu thức tọa độ phép tịnh tiến suy (P) y = 5x2 - 24x +27 S (Cho điểm đặc biệt): Dựa vào đồ thị (P) qua điểm đặc biệt, lấy đối xứng điểm qua d, ta điểm thuộc (P’) Dùng phương pháp đại số xác định a, b, c parabol y = ax2+bx+c ta y = 5x2 - 24x +27 S3 (Đối xứng qua trục Oy): Học sinh lấy M(x;y), ảnh M đối xứng qua d M’ Khi M’(-x; y), 𝑀 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑀′ ∈ 𝑃′ Nên (P’) : y = 5x2 -4x -1 Nếu chọn biến V 3.1.1 chiến lược S (điểm đặc biệt), S (Đối xứng qua Oy) xảy ra, chiến lược S gặp khó khăn xác định điểm thứ ba mà đồ thị không qua giao điểm lưới tọa độ Với d: x = gây nhằm lẫn với trục Oy Chiến lược S khơng phụ thuộc q nhiều vào hình vẽ nên xảy Nếu chọn biến V 3.1.2 chiến lược S2 khơng xuất Với mục đích thực nghiệm nhằm kiểm chứng giả thuyết: “Ngay đề yêu cầu sử dụng PBH để giải học sinh gặp nhiều khó khăn khơng vận dụng vận dụng sai” cho ba biến xuất hiện, để chiến lược đồng khả xảy ra, nhằm đánh giá ý thức vận dụng PBH để giải tốn vận dụng thành thạo chưa 63 3.3 Phân tích aposteriori tốn Thực nghiệm thực trường THPT: THPT An Minh, THPT Nguyễn Hùng Sơn, THPT Nguyễn Trung Trực - tỉnh Kiên Giang, triển khai với hai khối 11, khối 12 Hình thức thực nghiệm: Trong thực nghiệm phát cho học sinh phiếu học tập, học sinh làm việc cá nhân với tổng thời gian 25 phút quan sát GV đứng lớp 3.3.1 Phân tích aposteriori thực nghiệm Chúng tơi triển khai thực nghiệm với 112 học sinh lớp 11 trường có kết sau Chiến lược Câu Câu Số câu trả lời Tỉ lệ % Số câu trả lời Tỉ lệ % S1 87 78% 72 64% S2 6,2% 8,4% S3 0% S4 0% Bảng thống kê kết chiến lược giải lớp 11 Chúng triển khai thực nghiệm với 108 học sinh lớp 12 trường có kết sau Chiến lược Câu Câu Số câu trả lời Tỉ lệ % Số câu trả lời Tỉ lệ % S1 97 89,8% 101 93% S2 0,9% 0% 0% S3 64 S4 0% Bảng thống kê kết chiến lược giải lớp 12 Điều quan tâm học sinh lớp 11 sau học xong chương PBH đại đa số em chọn phương pháp tổng hợp để giải, chúng tơi tạo tình thuận lợi cho sử dụng PBH làm cơng cụ, đặc biệt tốn số dùng liều lượng mạnh kết khơng khả quan tốn số Còn em học sinh lớp 12, hồn tồn khơng dùng PBH để giải Có lẽ phần em lơ mơ PBH, phần lớn môi trường sinh thái PBH không phát triển thể chế Mặc dù chúng tơi sử dụng ngơn ngữ biến hình, hầu hết học sinh không vận dụng PBH làm công cụ giải tốn, thay vào sử dụng phương pháp tổng hợp quen thuộc lớp để chứng minh hai tam giác Học sinh sử dụng tính chất đối đỉnh, so le góc, cặp cạnh đối hình bình hành để chứng minh hai tam giác ABM CDN Như dự đốn ban đầu đại đa số học sinh trình bày sau: * Đối với toán số � = 𝑀𝑀𝑀 � đối đỉnh, Xét hai tam giác ∆𝑀𝑀𝑀, ∆𝑁𝑁𝑁 có OM=ON, OA=OC, 𝑁𝑁𝑁 suy ∆𝑀𝑀𝑀 = ∆𝑁𝑁𝑁 (𝑐 𝑔 𝑐) ⇒ AM = CN Xét hai tam giác cần chứng minh: ∆𝐴𝐴𝐴, ∆𝐶𝐶𝐶 có AM = CN, AB = CD, � = 𝑀𝑀𝑀 � ⇒ ∆𝐴𝐴𝐴 = ∆𝐶𝐶𝐶(𝑐 𝑔 𝑐) 𝑁𝑁𝑁 Có trường hợp có em học sinh sử dụng phép đối xứng tâm để chứng minh, cho kết lại “xóa bỏ” có lẽ em nhận khơng hợp thức cách giải này, đối xứng tâm không giảng dạy không chấp nhận 65 * Đối với toán số Chúng tạo thuận lợi cho phép quay xuất cách cho tâm quay nằm tâm hình vng góc quay 90o nằm ngang với cạnh CD, có em 220 em đạt 0,45%, sử dụng làm công cụ Một số khiêm tốn so với 178 em chiếm 89% sử dụng tính chất tam giác vuông định lý Pitago, trường hợp tam giác vuông để chứng minh hai đường thẳng AE, DF cắt góc 90o Cách giải em sau: � = 90𝑜 , Xét hai tam giác vuông DAF CDE có AD = CD, DF = CE, 𝐶̂ = 𝐷 suy ∆𝐷𝐷𝐷 = ∆𝐶𝐶𝐶 ⇒ 𝐴𝐴 = 𝐷𝐷 Một cách chứng minh khác em dùng định lý Pitago: 𝐴𝐴 = √𝐴𝐴 + 𝐷𝐷 = 𝐷𝐷 = √𝐷𝐷 + 𝐶𝐶 (do AD=DC, DE = CF) � = 90𝑜 = � + 𝐼𝐼𝐼 � = 𝐼𝐼𝐼 � + 𝐷𝐷𝐷 Gọi I giao điểm AF DE, ta có 𝐼𝐼𝐼 � Vậy 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐴 Chúng phát học sinh dùng chiến lược S4 để chứng minh 𝐴𝐴 ⊥ 𝐷𝐷, sau em lại chuyển sang chiến lược S1 Chắc có lẽ, chiến lược �����⃗ thành S4 gây khó khăn cho em, lẽ khơng biết phân tích hai vectơ �����⃗ 𝐴𝐴 , 𝐷𝐷 vectơ để tích vơ hướng 66 Kết luận Như vậy, với thực nghiệm phiếu số 220 học sinh để kiểm chứng giả thuyết “Đứng trước tốn đề khơng u cầu sử dụng PBH để giải học sinh, không nghĩ tới việc khai thác công cụ này” Đối với tốn số 1, chúng tơi ghi nhận có 184 em (chiếm khoảng 83,6%) sử dụng phương pháp tổng hợp, em (chiếm khoảng 3,6%) sử dụng PBH làm cơng cụ, tốn số có 178 em (chiếm 80,9%) sử dụng phương pháp tổng hợp, em (chiếm khoảng 0,4%) sử dụng PBH làm công cụ Từ kết phản ánh phần thể chế dạy học 3.3.2 Phân tích aposteriori thực nghiệm Tương tự, triển khai thực nghiệm với 112 học sinh lớp 11 108 học sinh lớp 12 trường có kết sau Chiến lược Số học sinh 11 Số học sinh 12 S1 (7,1%) (4,6%) S2 (3,5%) (5,5%) S3 29 (25,9%) (0,9%) Bảng thống kê kết chiến lược giải * Đối với câu Điều đáng ý, chiến lược S3 xuất nhiều lớp 11, học sinh làm quen biểu thức tọa độ đối xứng qua trục Ox, Oy mà không học đối xứng qua trục bất kỳ, dẫn đến kết sai rập khn máy móc Nhưng em lớp 12 chiến lược vắng mặt, có em (0,9%) Chắc có lẽ, em quên biểu thức tọa độ trục đối xứng qua truc Ox, Oy, thay vào chiến lược đại số xuất 67 * Kết luận phiếu số Đại đa số em chưa thành thạo chưa hiểu cách rõ rệt việc vận dụng PBH làm công cụ, dẫn đến em làm sai không cho lời giải Chỉ có 23 em 220 trả lời 68 KẾT LUẬN Qua q trình nghiên cứu, chúng tơi trả lời câu hỏi đặt từ phần mở đầu, câu hỏi liên quan đến chủ đề nghiên cứu Chúng đúc kết vấn đề sau Trong chương 1, chúng tơi tìm hiểu xuất PBH giai đoạn lịch sử, việc hiểu PBH phân theo giai đoạn , giai đoạn “được xuất ngầm ẩn vấn đề dịch chuyển hình”, giai đoạn “ phép biến hình xem tập hợp điểm từ khơng gian lên nó” giai đoạn “phép biến hình đối tượng nghiên cứu tốn học” giai đoạn “PBH phương pháp để nghiên cứu hình học” Bên cạnh đó, số tác giả khẳng định phép biến hình cơng cụ hữu dụng với dạng toán khác nhau, từ chủ đề khác nhau, cách nhận biết tốn sử dụng nó, từ yếu tố tốn lựa chọn PBH để áp dụng có hiệu Trong chương 2, chúng tơi nghiên cứu chương trình dạy – học phổ thông nhằm trả lời câu hỏi từ đầu mà đặt Qua q trình phân tích SGK, SGV, SBT tìm hiểu ý kiến số GV trực tiếp giảng dạy nội dung để đưa giả thuyết kết học sinh sau học xong chương Cùng với kết thực nghiệm chương 3, đúc kết lại kết sau Thứ nhất, vận dụng PBH để giải toán mức độ khó, điều kiện cần địi hỏi phải vận dụng thường xuyên, điều kiện đủ học sinh phải tư tốt Vì chương trình khơng yêu cầu đạt mức độ này, nên tác giả SGK biên soạn nội dung mang tính chất tham khảo, để dành thời lượng chủ yếu cho phần PBH mặt phẳng tọa độ Tức chuyển PBH sang phương diện số để đơn giản hóa q trình dạy học chủ đề Bên cạnh thời lượng dành cho phần khiêm tốn dẫn việc học sinh hình thành rõ rệt PBH với vai trị công cụ điều không dễ đến Thứ hai, học sinh chưa hình thành rõ rệt PBH từ cơng cụ giải tốn Đứng trước tốn sử dụng PBH để giải, học sinh gặp nhiều khó khăn 69 Thứ ba, kỳ thi tốt nghiệp, tuyển sinh đại học 12 năm gần khơng xuất tốn vận dụng PBH để giải Điều làm động lực ràng buộc cần thiết trình dạy học PBH với vai trị cơng cụ giải tốn Thứ tư, Thời lượng dành cho chương PBH ít, khó hình thành học sinh có khả giải tốn cơng cụ biến hình Những hạn chế luận văn - Luận văn đánh giá chung thực tiễn giảng dạy, chưa sâu nghiên cứu làm để phát tốn sử dụng PBH để giải - Chưa khó khăn việc dạy – học PBH cấp THPT Hướng mở luận văn: Có thể xây dựng đồ án áp dụng phép biến hình để giải với lớp tốn đó, qua mơi trường phản hồi cơng nghệ thông tin 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hồi Châu, 2004, Phương pháp dạy học hình học trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh Phan Đứng Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SGV Tốn 7, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, Tốn 8, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SGV Tốn 8, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, Tốn 7, Nxb giáo dục Phan Đứng Chính, Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, BT Toán 7, NxB giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (cb), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, Hình học 11, Nxb giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (cb), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, SBT hình học 11, Nxb giáo dục Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, 2007, SGV hình học 11, Nxb giáo dục 10 Nguyễn Mộng Hy, 1997, Các phép biến hình mặt phẳng, Nxb giáo dục 11 Hùy Duy Linh, 2013, Phép đối xứng trục dạy học tốn phổ thơng 12 Nguyễn Đăng Phất, 2003, Phép biến hình mặt phẳng, Nxb ĐH sư phạm Hà Nội 13 Nguyễn Thị Bích Phượng, 2012, Vai trò phương pháp tọa độ mặt phẳng 14 Đào Tam, 2000, Giáo trình hình học sơ cấp, Nxb giáo dục 15 Tôn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SBT Tốn 7, Nxb giáo dục 16 Tơn Thân, Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức, Trần Luận, 2003, SBT Toán 8, Nxb giáo dục ... phải giải lớp toán liên quan đến đường cơnic Khó khăn gặp phải giải nhiều tốn cần giải hình đơn giản nhận từ hình ban đầu qua phép biến hình Phép biến hình ơng sử dụng phương pháp để biến đổi hình. .. Đối với nhà tốn học, phép biến hình cơng cụ giải tốn hình học nhờ vào tính bất biến hình hay phép biến đổi hình phức tạp thành hình đơn giản - Như vậy, vận dụng tính chất PBH cách có hiệu vào giải. .. PHÉP BIẾN HÌNH .6 1.1 Quan điểm số nhà toán học kỷ 15-19 phép biến hình 1.2.Ý kiến số nhà giáo, nhà nghiên cứu dạy học toán Việt Nam .9 Chương QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN HÌNH TRONG VAI