Nghiên cứu didactic của việc dạy và học các phép biến hình ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Bùi Anh Tuấn BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG CONG QUA PHƯƠNG TRÌNH CỦA NĨ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Huỳnh Quốc Hào BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ NGHIÊN CỨU ĐƯỜNG CONG QUA PHƯƠNG TRÌNH CỦA NĨ LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành : Lý luận Phương pháp giảng dạy Toán Mã số : 60 14 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2007 LỜI TRI ÂN [)ầu tiên, tơi xin bày to lịng tri ân sâu sẳc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, giánang \ iên Klioa Toán - Tin ĐH Sư phạm TP 1ICM, người tận tình hướng dẫn tạo choio tơi ncn mỏng ban đầu vững cho sụ’ nghiệp nghiên cứu khoa học Xin chân thành cám ơn thầy, cô truycn thụ cho tơi, với tất cá lịng hăng say, nhCnững kicn thức mé, thú vị didactic lịch sử toán: PGS.TS Claude Comiti, PGGS.IS Annie Bessot, PGS.TS Alain Birebent (ĐH Joseph Fourier, Grenoble 1, Cộiộng hòa Pháp); TS Trần Văn Tấn, TS Đoàn Hữu Hải PGS.TS Lê Văn Tiến (ĐDll Sư phạm 'PP HCM) Với tất ca tràn trọng, xin gơi dcn s Nguyễn Xuân Tú Huyên (nguyên rmirưng Khoa riếng Pháp DI Sir phạm TP IICM) lòng biết ơn sàu sẩc bận rộiDu cị \ ần het lịng giúp dỡ tơi dê luận vãn dirọc chun ngữ sang tiêng Pháp Lời cam ơn thành kính xin gới dên người thây lận tình giúp đơ' tài liệu v triruycn thụ cho lòi nhiều kinh nghiệm quý báu công lác nghiên cứu khoa học: Thihạc sĩ Đặng Văn Thuận (Trương Khoa Dự bị - Dân tộc, ĐH cần TS s Thơ), Nguyễn Phú Lộc TS Lâm Quốc Anh (dồng Phó trương Bộ mơn 'Toán Kluhoa Sư phạm ĐFỈ cần Thư), Xin gời lời cám ơn với tất ca lòng thành đen TS s Nguyễn Thanh Thúy (Trương Bộ môn Su' phạm Kỳ thuật DI Nông l.âm l'P IICM) dộng viên tinh thần giúp lôi virợt qua trư ngại nghiên cứu Tôi xin dặc biệt cám ơn người bạn dồng môn didactic: Trfran Văn Minh, Hồ Lộc Thuận tập thè lớp Didactic 'Toán KI5 chia sè nhihững niềm \ ui thư thách học tập v tỏ chức thực nghiệm cua luận v ăn Xin chân thành cám ơn BGII trường 'I IIPT Nguyễn Hữu Câu, Nguyen Hữu Tiểiến (Hóc Mơn, TP HCM), Nguyễn Kim Hu’O’ng (giang vièn Khoa Sư phạm DH Cầ.ần I hơ) dã tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thực nghiệm cua luận Vcăn Lời cuối, xin tri ân gia đình, đặc biệt ba tơi, ti cao, van găng sức cùiùng dịch thuật tài liệu tham khao tiêng Pháp quan trọng luận văn Tôi cũiũng không quên ơn giúp đỡ, động viên quí báu chia sẻ kịp thời bạiạn Nguyễn Huy Cưòng Lê Nguyễn Diễm Chi BÙI ANH TUẢN MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương Đặc trưng ỉdioa học luận đồ thị đường thẳng 12 1.1 Đặc trưng khoa học luận đồ thị hàm số .12 1.2 Đặc trưng khoa học luận khái niệm đường thẳng 16 1.3 Tổng kết chương 24 Chương Quan hệ thể chế đồ thị đường thẳng 26 2.1 Đồ thị chương trình sách giáo khoa .27 2.2 Đưòoig thẳng sách giáo khoa 46 2.3 Tổng kết chương 63 Chương Thực nghiệm sư phạm 64 3.1 Mục tiêu thực nghiệm 64 3.2 Thực nghiệm 65 3.3 Thực nghiệm 69 3.4 Tổng kết thực nghiệm 89 Kết luận 90 Tài liệu tham ỉdiảo Phụ lục DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Đpcm : Điều phái chứng minh ĐS : Đại số GT : Giải tích HH : Hình học PT : Phương trình SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách tập SGV : Sách giáo viên (Tài liệu Hướng dẫn giảng dạy) THPT : Trung học phổ thơng Tr: Trang Mồ ĐÀU • vấn đề đặt câu hịi xuất phát • Khung lý thuyết tham chiếu • Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu • Phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn VÁN ĐÈ ĐẶT RA VÀ CÂU HỎI XUÂT PHÁT ■ Chúng bắt đầu với tượng dạy học toán trường Trung học phổ thơng (THPT) Đó tập 4, sách giáo khoa (SGK) lỉình học (HH) 12 năm 2000, tr 49: “Í4p piurang trinh liẻp tuyên elip ^ v' = bíêt tíêp tun qua M (5; 2)'* Sau dây lừi giải em học sinh lớp 12; ‘Gọi k ỉà hệ số góc cùa liếp tuyến d qua M (5; 2) Khi đó, phương trinh (ỉ có dạng: y = kịx - 5) + kx ~ y ~ 5k + = (ỉ tiếp xúc với elip 25k^ = {- 5k + 2Ý k= - — Vậy, phương trinh tiếp tuyến cần tìm có dạng : Y + 4v - 13 = 0” Tuy nhiên, lời giải mong đợi nêu sách tập (SBT) HH 12 lại là: "Dề thấy điểm M (5; 2) không nằm clip Đường thẳng qua M (5; 2) có phương trình A (.V — A- 5) + 0' ~ 2) = hay Ax + By - (5A + 2B) = Để đường thẳng tiếp xúc với clip = ta cần có 25v^^ + 9B~ - {5A + 2BỴ hay 5Ổ' - 20BA = Ta có hai nghiệm B = 4A Với ổ = ta tiếp tuyến A (x - 5) = 0, A ;4) hay X - = = Với ổ = 4A ta chọn A = \, B = tiếp tuyến X - + 4(\’ - 2) = hay V + 4v - 13 = 0” Bình luận: So với lời giải mong đợi, em học sinh bỏ sót tiếp tuyến có phương trình V = Việc chỗ sai lời giải nói ưên, theo chúng tơi khơng khó Tuy nhiên, đứng trước lời giải học sinh, tự hỏi: 1) Sai lầm kiều xuất ngẫu nhiên hay bị tác động chi phối? 'I rong trường hợp bị tác động, tác động yếu tố nào? 2) Bang cách lý giải rõ cách thức tác động cùa yếu tố này? Với câu hỏi xuất phát ban đầu thế, chúng tơi quay lại phân tích hai lời giải nhận thấy: (1) Trong lời giải em học sinh đưa ra, đường thẳng gắn với phương trinh dạng y = a.x + b Nói cách khác, đường thẳng đồng với đồ thị hàm số dạng \’ = ax + b Giải tích (2) Trong lịi giái mong đợi đường thẳng đóng vai trị đường cong có phương trinh tống quát Ax + By + c = {A^ + B" > 0) Trường hợp này, đường thẳng đổi tượng nghiên cíni cua Hình học giải tích Như trường ri IPT, khái niệm đường thẳng trình bày nhiều hệ thống biêu dạt (registre) khác hai phạm vi (cadre) Giải tích (GT) HH Điều dẫn đến hai cách tiếp cận nghiên cứu khái niệm đường thẳng Trong cách tiếp cận thứ nhất, đường thẳng xem đồ thị, ữong mục tiêu trực chuẩn chọn, hàm sổ dạng y = ax + b (khi a 9^0, hàm số bậc ^ thi ưở thành hàm y = h) Chúng tơi nói đường thăng tiếp cận theo quan diêm GT Theo cách tiếp cận này, đường thẳng có hệ số góc k xác dịnh {k e R) Và vậy, đường thẳng song song trùng với trục tung khơng tính đến - chúng đồ thị hàm sổ nhận X làm biến Cách tiếp cận thứ hai, chúng tơi nói theo quan điểm HH, đường thẳng “gán” cho phương trình đại số (ĐS) Với cách làm này, tính chất quan hệ hình học cua “chun dịch” sang ngơn ngừ đại số đây, “lớp” đường thẳng rộng hưn cách tiếp cận theo hướng thứ nhất, bao gồm đường thăng khơng có hệ sơ góc (tức đường thăng phưong với frục tung) Phái khác biệt hai quan điểm nêu dân đến kiêu sai lâm vừa đê cập? Đê giải vấn đề nói trên, chúng tơi tiến hành nghiên cứu với đề tài: “Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phưoìig trình Trong khn khơ đề tài này, trước hết, chúng tơi xem xét đồ thị khía cạnh tồng quát Sau đó, đồ thị - với tư cách đường, tiến hành nghiên cứu thơng qua phương trình Tuy nhiên, nhà trường THPT, đồ thị gan liền với đường cụ thể, vậy, đây, lựa chọn đường thẳng làm đối tượng nghiên cứu vỉ có liên quan đên vấn đề xuất phát ■ Phạm vi hệ thống biểu đạt: Liên hệ với ý kiến Douady tầm quan trọng cua thay đôi phạm vi hệ thống biêu đạt, nghĩ rang vấn đề mà dặt đáng quan tâm Đề bạn đọc tiện theo dõi, chúng tơi trình bày tóm tắt vài diêm vê khái niệm phạm vi hệ thõng biêu đạt Theo Douady (1986), từ phạm vi (cadre) dược dùng với nghĩa thơng thường ta nói phạm vi đại số, phạm vi số học, phạm vi hình học, v.v Một phạm vi tạo thành từ đối tượng ngành toán học, mối liên hệ chúng, cách trinh bày chúng, cách suy nghĩ, cách lập luận, cách hành động chúng Hai phạm vi bao gồm đối tưọng nhau, khác hình ảnh trí tuệ kết hợp với đối tượng ấy, với mối liên hệ chúng, cách thức hành động, lập luận đối tượng Khái niệm hệ thống biểu đạt (registre) sinh từ góc độ ngơn ngữ học Các đối tượng có thê một, mối liên hệ chúng cách trình bày chúng khơng giống hai phạm vi khác Thậm chí, phạm vi có cách khác đê trình bày đối tượng Ta nói chúng biểu đạt hệ thống khác “Một hệ thống biểu đạt tạo thành từ dấu, theo nghĩa rộng từ này: nhừng vạch, nhừng ký hiệu, nhũng hình vẽ, Nó phưong tiện đề diễn đạt, để biểu thị” (Guzman Retamal, 1990) Tương đương với hệ thống biêu đạt, tác giả Lê Thị Hoài Châu (2007) đà đề nghị sử dụng thuật ngừ ngơn ngữ biểu thị (hay nói gọn ngôn ngữ) Chang hạn, dôi với phạm vi HH tồn ngơn ngừ: ngơn ngữ tự nhiên, ngôn ngừ hinh vẽ, ngôn ngữ ký hiệu, ngôn ngữ đồ thị Một ngơn ngừ có thê dùng nhiều phạm vi khác nhau, ví dụ phạm vi ĐS ta gặp ngôn ngừ ký hiệu ngôn ngữ đồ thị, "Neu quan lâm tới lịch sử phát triển toán học từ xa xưa tới nay, ta nhận thấy ràng phần còng việc quan trọng cùa nhà nghiên cứu giải thích nhừng tốn mà họ muốn giải quyết, thay đơi cách nhìn chúng, trinh bày chúng theo cách khác, đặt chúng phạm vi khác khác phần, đối chiếu nhũng toán nêu phạm vi khác neu báy dịch sang phạm vi lại đặt nhừng câu hỏi gợi việc sư dụng nhũng công cụ vốn không nghĩ đến lúc đầu” (Lê Thị Hoài Châu, 2004) Hàu trường hợp, phạm vi thường dẫn đến phát trien, mở rộng cua toán học: “ riiay đối phạm vi ià cách làm đề nhận nhừng hình thức trinh bày khác - khơng ihiét phải lương đương với - cho toán Các hình thức trình bày cho phép vượt qua khó khăn đà gặp giải tốn vận dụng nhũng công cụ, nhũng kỹ thuật mà cách trinh bày ban đầu không gợi Đối với nhà nghiên cứu, thay đồi phạm vi nhàm mục đích tạo niềm tin phịng đốn khơi thơng kế hoạch chứng minh Một kế hoạch chúng minh hồn hào từ đầu Có lúc đến nhừng phàn ví dụ, dẫn đến chỗ bế lắc, [ ], chí phải loại bỏ phịng đoán ban đầu Dù nừa, việc dịch từ phạm vi sang phạm vi khác thường đạt đến két chưa lừng có, nhũng kỹ thuật mới, nhùng đối tượng tốn học - nói tóm lại làm phong phú thêm cho phạm vi ban đầu” (Douady, 1986) Trơ lại với hai cách liếp cận trên, ta thấy cách tiếp cận theo quan điểm GT (dc thuận tiện trinh bày, từ chúng tơi nói cách ngắn gọn tiếp cận GT hay quan điém GT), đò thị - ngôn ngừ HH - dùng đề biểu thị hàm sổ đối tượng GT, Như thế, lính chất hàm số đồ thị cua Hệ người la có thê dựa vào đồ thị đề nghiên cứu hàm số số vấn đề liên quan đến Trong cách tiếp cận theo quan điểm HH (chúng gọi tiếp cận HH hay quan điểm HH), đường cong - đối tượng cùa HH - lại gắn với phương trình, tức biểu thị ngôn ngữ ĐS - GT Việc nghiên cứu dường cong mà có thề chuyển sang phạm vi ĐS GT ■ Vấn đề đặt cho là: Sự thay đổi phạm vi hệ thống biểu đạt thực thực tế dạy học? Cách tổ chức dạy học có tạo thuận lợi cho học sinh việc thiết lập quan hệ qua lại phạm vi hệ thống biểu đạt hay không? Trong trường hợp chúng tơi, vấn đề cụ thể hóa thành câu hỏi sau; Q’i; Vấn đề biêu diễn hàm số đồ thị trình bày sao, theo quan điểm chương trinh toán bậc THPT? Đâu ràng buộc mong muốn đặt cho việc dạy học đồ thị? Q'2: Đặc biệt, hai quan điềm tiếp cận đường thẳng nghiên cứu đâu nhàm mục đích gì? Quan điểm ưu tiên nghiên cứu đường thẳng? Mối liên hệ chúng thiết lập sao? QT; Sự lựa chọn chương trình SGK cách tiếp cận vấn dề đồ thị nói chung, đường thẳng nói riêng, ảnh hưởng đến việc học cùa học sinh? KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU 2.1 LÝ THUYẾT NHÂN CHỦNG HỌC Đê tiến hành, trước hết đặt vấn đề nghiên cứu ữong khuôn khố lý thuyết N/iân chủng học Vì lại lựa chọn lý thuyết nhân chùng học? Bởi vi câu hỏi liên quan đến khái niệm lý thuyết này; Quan hệ cá nhân, quan hệ thể chế đối tượng tri thức tổ chức toán học Sau chúng tơi trình bày tóm tắt khái niệm cố gắng tính thỏa đáng cho lựa chọn phạm vi lý thuyết Các khái niệm này, chúng tơi ưích từ giáng didactic sỗ công bố sách song ngữ Didactic toán A Quan hộ cá nhân với đối tượng học sinh & = /-1‘) - ĩ r: Tĩ I - 7) / - í*’’ lặ) í^r ịẮt ,if • é (C /: ):^ ^•-7(A-'1) !■)■ ,i/ /•' /í " — -7C í /tvT ">vẨv? ẬÁ cJc ^ CX.C _/-í,ị\-ịt 'll _ , i - ^ i ■/ ^ c\ 5Ố3 Bài toán 1) Chúng minh đồ thị hàm số y = sinx có tâm đối xứng đoạn [-7r;7t] vẽ đồ thị hàm sổ đoạn 2) Chứng minh phương trình : sin(x -—)= -ị X có nghiệm thuộc khoảng 1-^^- — 4’ 4 f/ 6/; I) ,íl ep - ẽ ũ ■ ểur{jh) ^ CUị c4o t /"fit' yítCíX^ àto^ tl0‘'ĩỹ ịC) c /c C ,(a ị) A ^ fù^ỉ AỊ y r>cA vC'l -^-1 rXcit'“Ía' (JuA Ị ^ j ^K ị-[ĩ T ị i\jlỉuH'^ ^ Ị I La 534 Bài toán 1) Chúng minh đô thị hàm số y = sinx có lâm đối xứng đoạn [-TtiTĩ] vẽ đồ thị hàm số đoạn 2) Chứng minh phương trình : sin(x -7)= 7X có nghiệm thuộc khoảng 4 4 KíV ỈL XC fịr ■> >r í( ! r)i ' 7T ũ 'U /í^‘^ zz >- ^ ì ^ tT ' ' 'l ' “ ^4 Ổ ' ' - ^ ^ -4 ) ' ì ( }( n ) ^ TT U' A / • / f V ^ ^ c ; :t r V u/n ^ ^ ^ /ú) ) ^ ■] s I )C - /, t, ^ ' r —rí -í 7T ^ "" T j}j.^Si r r>^ ' iij.(j:^.^ ± X -.c i r.z ĩ>.Ị J.fRS ; J.^O.'iS.J kZ^ ^^r.ỗ' — vÌR.i^ Ẩ.C Í '1 ".c ■ -:.ịkm Z^'I^Z”IZZZZ'''v”IZ2!'Z'”'h.”^” 1>Ì^ A^.i^ C.^ }>.^ E^.^ Ĩ7 -r:ìí\ầ^ ^k^ Cl\ ±ộì j.í;:.s /;.ốA £;iJ.ủ Trng Ho tên : Lóp : BÀI KIÉM TRA Cho hàm s,ô fỉx) = ■\lx Xo = Bài tốn 3: 1) Tính/(xo) và/'(xo) /(xo)= /' (-^o) = •• 2) Khơng dùng máy tính bị túi, ứng dụng cơng thức sau đây: /(.v) - /' (Xo) (x - Xo) dị tính gần giá trị /0.85 ; +f (xo), ; ^/0,95 ; /1,05 ; /Tõ ; /^1,15 ■v'Õ.85 Ị.[c,3, i)-.ì L; Ặỉ « jLLuix.L.x.Mo^,, or vrn»./ Ct,.t.r.-.tld! í !! tlỡcỡi cỏch dáiìh gia cua cm: V X : L\ị\\ A '3 l : r ^ íT ^ / X ì ' 3) Bạn Xmp.át biêu sau : "Ti'oilg inặi phàìig tì (ĩõ Ox'w ìỉiọị (ỉiàrng ìhàìig dcỉi ỉí! cỉ:'i !hi hàm sạ’~ IX • h với a h e R" « íec en |Shai biêu cua hạai Nam dứng ha} sai'.' Đing _3 Sai □ • Gii -hch rõ lụa chọn cùa em: , ,;a2.: ì ^CvÌA.3k A.'.' '3 - u i — V ■ ■ .\ I .1 73! —,.v ;Xk:: 7a\:.Ì A 7:7:.: .J ^ '.7: ^.^.7, .il.N V-, >v* ... (h.37) riV X , :r hình đơi xứng cùa thị V 2j 40 Hình 3T De thây rang lý thuyết việc sử dụng phép biến hình để dựng đồ thị nói đến cách tường minh, đây, phép biến hình gồm; phép đối xứng qua... ta thấy rõ đường thẳng đề cập đối tượng nghiên cứu cua Hình học afm Hình học Euclid, hạn việc nghiên cứu phương trinh tông quát đường thăng Do đó, ưong cách tiếp cận này, khái niệm đường thẳng... cụ việc biến dơi thị: Phép biến hình thay đơi mục tiêu Chúng quy ước gọi chung hai công cụ phép biên đôi đồ thị 1.2 ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM ĐƯỜNG THÁNG Mục tiêu cua phần nghiên cứu