Bài giảng Toán rời rạc: Bài 4 - Vũ Thương Huyền cung cấp cho học viên các kiến thức về đếm các phần tử; cơ sở của phép đếm; nguyên lý chuồng chim bồ câu; nguyên lí Dirichlet tổng quát; chỉnh hợp và tổ hợp; các hệ số nhị thức; chỉnh hợp và tổ hợp suy rộng; sinh các hoán vị và tổ hợp;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung bài giảng!
BÀI ĐẾM CÁC PHẦN TỬ Vũ Thương Huyền huyenvt@tlu.edu.vn NỘI DUNG • Cơ sở phép đếm • Nguyên lý chuồng chim bồ câu • Chỉnh hợp tổ hợp • Các hệ số nhị thức • Chỉnh hợp tổ hợp suy rộng • Sinh hốn vị tổ hợp Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 4.1 CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 4.1 CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM • Giả định ta có tập đối tượng với thuộc tính • Phép đếm xác định số lượng đối tượng Các ngun lí đếm • Quy tắc nhân • Quy tắc cộng Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 4.1 CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM QUY TẮC NHÂN Giả sử thủ tục tách thành dãy hai nhiệm vụ Nếu có n1 để làm nhiệm vụ thứ n2 cách để làm nhiệm vụ thứ hai sau nhiệm vụ thứ hồn thành, có n1.n2 cách thực thủ tục Ví dụ 1: Có số nhị phân có độ dài 7? Ví dụ 2: Có nhiều biển đăng kí tơ biển chứa dãy ba chữ tiếp sau ba chữ số? Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 4.1 CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM QUY TẮC CỘNG Giả sử có hai nhiệm vụ Nhiệm vụ thứ thực n1 cách, nhiệm vụ thứ hai thực n2 cách hai việc làm đồng thời, có n1+n2 cách làm hai nhiệm vụ Ví dụ 1: Để từ thành phố A đến thành phố B tàu, xe tơ máy bay Có 12 chuyến máy bay từ A tới B, có chuyến tàu 10 chuyến tơ Hỏi có lựa chọn để từ A đến B? Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn NHỮNG BÀI TOÁN PHỨC TẠP HƠN • Những tốn phức tạp giải sử dụng kết hợp hai quy tắc nhân quy tắc cộng Ví dụ 1: Mật để đăng nhập máy tính: • • • • Dài từ đến kí tự Mỗi kí tự chữ hoa số Mỗi mật chứa chữ số Hỏi có mật khẩu? Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Nguyên lý bù trừ: Khi hai nhiệm vụ làm đồng thời • Cộng số cách làm nhiệm vụ • Trừ số cách làm đồng thời hai nhiệm vụ Theo ngôn ngữ tập hợp: Cho A1, A2 tập hợp, đó: 𝐴1 ∪ 𝐴2 = 𝐴1 + 𝐴2 − |𝐴1 ∩ 𝐴2 | Ví dụ: Có xâu nhị phân độ dài bít bắt đầu bit kết thúc hai bít 00 Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn BÀI TẬP Bài 1: Có xâu nhị phân có độ dài 10 có bit bit cuối Bài 2: Có xâu gồm chữ tiếng anh a) chữ lặp lại b) khơng chữ lặp lại c) bắt đầu với chữ X chữ lặp lại Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 4.2 NGUN LÍ CHUỒNG CHIM BỒ CÂU Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 10 BÀI TẬP Bài 7: Có cách chọn 12 bánh từ cửa hàng có 21 loại bánh khác Bài 8: Có cách phân phối 12 viên bi giống hệt vào sáu ngăn phân biệt Bài 9: Có cách phân phối 12 vật khác vào ngăn phân biệt, ngăn vật Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 35 4.6 SINH CÁC HỐN VỊ VÀ TỔ HỢP Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 36 SINH CÁC HỐN VỊ • Mọi tập n phần tử đặt tương ứng 1-1 với tập {1, 2, , n} • Sinh hốn vị tập n phần tử cách sinh hoán vị tập n số ngun dương • Hốn vị a1a2 an gọi trước hoán vị b1b2 bn với k ( 1 k n ), a1 = b1, a2 = b2, , ak-1 = bk-1 ak < bk • Thuật tốn sinh hốn vị {1, 2, , n} dựa thủ tục xây dựng hoán vị kế tiếp, theo thứ tự từ điển, hoán vị cho trước a1a2 an Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 37 SINH CÁC HOÁN VỊ 12345 12354 12435 12453 12534 12543 13245 13254 Toán rời rạc 13425 13452 13524 13542 huyenvt@tlu.edu.vn 38 SINH CÁC HỐN VỊ Thuật tốn sinh hốn vị kế tiếp: • Tìm aj aj+1 cho: - aj < aj+1 - aj+1 >aj+2 > > an • Đặt vào vị trí j số ngun nhỏ số lớn aj tập aj+1 ,aj+2 , , an • Liệt kê theo thứ tự tăng dần số lại aj, aj+1 ,aj+2 , , an vào vị trí j+1, ,n Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 39 SINH CÁC HỐN VỊ Ví dụ: • Tìm hốn vị lớn đứng sau thứ tự từ điển hốn vị 362541 Giải: • Cặp số từ phải sang trái có số trước nhỏ số sau 5: - 2< - >4 > • Đặt vào vị trí số nguyên nhỏ số lớn tập 5, 4, • Liệt kê theo thứ tự tăng dần số lại 1,2,5 • Kết ta được: 364125 Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 40 SINH CÁC HOÁN VỊ THUẬT TOÁN : Sinh hoán vị liền sau hoán vị cho trước Procedure Hoán vị liền sau (a1a2 an: hoán vị {1, 2, n} khác n(n-1) 21 j := n-1 while aj > aj+1 j := j -1 {j số lớn mà aj > aj+1} k := n while aj > ak k := k -1 {ak số nguyên nhỏ số lớn aj nằm bên phải aj} r := n; s:= j+1 // đổi chỗ aj ak while r > s begin r := r-1; s:= s+1 end {Xếp phần đuổi hốn vị sau vị trí thứ j theo thứ tự tăng dần} Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 41 SINH TỔ HỢP • Tổ hợp tập A={a1, a2, , an} tập tập ban đầu • Mỗi tập tương ứng với một-một với xâu nhị phân độ dài n • Bài tốn sinh tổ hợp tập A tương ứng với liệt kê xâu nhị phân độ dài n Thuật toán sinh xâu nhị phân lớn liền sau: • Xác định vị trí từ bên phải bit • Thay giá trị bít vị trí • Thay tất vị trí bên phải Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 42 SINH TỔ HỢP Ví dụ: • Tìm xâu nhị phân lớn liền sau 1000100111 Giải: • Vị trí từ phải sang mang giá trị • Thay giá trị vị trí thành 1: 1000101111 • Các vị trí bên phải thành 0: 1000101000 Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 43 SINH TỔ HỢP THUẬT TOÁN : Sinh xâu nhị phân lớn liền sau Procedure Xâu nhị phân liền sau (bn-1bn-2 b1 b0 : xâu nhị phân khác 11 11) i := while bi =1 begin bi :=0 i := i+1 end bi :=1 Toán rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 44 SINH TỔ HỢP CHẬP r • Tổ hợp chập r từ n phần tử {1, 2, , n} biểu diễn dãy chứa phần tử tập theo thứ tự tăng dần • Sinh tổ hợp chập r liệt kê tổ hợp chập r theo thứ tự từ điển Thuật toán sinh tổ hợp chập r liền sau tổ hợp a1a2 ar: • Tìm phần tử dãy kể từ phải sang trái cho: n – r + • Thay ai+1 aj + 1+ j – i, với j = i + 1, i + , r Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 45 4.6 SINH CÁC HỐN VỊ VÀ TỔ HỢP Ví dụ 1: • Tìm tổ hợp chập lớn từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} liền sau tổ hợp {1, 2, 3, 4} Giải: • • • • Ta có a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = (a4 = 4) (6 – + 4) Thay a4 a4+1= Ta tổ hợp {1, 2, 3, 5} Ví dụ 2: • Tìm tổ hợp chập lớn từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6} liền sau tổ hợp {1, 2, 5, 6} Tốn rời rạc huyenvt@tlu.edu.vn 46 4.6 SINH CÁC HỐN VỊ VÀ TỔ HỢP THUẬT TOÁN 3: Sinh xâu nhị phân lớn liền sau Procedure Tổ hợp liền sau ({a1a2 an }:tập thực tập {1,2, ,n} với a1