03 bất đẳng thức cô si phần 1 đặng việt hùng image marked

03 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1) Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: b) (a  b  c)(a  b  c )  9abc a) (a  b)(b  c)(c  a )  8abc Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (1  a )(1  b)(1  c)  1  abc  b) bc ca ab    abc a b c Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  6abc b) ab bc ca abc    ab bc ca Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 1 1 b) (a  b3  c3 )      (a  b  c) a b c a b c    bc ca ab Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3(a  b3  c3 )  (a  b  c)(a  b  c ) Câu [Svip] Cho a, b > Chứng minh b) 9(a  b3  c3 )  (a  b  c)3 1   (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab a) 1 1      2    ; với a, b, c > a b c  ab bc ca  b) 1 1 1      2    ; với a, b, c > ab bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  Câu [Svip] Chứng minh BĐT sau: a) Cho x, y, z > thoả x  y  z  12 Chứng minh: xy yz xz    x  y y  4z 4z  x b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi Chứng minh rằng: 1 1 1    2    p a p b p c a b c Câu [Svip] Cho a, b, c > Chứng minh 1    (1) a b c abc Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1     a) (a  b  c )    (a  b  c)  ab bc ca  b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P  x y z   x 1 y 1 z 1 Câu [Svip] Chứng minh BĐT sau: a) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Tìm GTNN biểu thức P  1   a  2bc b  2ac c  2ab b) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh 1 1     30 2 ab bc ca a b c Câu 10 [Svip] Cho số thực dương a b thỏa mãn a  b  Chứng minh a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   Câu 11 [Svip] Cho a; b  : a  b  Chứng minh ab  a  b   Câu 12 [Svip] Cho ba số thực a  c; b  c; c  Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab   Câu 13 [Svip] Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x  y  Chứng minh x  y   xy Câu 14 [Svip] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x3  y  z  Chứng minh x2  x2  y2 1 y2  z2 1 z2  Câu 15 [Svip] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn xyz  16 x yz Chứng minh  x  z  x  y   Câu 16 [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c  cho a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Câu 17 [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  17 a  b  c abc  abc abc 03 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 1) Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (a  b)(b  c)(c  a )  8abc b) (a  b  c)(a  b  c )  9abc Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: (a  b)(b  c)(c  a )  ab bc ca  8abc Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (a  b  c)(a  b  c )  3 abc 3 a 2b c  9abc Dấu đẳng thức xảy ba số - Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (1  a )(1  b)(1  c)  1  abc  bc ca ab    abc b) a b c Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (1  a )(1  b)(1  c)  1  abc    a  b  c  ab  bc  ca  abc   3 abc  3 a 2b c  abc  1  abc  Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có bc ca ab  bc ca   ca ab   bc ab                 a b c  a b   b c   a c   bc ca ca ab bc ab  2 2   abc 2 2 a b b c a c  Dấu đẳng thức xảy ba số  - Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  6abc ab bc ca abc    b) ab bc ca Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a (1  b )  b (1  c )  c (1  a )  a 2b  b c  c a  a  b  c  a 6b6b6  6abc Dấu đẳng thức xảy ba số b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab bc ca ab bc ca      a  b b  c c  a ab bc ca ab bc ca   ab  bc  ca 2  abc   2 Dấu đẳng thức xảy ba số - Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c    a) bc ca ab 1 1 b) (a  b3  c3 )      (a  b  c) a b c Lời giải: a) Biến đổi tương đương a b c a b c     1 1 1  bc ca ab bc ca ab abc abc abc     bc ca ab 1     2a  2b  2c     9  ab bc ca  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2a  2b  2c  a  b  b  c  c  a  3  a  b  b  c  c  a  1    ab bc ca 3  a  b  b  c  c  a  1     Nhân vế ta có  2a  2b  2c     , bất đẳng thức cuối  ab bc ca  Dấu đẳng thức xảy ba số b) Biến đổi tương đương 1 1 1 1 1 1 1 1 ( a  b3  c )      ( a  b  c )  a  b  c  a     b3     c    a b c b c a c a b a b3 a c b3 c  a  b  c  2ab  2bc  2ac        2ab  2bc  2ca b a c a c b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a b3 a c b3 c a b3 a3 c3 b3 c      2 2 2  2ab  2bc  2ca b a c a c b b a c a c b Bất đẳng thức cuối Dấu xảy ba số - Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 3(a  b3  c3 )  (a  b  c)(a  b  c ) b) 9(a  b3  c3 )  (a  b  c)3 Hướng dẫn giải: a) BĐT  2(a  b  c )   a b  b a    b c  bc    c a  ca  3 2 Chú ý: a  b3  ab(a  b) Cùng với BĐT tương tự ta suy đpcm b) Áp dụng b) ta có: 9(a  b3  c3 )  3(a  b  c)(a  b  c ) Dễ chứng minh được: 3(a  b  c )  (a  b  c)  đpcm - Câu [Svip] Cho a, b > Chứng minh 1   (1) Áp dụng chứng minh BĐT sau: a b ab 1 1      2    ; với a, b, c > a b c  ab bc ca  1 1 1      2   b)  ; với a, b, c > ab bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  Lời giải: a) 1 1 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có  a  b      ab 4 ab a b 1 Dấu "  " xảy  a  b Vậy (1) chứng minh Do a, b     a b ab a) Áp dụng (1) với a, b, c  ta có 1 1 1   ;   ;   a b ab b c bc c a ca 2 4 1 1             2    a b c ab bc ca a b c  ab bc ca  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c 1 4    b) Áp dụng (1) với a, b, c  ta có a  b b  c  a  b    b  c  a  2b  c 1 1   ;   b  c c  a a  b  2c c  a a  b a  b  c 2 4       a  b b  c c  a 2a  b  c a  2b  c a  b  2c 1 1 1       2    ab bc ca  2a  b  c a  2b  c a  b  2c  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c Tương tự - Câu [Svip] Chứng minh BĐT sau: xy yz xz    x  y y  4z 4z  x b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi 1 1 1    2    Chứng minh rằng: p a p b p c a b c Lời giải: a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có a) Cho x, y, z > thoả x  y  z  12 Chứng minh: x  y  x.2 y   x  y   x  2y  xy  xy  y  z  2 y.4 z   y  z  , dấu "  " xảy  x  y  y  4z   32 yz  yz  z  x  z.x   z  x   16 zx  zx   x  2y  4z  x ,  y  4z  2 P xy yz xz    x  y y  4z 4z  x P  x  y    y  z    z  x   x  y  z  12  , dấu "  " xảy  y  z dấu "  " xảy  z  x  4z  x 4   x  2y y  4z 4z  x 2 x  x  y  4z  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy    y   x  y  z  12  z   b) Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi ta có abc bca abc a c b pa  a   0; p  b  b   2 2 Khi áp dụng BĐT (1) ta có 1 4 4      p  a p  b  p  a   p  b p  a  b a  b  c  a  b c Tương tự 1 1   ;   p b p c a p c p a a 2 4 1 1 1              p a p b p c a b c p a p b p c a b c BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c  ABC  - Câu [Svip] Cho a, b, c > Chứng minh 1    (1) a b c abc Áp dụng chứng minh BĐT sau: 1     a) (a  b  c )    (a  b  c)  ab bc ca  b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P  x y z   x 1 y 1 z 1 Lời giải: 1 1 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có  a  b  c       3 abc 3  abc a b c 1 Dấu "  " xảy  a  b  c Do a, b, c      a b c abc Như BĐT (1) chứng minh a) Áp dụng (1) với a, b, c  ta có a    1  9  2  b2  c2       a b c  a  b  b  c   c  a   a  b  c   ab bc ca  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có 1 2 2 1 1  a 2 b c   a  b  c 2  a b c a  b  c  1  a  b  c   a  b2  c2      a  b  c  2a  b  c  ab bc ca  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c x y z   b) Cho x, y, z > thoả x  y  z  Tìm GTLN biểu thức: P  x 1 y 1 z 1  Có P    x y z 1 1     1 1 1  3    x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1  x 1 y 1 z 1  Áp dụng (1) với x, y, z  ta có 1 9 9       x  y  z   x  1   y  1   z  1 x  y  z    1 1  9        P    Dấu "  " xảy  x  y  z  4  x 1 y 1 z 1  Vậy Pmax  đạt x  y  z  - Câu [Svip] Chứng minh BĐT sau: a) Cho a, b, c > thoả a  b  c  1 Tìm GTNN biểu thức P    a  2bc b  2ac c  2ab 1 1 b) Cho a, b, c > thoả a  b  c  Chứng minh     30 2 ab bc ca a b c Lời giải: a) Áp dụng BĐT (1) với a, b, c  ta có 9 P  2 a  2bc  b  2ca  c  2ab a  b  c        Dấu "  " xảy  a  b  c  1 Vậy Pmin  đạt a  b  c  1    b) Áp dụng BĐT (1) với a, b, c  ta có ab bc ca ab  bc  ca Bài  a  b  c   P  (1) Với a  b  c  có 1   2 a b c  a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc  ca  Từ (1) (2) ta (2) 1 1      2 ab bc ca   ab  bc  ca  ab  bc  ca a b c   Lại có  a  b    b  c    c  a    a  b  c   ab  bc  ca  2  a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  1 Bài a  b  c    ab  bc  ca    ab  bc  ca  Dấu "  " xảy  a  b  c  3  1  Đặt ab  bc  ca  t  t   0;  P   2t t  3 Ta chứng minh  1  1   30 (*), t   0;  Thật vậy, với t   0;  có  2t t  3  3 (*)  t  1  2t   30t 1  2t   60t  47t     3t  1 20t     1 Điều với t   0;  BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c   3 Cách (Sơ lược) 1   1  2 1     Biến đổi P         2 3ab   3bc 3ca   ab bc ca   a b c 4 P   2 a  b  c  3ab 3bc  3ca ab  bc  ca 16 P  a  b  c  3ab  3bc  3ca ab  bc  ca 16 16 P     30  a  b  c   ab  bc  ca ab  bc  ca  1 3 BĐT chứng minh, dấu "  " xảy  a  b  c  - Câu 10 [Svip] Cho số thực dương a b thỏa mãn a  b  Chứng minh a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3a  a  2b 3b  b  2a a 3a  a  2b   b 3b  b  2a   a  b 2 2 2  2a  2ab  2b  2.2  2ab   a  b  Dấu đẳng thức xảy hai số - Câu 11 [Svip] Cho a; b  : a  b  Chứng minh ab  a  b   Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có ab  a  b   2   a b  2 ab  a  b   ab  a  b  4  1  ab  a  b   64 2 ab  a  b Dấu đẳng thức xảy  ab  a  b  - Câu 12 [Svip] Cho ba số thực a  c; b  c; c  Chứng minh c  a  c   c  b  c   ab Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có P c ac c bc   b a a b ab c ac c bc c c c c   1  1 a a b b a a b   P  ab b 2 Khi ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  2c P  c  a  c   c b  c   -   Câu 13 [Svip] Cho hai số thực dương x y thỏa mãn x  y  Chứng minh x  y   xy Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng xy  x  y   x  y   x2  y Ta có x    xy   x  y x4  y Dấu đẳng thức xảy a  b   2   x  y 2     x  y      2   1     x4  y  5 xy xy  y2   - Câu 14 [Svip] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn x3  y  z  Chứng minh x2  x2  y2 1 y2  z2 1 z2  Lời giải:  Tương tự y2 1 y  y3 ; Kết hợp lại ta z2 1 z x2 1 x   x2  x2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x2   x2 x2    2 1 x x3  x2  x2   x3  2z3 y2 1 y  z2 1 z    x3  y  z  Dấu đẳng thức không xảy nên ta có đpcm - Câu 15 [Svip] Cho ba số thực dương x; y; z thỏa mãn xyz  16 x yz Chứng minh  x  z  x  y   Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 16  x  z  x  y     x  x  y  z   yz   xyz  x  y  z    x  y  z   64 x yz   x  z  x  y    x  x  y  z   yz Dấu đẳng thức xảy   xyz  x  y  z   16 - Câu 16 [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c  cho a  b  c  Chứng minh a  b  c  ab  bc  ca Lời giải: Biến đổi tương đương a  b  c  2ab  2bc  2ca    a  b  c   a  b  c   a  b2  c2  a  b  c  a  b2  c2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a  a  a  a  a  3 a  3a Tương tự b  b  3b; c  c  3c Dẫn đến a  b  c  a  b  c   a  b  c   Bất đẳng thức cuối đúng, dấu đẳng thức xảy ba số - Câu 17 [Svip] Cho ba số thực dương a; b; c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  Đặt 17 a  b  c abc  abc abc Lời giải: abc  t , theo bất đẳng thức Cauchy a  b  c  3 abc  t  abc 17 1 t 49 t 49 53 t     t    t t 18 t 18 Dấu đẳng thức xảy ba số Mặt khác P  ... Tìm GTLN biểu thức: P  x ? ?1 y ? ?1 z ? ?1  Có P    x y z 1 1     1? ?? ? ?1? ?? ? ?1? ??  3    x ? ?1 y ? ?1 z ? ?1 x ? ?1 y ? ?1 z ? ?1  x ? ?1 y ? ?1 z ? ?1  Áp dụng (1) với x, y, z  ta có 1 9 9     ... - Câu [Svip] Cho số thực a, b, c  Chứng minh bất đẳng thức sau: a) (1  a ) (1  b) (1  c)  ? ?1  abc  bc ca ab    abc b) a b c Lời giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có (1 ...  1    ab bc ca 3  a  b  b  c  c  a  1     Nhân vế ta có  2a  2b  2c     , bất đẳng thức cuối  ab bc ca  Dấu đẳng thức xảy ba số b) Biến đổi tương đương ? ?1 1 1