05 bất đẳng thức cô si phần 3 đặng việt hùng image marked

05 BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI (Phần 3) DẠNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: Các biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt tâm Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a  2b  b  2c  c  2a  33 Lời giải: Phân tích: Do biểu thức cho biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy khi: a  2b   a  b  c   b  2c  c  2a   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a  2b     a  2b a  2b  3 a  2b .3.3   (1) 9 33  b  2c b  2c  (2) 33  c  2a c  2a  (3) 33 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 18  3a  b  c  a  2b  b  2c  c  2a   33 (đpcm) 3 Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  (*) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  a  b  c Lời giải: Phân tích: Sự chênh lệch số mũ biểu thức a  b  c a  b  c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a  b  c Nhưng ta cần áp dụng cho số số nào? Căn vào bậc biến số a, b, c biểu thức (số bậc giảm lần) ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho a , b c với số dương tương ứng khác để làm xuất a, b c Do a, b, c dương có vai trị nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ a  b  c , từ (*) ta có a  b  c  Mặt khác dấu “=” bất đẳng thức Cauchy xảy khi số tham gia Khi ta có lời giải sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: a ta có: 1 1  a  a (1) Dấu “=” xảy  a   a  9 Tương tự: b2   b (2) Dấu “=” xảy  b  3 c2   c (3) Dấu “=” xảy  c  3 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2 a  b  c   a  b  c    a  b  c  3 3 1 Dấu “=” xảy  a  b  c  Vậy GTNN A 3 a2  Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca  CMR: a  b  c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b   33 a b  3ab (1) ; b  c   3bc (2) ; c  a   3ca (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:     a  b3  c3    ab  bc  ca   a  b3  c3   3.3  a  b  c  (đpcm) Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c a2 b2 c2 abc    Chứng minh bất đẳng thức sau: 2b  c 2c  a 2a  b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 2b  c a 2b  c 2a (1) ;  2  2b  c 2b  c b2 2c  a 2b c2 2a  b 2c     (2) ; (3) 2c  a 2a  b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2 3a  b  c  2a  b  c      2b  c 2c  a 2a  b a2 b2 c2 abc     (đpcm) 2b  c 2c  a 2a  b Lưu ý: Trong toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp Ví dụ: Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a a 1 a  b  c Khi   , ta chọn a a b a Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy a2 a2 a   , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mẫu ta a  b  c Khi 2b  c 2a  a 2b  c 2b  c 2a  a a cộng thêm Chọn mẫu số   9 Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c ab bc ca 11 1        Chứng minh bất đẳng thức sau: c a  b  a b  c  b c  a   a b c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab ab ab ab (1)  2  c c a  b  4ab c a  b  4ab bc bc   a b  c  4bc a (2) ; ca ca   (3) b c  a  4ca b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: ab bc ca ab bc ca 1         4bc 4ca a b c c a  b  a b  c  b c  a  4ab ab bc ca 1 1 1 1             c a  b  a b  c  b c  a  4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c ab bc ca 11 1         (đpcm) c a  b  a b  c  b c  a   a b c  Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa abc  Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3    1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 1 b 1 c a3 1 b 1 c    33  a (1) ; 1  b 1  c  1  b 1  c  8 b3 1 c 1 a    b (2) ; 1  c 1  a  8 c3 1 a 1 b    c (3) 1  a 1  b  8 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 3    a  b  c    a  b  c  1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4  a3 b3 c3 3 3    a  b  c    abc   1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4 Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b3 b3  c c  a    2a  b  c  ab bc ca Lời giải: a3  b3 b3  c3 c3  a3 a b2 b2 c c a         ab bc ca b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta có: b2 b2 a2 a2  a  2b (2) ;  c  2b (3) ; b  b  2a (1); a c b b c2 c2 a2  b  2c (4) ;  a  2c (5) ;  c  2a (6) b a c Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được: a2 b2 b2 c2 c2 a2       2a  b  c   4a  b  c  b a c b a c a2 b2 b2 c2 c2 a2        2a  b  c  b a c b a c a3  b3 b3  c3 c3  a3     2a  b  c  (đpcm) ab bc ca Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c a2 b2 c2 1      b3 c3 a3 a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: b2 1 c2 1 a2 1 a2 1 3    (3) (2);    3  (1) ;    b b c c a3 c c a b3 a a b a a b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 1 1 1 1    2     3          (đpcm) a b c b3 c3 a3 b c a a b c a b c Ví dụ [Svip] Cho số thực dương a, b, c a3 b3 c3    a2  b2  c2 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 a3 a3 a3   b  33 b  3a (1) ; b b b b b3 b3 c3 c3   c  3b (2) ;   a  3c (3) c c a a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được:  a3 b3 c3  a3 b3 c3    a  b  c (đpcm) 2     a  b  c  a  b  c  b c a c a  b     Ví dụ 10 [Svip] Cho số thực dương a, b, c a4 b4 c4    abc bc ca ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: a4 a4  b  c  c  b.c.c  4a (1) bc bc b4  c  a  a  4b (2) ca c4  a  b  b  4c (3) ab Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a4 b4 c4 a4 b4 c4        a  b  c  a  b  c     a  b  c (đpcm) bc ca ab bc ca ab Ví dụ 11 [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  Chứng minh rằng: a3 b3 c3    bc ca ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 ab  c  a ab  c   2  a (1) ; bc bc b3 bc  a    b (2) ; (3) ca Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 ab  bc  ca     a  b  c (1' ) bc ca ab mn mn Mặt khác ta có: a b  c mn  a m b n  b m c n  c m a n m  a  b  c ab  bc  ca 2  Chọn  ta được: a  b  c  ab  bc  ca  2 n  Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:  a3 b3 c3 ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca      a2  b2  c2  bc ca ab 2  a3 b3 c3 a2  b2  c2     (đpcm) bc ca ab 2 Ví dụ 12 [Svip] Cho số thực dương a, b, c a5 b5 c5    a3  b3  c3 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: a5 a5  ab  ab  2a (1) ; 2 b b b5 c5  bc  2b  ca  2c (3) (2) ; 2 c a Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:   a5 b5 c5    ab  bc  ca  a  b  c (1' ) b c a Mặt khác ta có: a m  n  b m  n  c m  n  a m b n  b m c n  c m a n m  Chọn  ta được: a  b  c  ab  bc  ca (2' ) n  Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:   a5 b5 c5    ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca b2 c2 a2 a5 b5 c5     a  b  c (đpcm) b c a (2') Ví dụ 13 [Svip] Cho số thực dương a, b, c  a3 b3 c3    a2  b2  c2 Chứng minh bất đẳng thức sau: a  2b b  2c c  2a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  a3 aa  2b  a aa  2b  2  2  a (1) ; a  2b a  2b b3 bb  2c  2 c3 cc  2b  2   b (2) ;   c (3) b  2c c  2b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a3 b3 c3 2    a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c a  2b b  2c c  2a 9 3 3 a b c     ab  bc  ca   a  b  c (1' ) a  2b b  2c c  2a 9 mn mn mn m n m n Mặt khác ta có: a b c  a b  b c  cman m  Chọn  ta được: a  b  c  ab  bc  ca n            2 a  b  c   ab  bc  ca  (2') 9 Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:    a3 b3 c3 2    ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca  a  2b b  2c c  2a 9 9    a3 b3 c3    a  b  c (đpcm) a  2b b  2c c  2a Ví dụ 14 [Svip] Cho số thực dương a, b, c bc ca ab 2      Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a2 b c Lời giải: bc bc 4  2  (1) ; 2 bc a a bc a ca 4 ab 4     Hoàn toàn tương tự ta có: (2) ; (3) 2 ca b ab c b c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: bc ca ab 4 4 4         (1' ) ab bc ca a b c a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 1 4  2   (2' ) ; a b a b ab a  b 1 1   (3' ) ;   (4' ) b c bc c a ca Cộng theo vế bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) (4’) ta được: bc ca ab 4 2 4 4 4               ab bc ca a b c a b c ab bc ca a b c bc ca ab 2       (đpcm) a b c a b c Mà ta có: Ví dụ 15 [Svip] Cho số thực dương a, b, c a b 4c    a  3b Chứng minh bất đẳng thức sau: b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 a2 b  b  2a (1); b b b2  4c  4b (2) ; c 4c  a  4c (3) a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta  a b 4c    a  b  4c  2a  4b  4c b c a a b 4c    a  3b (đpcm) Dấu “=” bất đẳng thức xảy a  b  2c b c a Ví dụ 16 [Svip] Cho số thực dương a, b, c a2 b2 16c    64c  a  b  bc ca ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 4b  c  4a b2 4c  a  4b 16c      a  b   8c (3) (1); (2) ; bc ca ab Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: a2 b2 16c 13    a  b   c  a  b   8c bc ca ab 9 a2 b2 16c     64c  a  b  (đpcm) bc ca ab Ví dụ 17 [Svip] Cho số thực dương a, b, c a b c 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:      b c a a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a a   2  (1) ; b a b a b b c     (3) (2); c b c a2 c a a b c 1 2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta         a b c a b c b c a a b c 1       (đpcm) b c a a b c Ví dụ 18 [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c  CMR: a  b  c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a số 1, ta có: 3a   55 a 15 1.1  5a (1) Tương tự: 3b   5b (2) ; 3c   5c (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:  a  b5  c5     a  b3  c3    a  b5  c5    5.3  a  b  c  (đpcm) Ví dụ 19 [Svip] Cho số thực dương a, b, c thỏa a b  b c  c a  CMR: a  b  c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a , số b số 1, ta có: 3a  3b   77 a 21 b 211  a b (1) Tương tự: 3b  3c   7b c (2) ; 3c  3a   7c a (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:  a  b  c     a 3b3  b3c3  c3 a    a  b  c    7.3  a  b  c  (đpcm) Ví dụ 20 [Svip] Cho số thực dương a, b CMR: a  b   2a  2b  ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a   a  a (1); b   4b (2) ; a  b  2ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 2a  2b   4a  4b  2ab  a  b   2a  2b  ab (đpcm) Ví dụ 21 [Svip] Cho số thực dương a, b, c CMR: a  b  c  a bc  b ca  c ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số: số a ,1 số b số c ta có: 4a  b  c  66 a 12 b c  6a bc (1) Tương tự: 4b  c  a  6b ca (2) ; 4c  a  b  6c ab (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:    a  b  c  a bc  b ca  c ab   a  b  c  a bc  b ca  c ab (đpcm) ... b3 c3    a2  b2  c2 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 a3 a3 a3   b  33 b  3a (1) ; b b b b b3 b3 c3 c3   c  3b (2) ;   a  3c... 1, ta có: 3a  3b   77 a 21 b 211  a b (1) Tương tự: 3b  3c   7b c (2) ; 3c  3a   7c a (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:  a  b  c     a 3b3  b3c3  c3 a  ... giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b   33 a b  3ab (1) ; b  c   3bc (2) ; c  a   3ca (3) Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:     a  b3  c3    ab  bc