BẤT ĐẲNG THỨC bộ 1 PHẦN 3 ( Có Đáp Án Chi Tiết)

SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY CHỦ ĐỀ A KiÕn thøc cÇn nhí 1) Bất đẳng thức Bunyakovsky Với hai số thực  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  ta ln có:  a1b1  a2 b2   an bn  a12  a22   a n2 b12  b22   bn2  Dấu “=” xảy a a1 a    n (quy ước bi 0 0 ) b1 b2 bn Chứng minh: Theo bất đẳng thức dấu giá trị tuyệt đối thì: a1b1  a2 b2   an bn �a1 b1  a2 b2   an bn �  a1b1  a2 b2   an bn  � a1 b1  a2 b2   an bn  Do ta cần chứng minh: a b1  a2 b2   an bn    � a12  a22   an2 b12  b22   bn2  � a1 b1  a2 b2   an bn � a12  a22   an2 b12  b22   bn2 2 Nếu a1  a2   an  � a2  a2   an  bất đẳng thức hiển nhiên đúng, 2 nên ta cần xét a1  a2   an  Tương tự, ta cần xét b12  b22   bn2  Khi bất đẳng thức viết lại sau: a1 b1 a12  a22   an2 b12  b22   bn2    a2 b2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 an bn a12  a22   an2 b12  b22   bn2 �2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy), ta được: a1 b1 a12 b12 �  , 2 2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a1  a2   an b1  b2   bn a2 b2 a22 b22 �  , 2 2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a1  a2   an b1  b2   bn an bn an2 bn2 �  2 2 a12  a22   an2 b12  b22   bn2 a1  a2   an b1  b2   bn Cộng theo vế , ta thu kết Dấu “=” xảy 117 | a a1 a    n (quy ước bi 0 0 ) b1 b2 bn Trong chương trình tốn cấp 2, quan tâm tới hai trường hợp n = n =  Với n = ta có: Nếu a, b, x, y số thực, a  b Đẳng thức xảy x   y � ax  by  a b  x y Nếu n = ta có: Nếu a, b, c, x, y, z số thực, a  b2  c2 x   y  z � ax  by  cz  a b c   x y z Đẳng thức xảy 2) Bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức: Cho  a1 , a2 , , an   b1 , b2 , , bn  hai dãy số thực với bi  0, i Khi an2  a1  a2   an  a12 a22    � b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy a a1 a    n b1 b2 bn Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số �a1 a2 a � , , n �và � , �b bn � � b2 �  b1 , b2 , , bn  ta được: �a1 � �a12 a22 an2 � a a   � b1  b2   n bn �   a1  a2   an   b1  b2   bn  �� �  �b � bn � b2 bn �b1 b2 � � an2  a1  a2   an  a12 a22 �    � b1 b2 bn b1  b2   bn Đẳng thức xảy Trong chương trình tốn cấp 2, quan tâm tới hai trường hợp n = n = a b2  a  b  Với n = ta có: Nếu a, b, x, y số thực,  � x y x y Đẳng thức xảy a b  x y Nếu n = ta có: Nếu a, b, c, x, y, z số thực, a b2 c2  a  b  c    � x y z x yz 118 Đẳng thức xảy a b c   x y z Trong chương trình tốn THCS áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta phải chứng minh trước B VÍ DỤ MINH HỌA Kỹ thuật tách ghép số Thí dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 Chứng minh rằng: 1   9 a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky : 1 1 1   1 1     a  b  c      a  b  c  9 a b c a b c a b c  1   9 a b c Vậy Đẳng thức xảy a  b  c  Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakoysky dạng phân thức: 1 12 12 12    1      �   a b c a b c abc 1 Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho số thực dương a, b,c Chứng minh : a b bc ca    a b c a b c a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : bc ca � � a b bc ca � ab  1 1 �     ��� � abc abc �a  b  c a  b  c a  b  c � � a  b  c   2  a b b c ca    a b c a b c a b c Thí dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca 4 Chứng minh rằng: 16 a4  b4  c4  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : 1 119 |  12  12  a  b  c  1.a  1.b  1.c   a  b  c b  c  a   ab  bc  ca  ab  bc  ca  16 2 � � � � 16  a4  b4  c4  (đpcm) a b   a b b a Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : �a �a b � b � b  a� �  � b  a �� �4 b � a� a �b � �    a b  a � b  b a � a b Đẳng thức xảy a = b Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được:  a    b  � � a b  b a b a b  a b a  a b Đẳng thức xảy a = b Thí dụ Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: a2 b2 c2 abc   � bc ca ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky với hai số: � a b c � , , � �và �bc ca ab �  b  c, c  a, a  b 2 � � a � � b � � c ��� � � � � � � ��� b  c b  c c  a a  b � � � � � � �� � ��     ta được: ca    ab � � � � a � b c �� bc  ca  ab� ca ab �bc � �a b2 c2 � ��    a  b  c � � a  b  c  �� � � �b  c c  a a  b � � a2 b2 c2 a bc   � bc ca a b Đẳng thức xảy a b bc  bc ca  ca c a b c ab �   � a  b  c bc a b a b ab Cách khác: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:  a  b  c a  b  c a2 b2 c2   �  b  c c  a a  b 2 a  b  c 2 Đẳng thức xảy a  b  c Thí dụ Cho số thực dương a, b thỏa a  b 1 Tìm GTLN 120 A a  a  b  b Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :   A a  a  b  b  a  b 1  a   b   a  b  1     12 a  b   2   a  b 1  b  a   a b  Dấu “=” xảy   b 1  a 1 1   a b Vậy GTLN A 2 Thí dụ Cho số thực a, b thỏa 36a  16b 9 Tìm GTLN GTNN A   2a  b  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :         1 36a  16b         6a    4b    2a  b  4          25    2a  b   16 5    2a  b  4 15 25    2a  b   4 Ta có:  2     36a  9b 9   6a 4b 25   GTNN A         2a  b       36a  9b 9   6a 4b 25   GTLN A   1      2a  b   121 |   a    b   20   a   b   20 Thí dụ Cho a, b, c  a  b  c �1 Chứng minh rằng: 1   �9 a  2bc b  2ca c  2ab (Trích chun Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải       Quan sát ta thấy rằng: a  2bc  b  2ca  c  2ab   a  b  c  Mà theo giả thiết a  b  c �1 nên ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:    1 1 9   �  �  2 2 a  2bc b  2ca c  2ab a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  Chứng minh hoàn tất Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c �3 Chứng minh rằng: 2009  �670 2 ab  bc  ca a b c (Trích đề vào lớp 10 Hải Phòng năm 2009 - 2010) Hướng dẫn giải Nhận thấy vai trò a, b, c nhau, nên ta dự đoán dấu bất đẳng thức xảy a  b  c  1  2 ab  bc  ca a b c Mặt khác để tận dụng giả thiết a  b  c �3 ta nghĩ đến đẳng thức: Do a  b  c nên a  b  c  ab  bc  ca �  a  b  c 2  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c   ab  bc  ca    ab  bc  ca  Từ ta đến lời giải sau:  a  b  c Ta có: ab  bc  ca �  3 2009 1 2007      2 2 ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a b c    1 � 2 a  b  c   ab  bc  ca   2007 27 27   669 �  669  670 27  a  b  c Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ 10 Cho a, b, c dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a  ab  a  1  b  bc  b  1  c  ca  c  1 � abc (Trích chuyên Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Một đẳng thức quen thuộc ta biết abc  thì: 122 a b c   1 ab  a  bc  b  ca  c  b ab ab c abc   ;   Thật vậy: bc  b  abc  ab  a ab  a  ca  c  a bc  abc  ab a   ab a b c a ab      1 ab  a  bc  b  ca  c  ab  a  ab  a  a   ab Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức ta được: Do đó: a  ab  a  1  2 b  bc  b  1  c  ca  c  1 2 � a � � b � � c � � � � � � � ab  a  � �bc  b  � �ca  c  � �   a b c b c � a �   � � ab  a  bc  b  ca  c  � ��  abc abc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Thí dụ 11 Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1   �   bc a c a b a bc a b c (Trích chun Lê Q Đơn Bình Định năm 2001-2002) Hướng dẫn giải Ta quan sát nhận xét:  b  c  a    c  a  b   2c,  c  a  b    a  b  c   2a ,  a  b  c    b  c  a   2b Do ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức:   1 1  �   , b  c  a c  a  b  b  c  a    c  a  b  2c c   1 1  �   c  a  b a  b  c  c  a  b    a  b  c  2a a   1 1  �   a  b  c b  c  a  a  b  c    b  c  a  2b b Cộng theo vế chia cho 2, ta thu điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c Thí dụ 12 Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: 1 1 1   �   a  3b b  3c c  3a 2a  b  c 2b  c  a 2c  a  b Hướng dẫn giải Ta tìm liên hệ mẫu thức, ta nghĩ đến việc tìm x, y, z thỏa mãn: 123 | x  a  3b   y  b  3c   z  c  3a   2a  b  c Từ ta sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức toán Hằng đẳng thức tương đương với:  x  3z   a   3x  y  1 b   y  z  1 c  �x  z  2 � Đồng hệ số ta được: �3x  y  � x  , y  , z  7 �3 y  z  � Như ta có liên hệ:  a  3b    b  3c    c  3a    2a  b  c  Do đó:    4 72   2a  b  c  2a  b  c   a  3b    b  3c    c  3a  22 12 42 �       a  3b   b  3c   c  3a  a  3b b  3c c  3a Đến bạn đọc tự chứng minh tiếp Thí dụ 13 Cho số thực dương x, y, z Chứng minh rằng: 441 x  2x  4z Hướng dẫn giải   A  x2  y2  z  Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có:   A  x2  y  z  441   22  42 x  y  z 21  x   y2  z  441 x  y  4z 441 441 441 2 �  x  y  4z     x  y  4z    21 x  y  z 21  x  y  4z   x  y  z  �3 441 441  x  y  4z  21  x  y  4z   x  y  4z   63 x y z �   � � � x  , y  1, z  Dấu “=” xảy khi: �4 441 2 �  x  y  4z    x  y  4z  � �21 Thí dụ 14 Cho a, b, c   0,1 Chứng minh rằng: abc  1  a 1  b 1  c   Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  1  a 1  b1  c    a  1  a   bc  1  b1  c  bc  1  b1  c  abc  1  a 1  b 1  c   bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  abc   Mà 124   1  b 1  c    b  1  b   c  1  c  1 bc  1  b 1  c  1 bc   Vậy ta có: abc  1  a 1  b 1  c    hay abc  1  a 1  b 1  c   Lưu ý: Trong cách chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức x y  x  y  x,y  0 Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có:    Thí dụ 15 x  y  x  y  xy  x  y  x,y  0 x  y  x y Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b c    2  b  c   c  a   a  b  4 a  b  c  Hướng dẫn giải Ta có:  a b c    2  c  a   a  b    b  c  a  b  c  a   b   c         c    b  c   c  a   a  c              b     a  2 b c   a     b c c a a b a b c    (bất đẳng thức Nesbit, chứng minh bc c a a b phần trước) Mà ta có: b c   a      bc c a a b  a b c    a  b  c    2  c  a   a  b    b  c a b c      đpcm 2  b  c   c  a   a  b 4 a  b  c  Thí dụ 16 Cho a; b  thỏa mãn a  b2  Chứng minh: ab 3 � ab 3 Hướng dẫn giải Ta có: a  b2  � 2ab   a  b   � 2ab   a  b  3  a  b  3 2ab ab ab  ab3 �   ab3 a b3 2 Mà theo bất đẳng thức Bunyakovsky thì: a  b � a  b  � 125 | Nên ab 3 � ab3 � a; b  �2 a  b2  � a  b  Đẳng thức xảy khi: � � ab � Thí dụ 17 Cho x; y  thỏa mãn x  y �x  y Chứng minh: x  y �2  Hướng dẫn giải 2 � 1� � 1� Giả thiết x  y �x  y � �x  � �y  � � � 2� � 2� 2 1� � Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai số  1;3 �x  ; y  �ta 2� � có: 2 � �� � � � � � � � �� �  � �y  � �x  � �y  ���5 � � �10 � � � � �� �� � � � � � �  x  y   �5 � x  y  � � x  y �2  � �x   � 10 Đẳng thức xảy � �y   � � 10 Thí dụ 18 � � � y� Cho x; y  Chứng minh rằng:   x  � 1 � 1 � � �256 � y� � x� � � Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 � � y �� � y� � y � �2 � � ���  x � � 1.1  x   x  �1  � � �  y � �� � x� x� � � � x� � � � � � � � Do ta cần chứng minh:     � � � � 1 y � 1 �256 �  y � 1 � ��16  * � � y� y� � � � � Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta được: 2 � � � �� � � � � 3 � � 1 y � 1 1 y  � ���� 1.1  y � � �    3  16 � � � � � � � y �� �4 y �� � y� � � � � � Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh � y � �y �  x � 1 � x � �x �� � x  3, y  Dấu “=” xảy � � �3  � �y 4y � � y �         126 1 � x  x 2 Hướng dẫn giải 2x  Với x � 0;3 , ta có: 1 � x  x 2 � x  x  x  �0 2x  (**) � ( x  1) ( x  2) �0 Dấu “=” xảy x = Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Áp dụng bất đẳng thức (**) cho tốn, ta có: 15 18 P � (a  b  c )      (đpcm) 2 2 Dấu “=” xảy a = b = c =1 Thí dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh   2 1 a b c  2  �5 a2 b c Phân tích: Nếu để ý đến dấu đẳng thức xảy ta nghĩ đến chứng minh bất đẳng thức 2a �۳ a2  a  1  a  1  2a  3 3a Tuy nhiên đánh giá khơng hồn tồn với số dương a Để ý với cách làm ta chưa sử dụng điều kiện a  b  c  Như ta không theo lối suy nghĩ đơn giản ban đầu mà tìm hệ 2a số để bất đẳng thức sau  �ma  n   a Trong m, n hệ số chưa xác định, thiết lập tương tự với biến b c 2b 2c ta  �mb  n   ;  �mc  n   b c Cộng (4); (5); (6) theo vế ta có   2 1 a b c    �m  a  b  c   3n   m  n  a b2 c2 Như hệ số m, n phải thỏa mãn điều kiện  m  n   � n   m Thế vào (4) dẫn đến 2a  �  m  a  1   a2 3 Đến ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức ( 7) 245 | Chú ý đẳng thức xảy a  b  c  nên ta cần xác định m cho   � �  a  1 2a  2a � ��0  �  m a  � a   m     a2 3 3a � � � �  a  1  2a  3 2 từ ta dự đốn m  2 để tạo 3a thành đại lượng bình phương  a  1 biểu thức Từ ta chứng minh bất đẳng thức phụ Khi cho a  ta có  2a 2a  �  a2 3 Hướng dẫn giải 1 2a 2b 2c Bất đẳng thức cho viết lại thành      �5 a b c 3 Ta chứng minh bất đẳng thức sau Bất đẳng thức tương đương với 2a 2a  �   1 a2 3  a  1 2b 2b  �   2 ; b2 3  2a  6a  3a dương a Tương tự ta có:  �0 ln với số 2c c  �   3 c2 3 Cộng (1); (2); (3) theo vế ta có:   2 2 a  b  c 1 a b c    �   a b2 c2 3 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b3  c  Chứng minh �1 1 � �   � a  b  c �27 �a b c �   Hướng dẫn giải Ta cần tìm hệ số m để bất đẳng thức � 5a ۳9m a a    a  1  5a  5a   a   m  a 1 a a Ta dễ dàng nhận thấy đẳng thức xảy a  b  c  246 Khi cho a  ta dự đốn m  Ta chứng minh m  bất đẳng thức phụ  a  1 � 5a2 ۳ 2a a Thật vậy:  2a a4  a Do a �3 � 2a  a  �0 Vậy bất đẳng thức Chứng minh tương tự ta 4  5b �7  2b3 ;  5c �7  2c b b Cộng theo vế bất đẳng thức ta �1 1 � �   � a  b  c �21  a  b3  c3  27 �a b c �     Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: P 1   �1 a b  c b c  a c  a  b Phân tích: Dự đoán điểm rơi: a  b  c  , P = Ta có: 1 1 1      a b  c b c  a c  a  b a a  b b  c c  Dự đoán biểu thức phụ: �ma  n a a   P m( a b c) 3n    Thay a = ta được: P �3( m  n)  � n   m Ta có: 1 �ma   m a a  3 1 �  �m( a  1) a a  3  (a a  3)  ۣ m(a  1) a a  a (a  1)  m(a  1) a a  a ۳ m a a  2 Ta đồng cách thay a = vào, ta được: m   n  3 Ta có bất đẳng thức phụ là: 247 | 1 � a  a a  3 Hướng dẫn giải Chứng minh bất đẳng thức phụ: Với x � 0;3 , ta có: 1 � x  x x  3 3 � x  x  x  �0 � (x  1) (x  3) �0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên Áp dụng vào toán ta được: P � (a  b  c)   (đpcm) 3 Dấu “=” xảy a = b = c =1 Thí dụ Chứng minh với số dương a, b, c 5b3  a 5c3  b3 5a  c   �a  b  c ab  3b bc  3c ca  3a  1 Phân tích: Cấu trúc tốn gợi cho ta phương pháp đánh giá đại diện 5b3  a Ta thấy bậc tử 3, bậc ab  3b mẫu Suy bậc biểu thức Do ta nghĩ tới việc đánh giá với đa thức bậc có dạng na  mb Bây ta đánh giá thử đại diện 5b3  a Tức �na  mb ab  3b  2 Để tìm m, n ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Do vai trò tương tự, ta có: 5c  b3 5a  c3 � nb  mc �nc  ma bc  3c ca  3a Cộng theo vế ba BĐT đánh giá ta được: 5b3  a 5c  b3 5a  c   � m  n   a  b  c  ab  3b bc  3c ca  3a Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy tìm cặp thành cơng m  1 n Thế vào  3  n, m  mà (2) lời giải ta có 5b3  a - na �  n  b ab  3b �a � 5� � �b � n �a � n  �� b� �a � � � � �b �  4 248 Đặt t  x  t3 BĐT (4) trở thành �n.t   n   y t 3 Do đẳng thức xảy a  b nên t  ta phân tích (5) nhân tử  t  1   t  t3 t 3 1 t   t  t2  n  t  1 ۣ ۣ �� t 3 Cho t = vào ta  thức phụ là: n  t 1 t2  t  t 3 n t2  t   1 nên ta chọn n  1 � m  , ta biểu t 3 5b3  a �a  2b ab  3b Việc chứng minh BĐT đơn giản Như vậy, phương pháp hệ số bất định mở cho ta đường tìm lời giải cho toán cách tự nhiên nhiên không theo kiểu áp đặt giống kiểu hay gặp nhiều sách: “Ta chứng minh 5b3  a � a  2b " ab  3b Ta chứng minh bất đẳng thức Hướng dẫn giải 5a  b3 �2a  b ab  3a Thật vậy: 5a3  b3 �2a  b � 5a  b3 �a  2a  b   3a  b  � 5a  b �a 6a  ab  b 2 ab  3a   � 5a  b3 �6a  ab  a  b  � a  b3 �ab  a  b  � a  a  b   b2  a  b  �0 �  a  b  Bất đẳng thức (*) với a, b dương nên: Chứng minh tương tự ta có:  a  b  �0  * 5a  b3 �2a  b ab  3a 5b3  c 5c  a ; � b  c �2c  a bc  3b ac  3c Cộng bất đẳng thức theo vế ta có: 5a  b3 5b3  c3 5c3  a3   �a  b  c  ab  3a bc  3b ac  3c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho a, b, c �0 thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: P  5a   5b   5c  �7 Phân tích: 249 | �a  Dự đoán điểm rơi: � hoán vị Khi ta dự đốn: b, c  � 5a  �ma  n Đến ta để ý có điểm rơi, ta thay a = a = vào ta được: m 1 �n  � �� � n2 �m  n  � Ta có bất đẳng thức phụ 5a  �a  Hướng dẫn giải Ta chứng minh bất đẳng thức phụ: 5a  �a  Với a � 0;1 , ta có: 5a  �a  � 5a  �a  4a  � a  a �0 � a (a  1) �0 Bất đẳng thức cuối hiển nhiên với a � 0;1 Do đó: P �a  b  c    2  (đpcm) Dấu “=” xảy a = 1; b, c = hoán vị Thí dụ Chứng minh với số dương x, y, z x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x �2  x  y  z   1 Phân tích: Trong bất đẳng thức (1) biến hốn vị vịng quanh đẳng thức xảy x  y  z Do vậy, nên ta chọn số n, m để có BĐT: x  xy  y �nx  my  2 Để tìm m, n ta sử dụng phương pháp hệ số bất định Do vai trò tương tự, ta có: y  yz  z �ny  mz z  zx  x �nz  mx Cộng theo vế ba BĐT đánh giá ta được: x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x � n  m   x  y  z   1  3 Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy tìm cặp  n, m  mà lời giải thành công Thế m   n vào (2) ta có �x � �x � �x � x  xy  y �nx    n  y � � � � � �n � �   n  �y � �y � �y � 2  4 250 Đặt t  x BĐT (4) trở thành y t  t  �nt   n  5 Do đẳng thức xảy x  y nên t  ta phân tích (5) nhân tử  t  1  5 �   t  t    n  t  1 �0 � � t2 �� �  t  1 � �t  t   � n� �  t  1  t    n  t  1 �0 t2  t   t2 n t2  t   Đồng t = vào ta n  � m  , ta biểu thức phụ là: 4 3x  y x  xy  y � Tới bạn tự chứng minh Thí dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  làm cho biểu thức bất đẳng thức xác định Chứng minh a  a   b  b   c  c  �3 Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: a � 1 1 1 ;b� ;c� 2 Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức : Tìm m  , tức ta phải chứng minh a  a  �1  m  a  1 3a  a2  a 1 � �  a  1 �0 Chứng minh tương tự ta có bất đẳng thức 3b  3c  b2  b  � ; c2  c 1 � 2 Cộng theo vế bất đẳng thức ta a  a   b  b   c  c  �3 Đẳng thức xảy a  b  c  Thí dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a3 b3 c3   � 2 2 2 a  3ab  b b  3bc  c c  3ca  a Hướng dẫn giải 251 | Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức mn  a3 �ma  nb với a  3ab  b 1 � n   m Bất đẳng thức viết lại thành 5 a3 b3 ma �1 � �۳� m � a a b �5 �   b b Ta cần xác định m cho y3 �1 � my �  m � y  3y 1 �5 � �5 y  y  � y3 � ��0 � m y   � y   m     y2  3y 1 5 y  y  � �   � � y2  y 1 2 1  �m �n Cho y  ta 5  y  y  1 Từ dễ dàng chứng minh bất đẳng thức a3 2a b b3 2b c c3 2c a �   1 ; �   2 ; �   3 2 2 a  3ab  b 5 b  3bc  c 5 c  3ac  a 5 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có điều chứng minh Thí dụ 10 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh a  b3 b3  c c3  a   �2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Hướng dẫn giải 2 a  b  c Ta thấy  abc � Do ta nghĩ đến việc chứng minh 2 a  b  c a3  b b3  c c3  a   � 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 Ta tìm hệ số m, n cho bất đẳng thức mn  2 � n   m Tìm m  n  3 y3  1 �  y  1  ۳ Ta phải chứng minh: y  y 1 3 Suy ra: a  b3 �ma  nb với a  ab  b  y  1  y  1  y  y  1 BĐT a  b3 a b b3  c b c c  a3 c a �  ; �  ; �   3     2 2 2 a  ab  b 3 b  bc  c 3 c  ca  a 3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta 252 2 a  b  c a3  b b3  c3 c3  a3   � �2 abc  2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 3 Thí dụ 11 Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d    a3  b3  c3  d �2  Chứng minh  ab  ac  ad  bc  bd  cd Giải Từ a  b  c  d  �  a  b  c  d     ab  ac  ad  bc  bd  cd  � a  b  c  d    ab  ac  ad  bc  bd  cd  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a b c d   a  b  c  d �2  Ta cần tìm hệ số m để có bất đẳng thức � �  2a  1 3a  2 2a �  m a 1 � a 1 �  m ��0 2 a  1 � � � �  Cho a  tìm m     Mặt khác 2a3 � a   a  �  a  1 8a  a  �0 �  a  1 8a  �0 2  Tương tự ta có      9 2b3 � b   b  ; 2c � c   c  2 2       Cộng bất đẳng thức theo vế ta a  b3  c  d �2  abcd Đẳng thức xảy a  b  c  d  Thí dụ 12 Cho a, b, c  Chứng minh rằng: P a (b  c ) b (c  a ) c(a  b)   � 2 a (b  c) b (c a ) c (a  b) * Phân tích: Ở ví dụ ta nhận thấy tốn có điều kiện ban đầu, điều giúp ta dự đốn điểm rơi cách xác Nhưng tốn khơng cho điều kiện buộc biến nên khó dự đốn điểm rơi Để giải vấn đề làm quen với “Kỹ thuật chuẩn hóa” chứng minh bất đẳng thức Nhưng hẳn tồn câu hỏi: Thế chuẩn hóa? Chuẩn hóa đơn giản cách ta đặt ẩn phụ từ làm xuất điều kiện buộc biến * Dấu hiệu chuẩn hóa: Bậc hạng tử phải * Cách đặt ẩn mới: 253 | Ta chia hạng tử cho: abc, a  b  c, (a  b  c) , a  b  c , ab  bc  ca Việc chia để xuất ẩn kèm theo điều kiện thích hợp để dễ dàng sử dụng phương pháp hệ số bất định UCT Trở lại toán: Ta nhận thấy hạng tử có tử mẫu bậc 2, ta nghĩ đến việc chia tử mẫu cho (a  b  c ) , ta có: a (b  c) b( c  a) a(b  c) 2 (a  b  c) (a  b  c) (a  b  c )2   � 2 2 2 a (b  c ) b (c  a) a (b  c ) 2 (a  b  c) (a  b  c) (a  b  c ) a bc b ca c a b a b  c a b  c a b  c a b  c a b  c a b  c �   � 2 2 2 � a � �bc � � b � �ca � � c � �ab � � � � � � � � � � � � � �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � �a  b  c � a � �x  a  b  c � b � Đặt: �y  � a b  c c � �z  a  b  c � Khi bất đẳng thức cho tương đương với: P x(y z ) y(z  x) z(x  y )   � với x + y + z = 2 x  (y  z ) y  (z  x ) z  (x  y ) * Lưu ý: Việc chuẩn hóa khơng bó buộc phạm vi Giả sử đặt ẩn phụ ta chuẩn hóa x + y + z = Đến ta hoàn toàn sử dụng phương pháp hệ số bất định UCT Ta có: x(y z ) y(z  x) z(x  y )   � 2 x (y  z ) y  (z  x) z (x  y ) x(3  x) y(3  y ) z(3  z ) �P   � 2 x (3  x) y  (3  y ) z  (3  z ) x(3  x) y(3  y ) z(3  z ) �P   � x 6 x  y 6 y  z 6 z  P * Nháp: Dự đoán điểm rơi: x = y = z = 1, P  Dự đoán biểu thức phụ: t(3  t ) �mt  n 2t 6t  (*) Thay t = vào ta được: 254 � 6  m.3  3n �  3(m  n) � n   m 5 Thay vào biểu thức (*) ta được: t(3  t ) �mt   m 2t 6t  9t  27t  18  ۣ m(t  1) 5(2t  6t  9) 9(t  2) m 5(2t  6t  9) n  25 25 Ta đồng t = 1, suy m  Khi ta có bất đẳng thức phụ: t(3  t ) � t 2t 6t  25 25 Hướng dẫn giải Chứng minh bất đẳng thức phụ: t(3  t ) � t 2t 6t  25 25 Với t � 0;3 , ta có: t(3  t ) � t 2t 6t  25 25 � 18t  27t  �0 � 9(t  1) (2t  1) �0 Với t � 0;3 bất đẳng thức cuối ln Áp dụng vào tốn, ta có: P x(3  x) y(3  y ) z(3  z )   � ( x  y  z )   2 x 6 x  y 6 y  z 6 z  25 27 Dấu “=” xảy x = y = z = (đpcm) Thí dụ 13 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 2 b  c  a 2a   b  c   2 b  c  a 2a   b  c   2 b  c  a 2a   b  c   a2  b2  c2  �  a  b  c Hướng dẫn giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Khi bất đẳng thức cho tương đương với   2a    2b    2c    �a  b  c 2 a  2a  b  2b  c  2c  255 | 2  2a  Cần xác định m cho : 2 �a  m  a  1 Tìm m  6 a  2a  2  2a  Khi đó: 2 �a ۳6  a 1 a  2a  a   a   a  1 a  2a  2 với  a  Chứng minh tương tự ta có:   2b    2c  �b   b  1 ; �c   c  1 b  2b  c  2c  2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta có điều cần chứng minh Thí dụ 14 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a  b  c  b  c  a c   a  b � 4 a  b  c Hướng dẫn giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Bất đẳng thức cho tương đương với : a   a  b   b  c   c � Làm tương tự tốn ta có a   a 2a  b 2b  c 2c  � � � ; ; 2 4   b   c a Cộng bất đẳng thức theo vế ta   a  b   b  c   c � Thí dụ 15 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  b  c  3a    a  c  3b    a  b  3c  2 2a   b  c  2b   a  c  2c   b  a  2 � Hướng dẫn giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Bất đẳng thức cho tương đương với :   4a     4b     4c  2 2a    a  2b    b  2c    c  2 � Làm tương tự toán ta có 256   4a  �8a  ; 2a    a    3b  �8b  ; 2b    b    3c  2c    c  2 8c  � Cộng bất đẳng thức theo vế ta có:   4a     4b     4c  2 2a    a  2b    b  2c    c  2 � Thí dụ 16 (Olypic 30-4 năm 2006) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a  b  c  b  c a  b c  a  c  a b  c  a  b �  a  b  c 2 Hướng dẫn giải Chuẩn hóa bất đẳng thức ta chọn a  b  c  Bất đẳng thức cho tương đương với : a   a b   b c   c   � 2  6a  2a  6b  2b  6c  2c Làm tương tự toán ta có a   a b   b c   c 21  9a 21  9b 21  9c ; ; � � � 2  6a  a 25  6b  2b 25  6c  2c 25 Cộng bất đẳng thức theo vế ta a   a b   b c   c   � 2  6a  2a  6b  2b  6c  2c Thí dụ 17 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh 1 1 � �1    �4 �   � a b c abc �a  b b  c c  a � Hướng dẫn giải Bất đẳng thức nhất, ta giả sử: a  b  c  Vì a, b, c độ dài ba cạnh � 1� 0; � BĐT cần chứng minh trở thành: tam giác nên a, b, c �� � 2� 1� �4 1� �4 1� �4  � �  � �  ��9 � f  a   f  b   f  c  �9, � 1 a a � � 1 b b � � 1 c c � � Với f  x   5x  � 1�   , x �� 0; � 1 x x x  x � 2� Biểu thức phụ: 5a  �ma  n �  (m  3n) � m    n  a  a2 Dự đoán BĐT cần chứng minh trở thành đẳng thức a  b  c  257 | Ta biến đổi dồn nhân tử  3a  1 Do đó” 5a  ++ �++   n  a n a  a2 5a  a  a2 9a  3a  6a  2a  3a  ۣ++ a  a2 Ta đồng a  a  a  5a  n  3a 1 a  a2  3a  1  3a  2a  1 3a  2a  n  3a 1   n a   a  a2 a2  a 9a 3na n , suy n  3 m  18 Vậy ta có bất đẳng thức phụ: Thật vậy: f  x   n 5a  �18a  a  a2 5x  �18 x  �  x  1  x  1 �0 xx � 1� x �� 0; �ln Do đó: � 2� f  a   f  b   f  c  �18  a  b  c    Đẳng thức xảy a  b  c C BÀI TẬP ÁP DỤNG 1) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1 4 a  b  c    �7 a b c 2) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1   �a  b  c a b c 3) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a b c 3   � 2 b c c a a b 2 4) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh 1   �1  ab  bc  ca 5) Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh 1 1    �2 a 1 b 1 c 1 d 1 6) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh  2a  b  c    2b  c  a    2c  a  b  � 12 3 a bc 4a   b  c  4b3   a  c  4c   a  b  2 7) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 258  b  c  2a    a  c  2b    a  b  2c  �8 2 2a   b  c  2b   a  c  2c   a  b  259 | 2 ... x y  x .1  1. 1) ? ?( x  x  1) ( y   1) � (1  x  xy ) ? ?(2 x  1) ( y  2) Suy 1 � (1 0 ), (2 a  1) (b  2)  x  xy tương tự ta có: 1 � (1 1 ), (2 b  1) (c  2)  y  yz 1 � (1 2 ) (2 c  1) (a  2)... 3a  c (2 ) (c  a)(c  b) � (a  b  2c) (3 ) Cộng vế (1 ) , (2 ) (3 ) ta có 15 15 3( a  b)(a  c)  3( b  a)(b  c)  (c  a)(c  b) � a  b  3c 2 (* *) Từ (* ) (* *) ta có 5a  5b  2c P�  15 15 a... max(a, b, c) ; c = min(a, b, c) Vì a + b + c = ⇒ �c ? ?1 �a �2 a�2��� (a 2)(a 1)  a 3? ?? a 2a a2 3( 3a 2) 2a c � c3 Mặt khác: � b � b3 b Nếu: � c 3a 7a a3 7a (1 ) (2 ) (3 ) Từ (1 ) , (2 ) (3 )