Chuyên đề: Hàm số bậc nhất, bậc hai 05 HÀM SỐ BẬC HAI (Phần 1) DẠNG XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC – PARABOL Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol P : y ax c biết: a) y x , có giá trị nhỏ 1 b) Đỉnh I 0; 3 hai giao điểm P với trục hoành A 2; Lời giải: Δ 4ac 1 4a c 3, a 0, 1 a) Ta có : f 3, a 0, 4a a c 1, a Vậy P : y x Δ 4ac 0, 3, f 2 3, 4a c 2a 4a a 3 c 3; a Vậy P : y x 4 b) Theo giả thiết : Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol P : y a x m biết : a) Đỉnh I 3; cắt trục tung M 0; b) Đường thẳng y cắt P A 1; B 3; Lời giải: a) P : y a x m ax 2amx am 2 b Δ 3; 0, f 5 2a 4a 4a m 4a m m 3, 0, am 5 4a 5 m 3, a Vậy P : y x 3 9 2 b) Theo giả thiết: f 1 4, f 3 a 1 m 4, a m Theo giả thiết : Do 1 m m 2m m 6m m 2 m nên a Vậy P : y x 1 Cách khác : P có trục đối xứng d : x m nên theo giả thiết m x A xB Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) P : y ax bx qua điểm A 1;9 có trục đối xứng x 2 b) P : y x bx c có trục đối xứng đường thẳng x cắt trục tung điểm M 0; Lời giải: a) Theo - Qua điểm A 1;9 a b a b b 2 b 4a 2a a b a 4a a 2 Ta có hệ: b 4a b 4a b - Trục đối xứng x Vậy parabol cần tìm y 2 x x b) Theo - Cắt trục tung M 0; 2.02 b.0 c c b b 4 2.2 Vậy parabol cần tìm P : x x - Trục đối xứng x Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) P : y ax x c qua hai điểm A 1; 2 B 2;3 b) P : y ax x c có đỉnh I 2; 1 Lời giải: a) P : y ax x c qua điểm A 1; 2 B 2;3 2 a c a a.1 4.1 c a.2 4.2 c 4a c 11 c 1 Vậy parabol P : y x x b) P : y ax x c có đỉnh I 2; 1 b b a 1 a 1 a 1 2a 4a c 5 1 b 4ac 16 4c 4 4a 4a Vậy parabol cần tìm là: P : y x x Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) P : y ax x c có hồnh độ đỉnh 3 qua điểm A 2;1 b) P : y ax bx c qua điểm A 0;5 có đỉnh I 3; 4 Lời giải: a) Parabol P : y ax x c có: Hoành độ đỉnh 3 b b 4 3 a 2a 6 Đi qua điểm A 2;1 a 2 2 c c 2 13 Vậy parabol cần tìm P : y x x 3 b) Parabol P : y ax bx c : Đi qua điểm A 0;5 a.02 b.0 c c 13 Có đỉnh b b 6a b 6a 2a b 6a a a0 I 3; 4 b 4ac 36a 4ac 4 4 9a c b 6 4 a a 4a Vậy parabol cần tìm P : y x x Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) ( P) : y ax bx c qua điểm A 2; 3 có đỉnh I 1; 4 b) ( P) : y ax bx c qua điểm A 1;1 có đỉnh I 1;5 Lời giải: a) Parabol ( P) : y ax bx c : Đi qua điểm A 2; 3 4a 2b c 3 b 1 b 2a Có đỉnh I 1; 4 2a a b c 4 a b c 4 4a 2b c 3 a Từ ta có hệ 2a b b 2 a b c 4 c 3 Vậy parabol cần tìm P : y x x b) Parabol ( P) : y ax bx c : Đi qua điểm A 1;1 a b c b 1 2a b Có đỉnh I 1;5 2a a b c a b c a b c a 1 Ta có hệ 2a b b 2 a b c c Vậy parabol cần tìm y x x Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) ( P) : y ax bx c qua điểm A 1;1 , B 1;3 , O 0;0 b) ( P) : y ax bx c qua điểm A 0; 1 , B 1; 1 , C 1;1 Lời giải: a b c a a) Đi qua điểm A 1;1 , B 1;3 , O 0;0 a b c b 1 c c Vậy parabol cần tìm P : y x x c 1 a b) Đi qua điểm A 0; 1 , B 1; 1 , C 1;1 a b c 1 b 1 a b c c 1 Vậy parabol cần tìm P : y x x Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol (P) biết: a) ( P) : y ax bx c qua điểm A 1;1 , B 0; , C 1; 1 b) P : y x bx c qua điểm A 1;0 đỉnh I có tung độ 1 c) ( P) : y ax bx c có đỉnh I 3; 1 cắt trục Ox điểm có hồnh độ Lời giải: a b c a 2 b 1 a) ( P) : y ax bx c qua điểm A 1;1 , B 0; , C 1; 1 c a b c 1 c Vậy parabol cần tìm P : y 2 x x b) Parabol P : y x bx c có: qua điểm A 1;0 b c b c 1 b b 2a c 3 2a Vậy parabol cần tìm P y x x Đỉnh I có tung độ 1 c) Parabol ( P) : y ax bx c : Cắt trục Ox điểm có hồnh độ a b c b 3 6 a b Có đỉnh I 3; 1 2a 9a 3b c 1 9a 3b c 1 a a b c x 3x b Vậy parabol cần tìm P : y Ta giải hệ 6a b 4 9a 3b c 1 c Ví dụ [ĐVH] Xác định parabol y ax bx biết parabol : a) qua hai điểm M 1; N 2; b) qua điểm B 3; có trục đối xứng x c) qua điểm B 1; , đỉnh có tung độ Lời giải: a) Theo giả thiết ta có: f 1 a b a b a b f 2 4a 2b 4a 2b Vậy P : y x x f 3 4 9a 3b 6 a b) Theo giả thiết: b 3 3a b b 1 2a Vậy P : y x x f 1 a b a b c) Theo giả thiết: Δ 1 b 8a a b 9a 4a Ta có a b nên : b 9b 36 b 3 b 12 a a 16 Ví dụ 10 [ĐVH] Xác định hàm số bậc hai y x bx c biết đồ thị : a) Có trục đối xứng đường thẳng x cắt trục tung điểm 0; b) Có đỉnh I 1; c) Có hồnh độ đỉnh qua điểm I 1; Lời giải: b 1 b 4 Vậy P : y x x a) Theo giả thiết : 2a c f 0 b 1 b 4 b b) Theo giả thiết: 2a Vậy P : y x x 2 b c 2 c f 1 2 b 2 b 8 b 8 c) Theo giả thiết: 2a Vậy P : y x x b c c f 1 2 Ví dụ 11 [ĐVH] Xác định parabol y ax bx c : a) qua A 0; 1 , B 1; 1 , C 1;1 b) qua A 8; có dỉnh I 6; 12 Lời giải: f 1 c 1 a a) Theo giả thiết: f 1 1 a b c 1 b 1 Vậy P : y x x a b c c 1 f 1 f 8 64a 8b c a b) Theo giả thiết: f 12 36a 6b c 12 b 36 b 12a b c 96 6 2a Vậy P : y x 36 x 96 Ví dụ 12 [ĐVH] Xác định parabol P : y ax bx c : a) Đạt giá trị nhỏ 3/4 x = 1/2 nhận giá trị y = x = b) Đạt giá trị lớn 1/4 x = 3/2 tổng lập phương nghiệm y = Lời giải: a a b a b a 2a a) Theo giả thiết: a b b 1 Vậy P : y x x 3 f 4 c c 2 a b c f 1 b) y ax bx c Khi Δ x x x1 x2 3 3 b c b 3abc b x1 x2 x1 x2 a3 a a a a b a 3a b a 1 2a Theo giả thiết: b f 4 a b c c 2 3 3abc b 9a 3abc b 9 a Vậy P : y x x Ví dụ 13 [ĐVH] Xác định parabol P : y ax bx c biết : a) P qua M 2; 3 , N 2; 3 tiếp tuyến đỉnh P đường thẳng y = b) Nhận trục tung làm trục đối xứng cắt đường thẳng y x điểm có hồnh độ 1 3/2 Lời giải: a) Đường thẳng y tiếp tuyến đỉnh nên y1 f 2 b 4a 2b c 4a 2b c b 4a 2b c b ac a c Theo giả thiết : f 4ac b 4a 4a c b 4ac 4ac b 4a a 4a b) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng hàm số y f x ax bx c hàm số chẵn, f x f x , x ax bx c ax bx c, x 2bx 0, x b Do y ax c Vì parabol cắt đường thẳng y 1 3 3 M 1; , N ; 2 2 4 f Ta có hệ phương trình : f x điểm có hồnh độ 1 nên P qua hai điểm 2 1 3 2 a a c Vậy P y x 9a c c 4 ... c qua điểm A ? ?1; 1 , B ? ?1; 3 , O 0;0 b) ( P) : y ax bx c qua điểm A 0; ? ?1? ?? , B ? ?1; ? ?1? ?? , C ? ?1; 1 Lời giải: a b c a a) Đi qua điểm A ? ?1; 1 , B ? ?1; 3 , O 0;0... f ? ?1? ?? 2 Ví dụ 11 [ĐVH] Xác định parabol y ax bx c : a) qua A 0; 1? ?? , B ? ?1; 1? ?? , C ? ?1; 1 b) qua A 8; có dỉnh I 6; 12 Lời giải: f ? ?1 c ? ?1 a ... c b ? ?1 c c Vậy parabol cần tìm P : y x x c ? ?1 a b) Đi qua điểm A 0; ? ?1? ?? , B ? ?1; ? ?1? ?? , C ? ?1; 1 a b c ? ?1 b ? ?1 a b c c ? ?1 Vậy parabol